Колебания: сложные задачи, продолжение.

Статья является продолжением предыдущей, но задачи будут чуть сложнее. А в следующей – еще сложнее, так что разбираемся!

Задача 1. Однородную по длине пружину жесткости $k$ разрезали на две части так, что отношение их длин равно $n$ . С помощью получившихся двух пружин небольшое тело массы $m$ закрепили между двумя стенками так, как показано на рисунке. Обе пружины при этом оказались недеформированными. Пренебрегая массой пружин и силой тяжести, найдите период малых колебаний тела. Трения нет.

К задаче 1

По отношению понимаем, что пружину разбили на $n+1$ кусочков, затем один кусочек отрезали. Жесткость такого кусочка равна

$k_1=k(n+1)$

Тогда жесткость того, что длиннее в $n$ раз, равна

$k_2=\frac{ k(n+1)}{n}$

Если сместить груз из положения равновесия на $\Delta x$ , то одна пружина сожмется, другая растянется и тогда сразу две силы упругости начнут действовать на груз:

$F_1=k_1\Delta x$

$F_2=k_2\Delta x$

И результирующая равна

$F=F_1+F_2$

Тогда

$ma= (k_1+k_2)\Delta x=\left( k(n+1)+ \frac{ k(n+1)}{n}\right)\Delta x=\frac{ k(n+1)^2}{n}\Delta x$

Следовательно

$\omega^2=\frac{ k(n+1)^2}{n\cdot m}$

И период

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{ k(n+1)^2}{n\cdot m}}}=\frac{2\pi}{n+1}\sqrt{\frac{nm}{k}}$

Ответ: $T=\frac{2\pi}{n+1}\sqrt{\frac{nm}{k}}$ .

Задача 2. Определите период $T$ малых вертикальных колебаний тела массой $m$ в системе, показанной на рисунке, если точка подвеса верхней пружины движется вниз с постоянным ускорением $a<g$ . Жесткости пружин равны $k_1$ и $k_2$ . Их массами можно пренебречь.

К задаче 2

Жесткость системы пружин, соединенных последовательно, вычисляется как

$k=\frac{k_1k_2}{ k_1+k_2}$

Вывод этой формулы здесь.

Если груз движется с ускорением $a$ , то

$ma=F_{upr}=k\Delta x$

$a=\frac{k}{m}\Delta x$

$\omega^2=\frac{k}{m}=\frac{ k_1k_2}{m (k_1+k_2)}$

Ну и период

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{ k_1k_2}{m (k_1+k_2)}}}= 2\pi\sqrt{\frac{m (k_1+k_2)} { k_1k_2}}$

Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{m (k_1+k_2)} { k_1k_2}}$ .

Задача 3. Вертикально ориентированная пробирка с дробью на дне плавает в воде. Определите период $T$ малых вертикальных колебаний пробирки, если ее вывели из положения равновесия легким толчком в вертикальном направлении. Площадь поперечного сечения пробирки $S$ , плотность воды $\rho_0$ , масса пробирки с дробью $m$ .

На пробирку действуют силы Архимеда и тяжести. В равновесии для нее можно написать

$mg=F_A$

То есть

$mg=\rho_0 g V_p$

Тогда масса пробирки

$m=\rho_0 S x_0$

Теперь выведем пробирку из положения равновесия. Она погрузится больше после толчка и сила Архимеда станет больше силы тяжести. Появится возвращающая сила в виде разности сил Архимеда и тяжести.

$F=F_A'-mg=\rho_0 g S (x_0+\Delta x)-mg$

Тогда ускорение равно

$ma=\rho_0 g S (x_0+\Delta x)-mg$

$a=\frac{\rho_0 g S (x_0+\Delta x)}{m}-g=\frac{\rho_0 g S (x_0+\Delta x)}{ \rho_0 S x_0}-g=g\left(\frac{ (x_0+\Delta x)}{ x_0}-1\right)=g\frac{\Delta x}{ x_0}$

Мы знаем, что $a=\omega^2 \Delta x$ ,

$\omega=\sqrt{\frac{g}{ x_0}}=\sqrt{\frac{g\rho_0 S}{ m}}$

Или период

$T=2\pi \sqrt{\frac{ m}{g\rho_0 S}}$

Ответ: $T=2\pi \sqrt{\frac{ m}{g\rho_0 S}}$

Задача 4. Небольшой металлический шарик массы $m$ подвешен на нити длины $L$ над бесконечной непроводящей горизонтальной плоскостью, равномерно заряженной с плотностью $\sigma$ . Определите период $T$ малых колебаний маятника, если заряд шарика равен $-q$ (заряды шарика и плоскости противоположны по знаку).

Сила Кулона направлена в данном случае так же, как и сила тяжести, поэтому возвращающая сила равна

$F=mg+Eq$

$ma=mg+Eq$

$a=g+\frac{Eq}{m}=g+\frac{\sigma q}{2\varepsilon_0 m}$

Период математического маятника равен

$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{a}}=2\pi\sqrt{\frac{L}{ g+\frac{\sigma q}{2\varepsilon_0 m}}}$

Ответ: $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{ g+\frac{\sigma q}{2\varepsilon_0 m}}}$ .

Задача 5. Тонкий поршень массы $m$ расположен в равновесии посередине гладкого горизонтального цилиндрического сосуда диаметра $D$ и длины $L$ . По обе стороны от поршня находится идеальный газ, давление которого равно $p_0$ . Если поршень сместить из положения равновесия на малое расстояние $a$ и затем отпустить, то он начнет совершать колебания. Определите время, за которое при колебаниях поршень сместится из положения равновесия на расстояние, равное $0,5a$ . Трение не учитывать. Процесс считать изотермическим.

Сначала давления в правой и левой частях сосуда одинаковы и равны $p_0$ . Когда поршень сместят из положения равновесия, объемы изменятся и справа, и слева, и давления тоже, пусть они станут равными $p_1$ и $p_2$ . Тогда