Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны, Олимпиадная физика

Колебания: углубляемся. 9 класс, олимпиадная подготовка

Колебания – еще более сложные задачи на эту тему сегодня рассматриваем. Приготовьтесь к погружению!  В июне и июле выйдут три статьи с разбором сложных задач на эту тему.

Задача 1. Груз массой m=1,7 кг подвешен через блок на двух пружинах жесткостью k_1=100 Н/м и k_2=20 Н/м. Определите период колебаний данной системы. Ответ выразить в с, округлив до целых. Нить и блок считать невесомыми.

К задаче 1

Решение.

Если подействовать на систему силой F, то каждая пружина будет растягиваться силой \frac{F}{2}. При этом, в системе будет запасена энергия \frac{F^2}{2K}, которая распределится в пружинах \frac{F^2}{8k_1}+\frac{F^2}{8k_2}, откуда эффективная жесткость системы K=\frac{4k_1\cdot k_2}{k_1+k_2}. Период колебаний такой системы равен

    \[T=2\pi\sqrt{\frac{m\cdot(k_1+k_2)}{4k_1\cdot k_2}}=1.\]

Ответ: 1 с.

 

Задача 2. Настенные часы с маятником имеют массу M=5 кг. Масса груза на конце легкого маятника m=150 г. Какая ошибка в показаниях часов накопится за сутки, если часы подвесить к потолку на двух длинных параллельных шнурах? Считать, что часы прикрепленные к стене, идут точно. Ответ дать в минутах. Округлить до целых.

К задаче 2

Решение.

Подвешенные на шнурах часы, в отличии от часов закрепленных на стене, могут раскачиваться. Если шнуры параллельны, то при раскачивании движение корпуса будет поступательным. Это значит, что всю массу часов без маятника (M-m) можно считать сосредоточенной в одной точке, например в точке подвеса маятника.

Перемещение корпуса часов при раскачивании будут невелики, поэтому шнуры будут оставаться почти вертикальными. Таким образом, внешних горизонтальных сил, действующих на часы, не будет. Следовательно, центр масс системы часы+маятник будет оставаться на месте.

К задаче 2

Отношение расстояний от неподвижного центра масс до точки подвеса и маятника можно связать с массами тел: \frac{l-l_1}{l}=\frac{m}{M-m}, откуда \frac{l_1}{l}=1-\frac{m}{M}.

Так как период колебаний математического маятника для неподвижных часов равен T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}, то

    \[\frac{T_1}{T}=\sqrt\frac{l_1}{l}=\sqrt{1-\frac{m}{M}}=0,9849.\]

Часы уйдут вперед на (\tau – сутки)

    \[\Delta T=\tau \left(\frac{T}{T_1}-1\right)=0,0153\tau =0,0153\cdot 24 \cdot 60\approx 22.\]

Ответ: 22 мин.

 

Задача 3. Чашка пружинных весов с гирями совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой A=2 см и периодом T=1 с. Общая масса чашки и гирь m=1 кг. Гирю какой массы надо снять с чашки весов в момент нахождения ее в крайнем верхнем положении, чтобы колебания прекратились? Ответ дать в г, округлив до целых. Считать, что ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}.

Решение.

Найдем эффективную жесткость системы весов. Так как T=2\pi\sqrt\frac{m}{k}, то k=\frac{4\pi^2m}{T^2}.В амплитудном положении пружина действует на чашу силой F=k\cdot A, такая же сила тяжести действует на массу \Delta m, которую следует снять, тогда равнодействующая сила на чашу обратится в ноль, и чаша останется в покое. Решая систему уравнений, получаем, что

    \[\Delta m=\frac{k\cdot A}{g}=\frac{4\pi^2\cdot m\cdot A}{g\cdot T^2}=0,079.\]

Ответ: 79 г.

 

Задача 4. Чему равна циклическая частота симметричных колебаний системы из трёх шариков и трёх пружинок? Массы каждого шарика m=100 г. Жёсткости пружинок k=30 Н/м. Ответ выразить в рад/с, округлив до целых.

К задаче 4

Решение.

Найдём возвращающую силу, действующую на каждый из шариков при смещении его из положения равновесия на некоторое расстояние \Delta x. Пусть x_0 – начальное расстояние шарика от центра системы, x – новое расстояние, L_0 – начальная длина пружины, L – длина в растянутом состоянии, \Delta L – изменение её длины.

Как видно из рисунка, L_0=2x_0\cdot\cos30^\circ и L=2x\cdot\cos30^\circ. Тогда каждая из пружин при смещении шариков окажется растянутой на величину \Delta L=L-L_0=2(x-x_0)\cdot\cos30^\circ=\sqrt 3\Delta x. Следовательно, на каждый шарик будут действовать две равные по модулю силы F=k\cdot\Delta L=\sqrt 3k\cdot \Delta x.

Равнодействующая этих сил направлена к положению равновесия и равна F_{_{BO3BP}}=2F\cdot\cos 30^\circ=3k\cdot\Delta x, следовательно, \omega=\sqrt{\frac{3k}{m}}=30.

Ответ: 30 рад/с.

 

Задача 5. Система состоит из двух брусков массами 2m и 3m, между которыми расположена пружина жесткостью k=100 Н/м. Систему поставили вертикально. При какой максимальной амплитуде колебания верхнего бруска будут гармоническими? Считать, что ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}, m=0,2 кг. Ответ выразить в см, округлив до целых.

К задаче 5

Решение.

Из второго закона Ньютона, записанного для верхнего грузика в положении равновесия, получается, что в равновесии пружина сжата на

    \[\Delta x_0=\frac{2mg}{k}\]

Условием отрыва нижнего груза от стола является равенство нулю силы реакции опоры, действующей на него со стороны стола. Из второго закона Ньютона, записанного для нижнего груза в предельном случае (ещё не отрывается, то есть ускорение равно нулю, но сила реакции опоры уже ноль), получается, что пружина должна быть растянута на

    \[\Delta x_1=\frac{3mg}{k}\]

Из этих двух уравнений получается, что максимальная амплитуда колебаний, при которой нижний брусок не отрывается от стола, равна

    \[A=\Delta x_0+\Delta x_1=\frac{5mg}{k}=10.\]

Ответ: 10 см.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *