Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны, Олимпиадная физика

Колебания: сложные задачи, продолжение.

Статья является продолжением предыдущей, но задачи будут чуть сложнее. А в следующей – еще сложнее, так что разбираемся!

Задача 1. Однородную по длине пружину жесткости k разрезали на две части так, что отношение их длин равно n. С помощью получившихся двух пружин небольшое тело массы m закрепили между двумя стенками так, как показано на рисунке. Обе пружины при этом оказались недеформированными. Пренебрегая массой пружин и силой тяжести, найдите период малых колебаний тела. Трения нет.

К задаче 1

По отношению понимаем, что пружину разбили на n+1 кусочков, затем один кусочек отрезали. Жесткость такого кусочка равна

    \[k_1=k(n+1)\]

Тогда жесткость того, что длиннее в n раз, равна

    \[k_2=\frac{ k(n+1)}{n}\]

Если сместить груз из положения равновесия на \Delta x, то одна пружина сожмется, другая растянется и тогда сразу две силы упругости начнут действовать на груз:

    \[F_1=k_1\Delta x\]

    \[F_2=k_2\Delta x\]

И результирующая равна

    \[F=F_1+F_2\]

Тогда

    \[ma= (k_1+k_2)\Delta x=\left( k(n+1)+ \frac{ k(n+1)}{n}\right)\Delta x=\frac{ k(n+1)^2}{n}\Delta x\]

Следовательно

    \[\omega^2=\frac{ k(n+1)^2}{n\cdot m}\]

И период

    \[T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{ k(n+1)^2}{n\cdot m}}}=\frac{2\pi}{n+1}\sqrt{\frac{nm}{k}}\]

Ответ: T=\frac{2\pi}{n+1}\sqrt{\frac{nm}{k}}.

Задача 2. Определите период T малых вертикальных колебаний тела массой m в системе, показанной на рисунке, если точка подвеса верхней пружины движется вниз с постоянным ускорением a<g. Жесткости пружин равны k_1 и k_2. Их массами можно пренебречь.

К задаче 2

Жесткость системы пружин, соединенных последовательно, вычисляется как

    \[k=\frac{k_1k_2}{ k_1+k_2}\]

Вывод этой формулы здесь.

Если груз движется с ускорением a, то

    \[ma=F_{upr}=k\Delta x\]

    \[a=\frac{k}{m}\Delta x\]

    \[\omega^2=\frac{k}{m}=\frac{ k_1k_2}{m (k_1+k_2)}\]

Ну и период

    \[T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{ k_1k_2}{m (k_1+k_2)}}}= 2\pi\sqrt{\frac{m (k_1+k_2)} { k_1k_2}}\]

Ответ: T=2\pi\sqrt{\frac{m (k_1+k_2)} { k_1k_2}}.

Задача 3. Вертикально ориентированная пробирка с дробью на дне плавает в воде. Определите период T малых вертикальных колебаний пробирки, если ее вывели из положения равновесия легким толчком в вертикальном направлении. Площадь поперечного сечения пробирки S, плотность воды \rho_0, масса пробирки с дробью m.

На пробирку действуют силы Архимеда и тяжести. В равновесии для нее можно написать

    \[mg=F_A\]

То есть

    \[mg=\rho_0 g V_p\]

Тогда масса пробирки

    \[m=\rho_0  S x_0\]

Теперь выведем пробирку из положения равновесия. Она погрузится больше после толчка и сила Архимеда станет больше силы тяжести. Появится возвращающая сила в виде разности сил Архимеда и тяжести.

    \[F=F_A'-mg=\rho_0 g S (x_0+\Delta x)-mg\]

Тогда ускорение равно

    \[ma=\rho_0 g S (x_0+\Delta x)-mg\]

    \[a=\frac{\rho_0 g S (x_0+\Delta x)}{m}-g=\frac{\rho_0 g S (x_0+\Delta x)}{ \rho_0  S x_0}-g=g\left(\frac{  (x_0+\Delta x)}{  x_0}-1\right)=g\frac{\Delta x}{  x_0}\]

Мы знаем, что a=\omega^2 \Delta x,

    \[\omega=\sqrt{\frac{g}{  x_0}}=\sqrt{\frac{g\rho_0 S}{  m}}\]

Или период

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{  m}{g\rho_0 S}}\]

Ответ: T=2\pi \sqrt{\frac{  m}{g\rho_0 S}}

Задача 4. Небольшой металлический шарик массы m подвешен на нити длины L над бесконечной непроводящей горизонтальной плоскостью, равномерно заряженной с плотностью \sigma. Определите период T малых колебаний маятника, если заряд шарика равен -q (заряды шарика и плоскости противоположны по знаку).

Сила Кулона направлена в данном случае так же, как и сила тяжести, поэтому возвращающая сила равна

    \[F=mg+Eq\]

    \[ma=mg+Eq\]

    \[a=g+\frac{Eq}{m}=g+\frac{\sigma q}{2\varepsilon_0 m}\]

Период математического маятника равен

    \[T=2\pi\sqrt{\frac{L}{a}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{ g+\frac{\sigma q}{2\varepsilon_0 m}}}\]

Ответ: T=2\pi\sqrt{\frac{L}{ g+\frac{\sigma q}{2\varepsilon_0 m}}}.

Задача 5. Тонкий поршень массы m расположен в равновесии посередине гладкого горизонтального цилиндрического сосуда диаметра D и длины L. По обе стороны от поршня находится идеальный газ, давление которого равно p_0. Если поршень сместить из положения равновесия на малое расстояние a и затем отпустить, то он начнет совершать колебания. Определите время, за которое при колебаниях поршень сместится из положения равновесия на расстояние, равное 0,5a. Трение не учитывать. Процесс считать изотермическим.

Сначала давления в правой и левой частях сосуда одинаковы и равны p_0. Когда поршень сместят из положения равновесия, объемы изменятся и справа, и слева, и давления тоже, пусть они станут равными p_1 и p_2. Тогда

    \[p_0V_0=p_1V_1~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

    \[p_0V_0=p_2V_2\]

Или

    \[p_1V_1= p_2V_2\]

    \[p_1 S\left(\frac{L}{2}-a\right)= p_2 S\left(\frac{L}{2}+a\right)\]

Возвращающая сила будет равна

    \[F=F_1-F_2=p_1S-p_2S=Sp_1\left(1-\frac{\frac{L}{2}-a }{\frac{L}{2}+a }\right)\]

Из (1) получим, что

    \[Sp_1=\frac{p_0S \frac{L}{2}}{\frac{L}{2}-a}\]

Тогда возвращающая сила равна

    \[F=\frac{p_0S \frac{L}{2}}{\frac{L}{2}-a}\cdot\left(1-\frac{\frac{L}{2}-a }{\frac{L}{2}+a }\right)=\frac{p_0S\frac{L}{2}\cdot 2a}{\frac{L^2}{4}-a^2}\]

Пренебрежем очень малой величиной a^2, тогда

    \[F=\frac{4p_0 S L a}{L^2}=\frac{4p_0 S a}{L}\]

    \[ma=\frac{4p_0 S a}{L}\]

    \[a=\frac{4p_0 S a}{L m}\]

Мы знаем, что a=\omega^2 a,

    \[\omega=\sqrt{\frac{4p_0 S }{L m}}\]

    \[T=2\pi\sqrt{\frac{L m}{4p_0 S }}=\pi\sqrt{\frac{L m}{p_0 S }}\]

Смещение поршня будет происходить по закону косинуса:

    \[x=a\cos \omega t\]

Поэтому при \frac{a}{2}

    \[\frac{a}{2}= a\cos \omega t\]

    \[\cos \omega t=\frac{1}{2}\]

    \[\omega t=\frac{\pi}{3}\]

Тогда искомое время

    \[t=\frac{\pi}{3\omega }=\frac{\pi}{6}\sqrt{\frac{L m}{p_0 S }}\]

Подставим, наконец, площадь круга:

    \[t=\frac{\pi}{6}\sqrt{\frac{4L m}{p_0 \pi D^2 }}=\frac{\pi}{3D}\sqrt{\frac{L m}{p_0 \pi }}\]

Ответ: t=\frac{\pi}{3D}\sqrt{\frac{L m}{p_0 \pi }}.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *