Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны

Колебания. Пружинный маятник. Задачи среднего уровня

После освоения самых простых задач можно и нужно пытаться решать задачи средней сложности, а затем переходить и к более сложным. Успех на ЕГЭ по физике – это умение решать задачи.

Пружинный маятник

Задача 1. К пружине подвешивают поочередно два различных грузика. Период гармонических колебаний первого грузика равен T_1, второго T_2. Чему будет равен период колебаний, если к этой же пружине подвесить одновременно два грузика? если грузики, соединенные вместе, подвесить к концам двух таких пружин, закрепленных другими концами в точке подвеса?

Запишем период колебаний первого груза:

    \[T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}\]

Период колебаний второго груза:

    \[T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m_2}{k}}\]

Если соединить оба груза вместе, то период системы будет равен:

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}\]

Так как нам неизвестны ни массы, ни жесткость пружины, то попробуем найти сумму: \frac{m_1}{k}+\frac{m_2}{k}. Возведем в квадрат первое и второе уравнения:

    \[T_1^2=4 \pi^2 \frac{m_1}{k}\]

    \[T_2^2=4 \pi^2 \frac{m_2}{k}\]

Тогда

    \[\frac{m_1}{k}=\frac{ T_1^2}{4 \pi^2 }\]

    \[\frac{m_2}{k}=\frac{ T_2^2}{4 \pi^2 }\]

Теперь подставим эти выражения в уравнение для периода колебаний пружины с обоими грузами:

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{ T_1^2}{4 \pi^2 }+\frac{ T_2^2}{4 \pi^2 }}=\sqrt{ T_1^2+ T_2^2}\]

Если две пружины соединить, подвесив параллельно, то жесткость такого соединения будет равна 2k. Тогда период колебаний системы будет равен

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{m_1+m_2}{2k}}=\sqrt{ \frac{T_1^2+ T_2^2}{2}}\]

Ответ: T=\sqrt{ T_1^2+ T_2^2}, T=\sqrt{ \frac{T_1^2+ T_2^2}{2}}.
Задача 2. Если к пружине подвесить поочередно два разных груза, пружина удлиняется на \Delta x_1= 1 см и \Delta x_2= 2 см соответственно. Определить период колебаний, когда к пружине подвешены оба груза.

Запишем закон Гука:

    \[m_1g=k \Delta x_1\]

    \[m_2g=k \Delta x_2\]

Откуда

    \[\frac{\Delta x_1}{g}=\frac{ m_1 }{k}\]

    \[\frac{\Delta x_2}{g}=\frac{ m_2 }{k}\]

Период колебаний системы равен:

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{\Delta x_1+\Delta x_2}{g}}\]

    \[T=2 \cdot 3,14 \sqrt{\frac{0,01+0,02}{10}}=0,347\]

Ответ: T=0,347 с.
Задача 3. На легкой, вертикально расположенной пружине подвешена пластина массой m_0 = 20 г, на которой лежит грузик массой m_1=15 г. Период колебаний такой системы равен T= 1 с. Затем грузик заменяют другим массой m_2 =25 г. Каким станет удлинение пружины при равновесии?

Сначала период равен

    \[T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m_1+m_0}{k}}\]

Отсюда найдем жесткость пружины

    \[k=\frac{4 \pi^2(m_1+m_0)}{T_1^2}\]

Потом, когда груз заменяют другим, то растяжение пружины изменится:

    \[\Delta l=\frac{F}{k}=\frac{(m_0+m_2)g}{k}=\frac{(m_0+m_2)g T_1^2}{4 \pi^2(m_0+m_1)}\]

    \[\Delta l=\frac{(0,045)\cdot 9,8\cdot 1^2}{4 \cdot 3,14^2(0,035)}=0,32\]

Ответ: \Delta l=0,32 м.

Задача 4. Груз массой m_1= 100 г, подвешенный на пружине, совершает колебания. Когда к пружине с грузом подвесили еще один груз, частота колебаний уменьшилась в n = 2 раза. Определить массу второго груза.

Запишем период колебаний первого груза:

    \[T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}\]

Период колебаний двух грузов:

    \[T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}\]

По условию, раз частота уменьшилась вдвое, значит, период вырос вдвое. Возведем в квадрат оба выражения и разделим второе на первое:

    \[T_1^2=4 \pi^2 \frac{m_1}{k}\]

    \[T_2^2=4 \pi^2 \frac{m_1+m_2}{k}\]

    \[\frac{ T_2^2}{ T_1^2}=\frac{ m_1+m_2}{ m_1}=4\]

    \[m_1+m_2=4m_1\]

    \[m_2=3m_1=0,3\]

Ответ: m_2=0,3 кг.
Задача 5. На двух пружинах подвешены грузы массами m_1= 100 г и m_2 =50 г соответственно. При этом пружины удлиняются на одинаковую величину. Определить отношение периодов колебаний этих систем. Каков период колебаний первого груза, если жесткость второй пружины k_2= 10 Н/м? Найти жесткость первой пружины.

Поскольку сила тяжести, воздействующая на  первую пружину, вдвое больше, чем на вторую, а растяжение пружин одинаково, то жесткость первой, очевидно, вдвое больше жесткости второй:

    \[k_2=\frac{1}{2}k_1\]

Запишем период колебаний первого груза:

    \[T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}\]

Период колебаний второго груза:

    \[T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m_2}{k}}\]

Запишем отношение периодов колебаний систем:

    \[\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{\frac{m_1k_2}{m_2k_1}}=\sqrt{\frac{m_1}{2m_2}}=1\]

Так как  k_2=\frac{1}{2}k_1, то k_1=20 Н/м.

Ответ: \frac{T_1}{T_2}=1, то k_1=20 Н/м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *