Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны

Колебания. Пружинный маятник. Задачи среднего уровня

[latexpage]

После освоения самых простых задач можно и нужно пытаться решать задачи средней сложности, а затем переходить и к более сложным. Успех на ЕГЭ по физике – это умение решать задачи.

Пружинный маятник

Задача 1. К пружине подвешивают поочередно два различных грузика. Период гармонических колебаний первого грузика равен $T_1$, второго $T_2$. Чему будет равен период колебаний, если к этой же пружине подвесить одновременно два грузика? если грузики, соединенные вместе, подвесить к концам двух таких пружин, закрепленных другими концами в точке подвеса?

Запишем период колебаний первого груза:

$$T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$$

Период колебаний второго груза:

$$T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m_2}{k}}$$

Если соединить оба груза вместе, то период системы будет равен:

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}$$

Так как нам неизвестны ни массы, ни жесткость пружины, то попробуем найти сумму: $\frac{m_1}{k}+\frac{m_2}{k}$. Возведем в квадрат первое и второе уравнения:

$$T_1^2=4 \pi^2 \frac{m_1}{k}$$

$$T_2^2=4 \pi^2 \frac{m_2}{k}$$

Тогда

$$\frac{m_1}{k}=\frac{ T_1^2}{4 \pi^2 }$$
$$\frac{m_2}{k}=\frac{ T_2^2}{4 \pi^2 }$$
Теперь подставим эти выражения в уравнение для периода колебаний пружины с обоими грузами:

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{ T_1^2}{4 \pi^2 }+\frac{ T_2^2}{4 \pi^2 }}=\sqrt{ T_1^2+ T_2^2}$$

Если две пружины соединить, подвесив параллельно, то жесткость такого соединения будет равна $2k$. Тогда период колебаний системы будет равен

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m_1+m_2}{2k}}=\sqrt{ \frac{T_1^2+ T_2^2}{2}}$$

Ответ: $T=\sqrt{ T_1^2+ T_2^2}$, $T=\sqrt{ \frac{T_1^2+ T_2^2}{2}}$.
Задача 2. Если к пружине подвесить поочередно два разных груза, пружина удлиняется на $\Delta x_1= 1$ см и $\Delta x_2= 2$ см соответственно. Определить период колебаний, когда к пружине подвешены оба груза.

Запишем закон Гука:

$$m_1g=k \Delta x_1$$

$$m_2g=k \Delta x_2$$

Откуда

$$\frac{\Delta x_1}{g}=\frac{ m_1 }{k}$$

$$\frac{\Delta x_2}{g}=\frac{ m_2 }{k}$$

Период колебаний системы равен:

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{\Delta x_1+\Delta x_2}{g}}$$

$$T=2 \cdot 3,14 \sqrt{\frac{0,01+0,02}{10}}=0,347$$

Ответ: $T=0,347$ с.
Задача 3. На легкой, вертикально расположенной пружине подвешена пластина массой $m_0 = 20$ г, на которой лежит грузик массой $m_1=15$ г. Период колебаний такой системы равен $T= 1$ с. Затем грузик заменяют другим массой $m_2 =25$ г. Каким станет удлинение пружины при равновесии?

Сначала период равен

$$T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m_1+m_0}{k}}$$

Отсюда найдем жесткость пружины

$$k=\frac{4 \pi^2(m_1+m_0)}{T_1^2}$$

Потом, когда груз заменяют другим, то растяжение пружины изменится:

$$\Delta l=\frac{F}{k}=\frac{(m_0+m_2)g}{k}=\frac{(m_0+m_2)g T_1^2}{4 \pi^2(m_0+m_1)}$$
$$\Delta l=\frac{(0,045)\cdot 9,8\cdot 1^2}{4 \cdot 3,14^2(0,035)}=0,32$$
Ответ: $\Delta l=0,32$ м.

Задача 4. Груз массой $m_1= 100$ г, подвешенный на пружине, совершает колебания. Когда к пружине с грузом подвесили еще один груз, частота колебаний уменьшилась в $n = 2$ раза. Определить массу второго груза.

Запишем период колебаний первого груза:

$$T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m_1}{k}}$$

Период колебаний двух грузов:

$$T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}}$$

По условию, раз частота уменьшилась вдвое, значит, период вырос вдвое. Возведем в квадрат оба выражения и разделим второе на первое:

$$T_1^2=4 \pi^2 \frac{m_1}{k}$$

$$T_2^2=4 \pi^2 \frac{m_1+m_2}{k}$$

$$\frac{ T_2^2}{ T_1^2}=\frac{ m_1+m_2}{ m_1}=4$$

$$ m_1+m_2=4m_1$$
$$ m_2=3m_1=0,3$$
Ответ: $m_2=0,3$ кг.
Задача 5. На двух пружинах подвешены грузы массами $m_1= 100$ г и $m_2 =50$ г соответственно. При этом пружины удлиняются на одинаковую величину. Определить отношение периодов колебаний этих систем. Каков период колебаний первого груза, если жесткость второй пружины $k_2= 10$ Н/м? Найти жесткость первой пружины.

Поскольку сила тяжести, воздействующая на  первую пружину, вдвое больше, чем на вторую, а растяжение пружин одинаково, то жесткость первой, очевидно, вдвое больше жесткости второй:

$$k_2=\frac{1}{2}k_1$$

Запишем период колебаний первого груза:

$$T_1=2 \pi \sqrt{\frac{m_1}{k_1}}$$

Период колебаний второго груза:

$$T_2=2 \pi \sqrt{\frac{m_2}{k_2}}$$

Запишем отношение периодов колебаний систем:

$$\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{\frac{m_1k_2}{m_2k_1}}=\sqrt{\frac{m_1}{2m_2}}=1$$

Так как  $k_2=\frac{1}{2}k_1$, то $k_1=20$ Н/м.

Ответ: $\frac{T_1}{T_2}=1$,  $k_1=20$ Н/м.

Комментариев - 2

  • Жаслан
    |

    В 5 задаче в формуле периода колебаний второго пружинного маятника забыли добавить индекс 2, исправьте, пожалуйста

    Ответить
    • Анна
      |

      Нигде не забыла… Индексы забыла, поправила. Спасибо!

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *