Хорошая задача с колебаниями перемычки в магнитном поле.
Задача. Две вертикальные проводящие рейки, расстояние между которыми , находятся в однородном магнитном поле с индукцией
. Силовые линии поля направлены перпендикулярно плоскости рисунка. Сверху рейки соединены через катушку с индуктивностью
. К рейкам прислоняют горизонтально расположенную проводящую перемычку массой
и отпускают. Перемычка сохраняет хороший контакт с рельсами.
- Через какое время после начала движения перемычка совершит первую остановку?
- На какое расстояние она переместится при этом?
- Какова максимальная скорость перемычки в процессе движения?
Трение не учитывать. Сопротивлениями проводов, реек и катушки пренебречь.

Рисунок 1
Перемычка придет в движение, и на свободные заряды в ней начнет действовать сила Лоренца. По правилу левой руки эта сила будет «пихать» заряды влево. Но заряды движутся не только вдоль перемычки (со скоростью ), они еще движутся вместе с ней вниз со скоростью
(переменной). То есть сила Лоренца будет направлена под некоторым углом – перпендикулярно абсолютной скорости зарядов
.

Рисунок 2
Сила Лоренца , то есть сила Лоренца – гироскопическая, не совершает работы.
Если силу Лоренца разложить на две составляющие – вдоль и поперек перемычки, то составляющая, направленная вдоль перемычки, будет отвечать за создание ЭДС индукции (именно она «подпинывает» заряды), а составляющие, направленные поперек, мы сложим в одну силу и будем называть силой Ампера.
То есть проводник подобен батарейке, ЭДС которой определяется работой сторонних сил
Где – работа сторонних сил (продольной составляющей силы Лоренца)

Рисунок 3
У нас и
.
Работа силы Лоренца равна
В начальный момент времени скорость перемычки равна 0, и координату в этот момент времени сделаем равной нулю – в этой точке у нас будет начало координат. Ток в перемычке в данный момент тоже нулевой. Итак, начальные условия
Скорость перемычки будет нарастать, и, следовательно, ток тоже будет нарастать, потому что движущаяся перемычка эквивалентна ЭДС и схема принимает вид:

Рисунок 4
Растущий ток вызовет появление ЭДС самоиндукции в катушке
Или
Домножаем на :
Заменим ,
Обобщаем на большой промежуток времени (суммируем):
Ток пропорционален смещению перемычки, а значит, и сила Ампера также: .
Но сила Ампера равна
По второму закону Ньютона
Или
Получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний!
Общий его вид
Где – координата положения равновесия. В этой точке ускорение равно нулю, а скорость максимальна.
Решение будет иметь общий вид
У нас выходит
Тогда период
Первую остановку перемычка сделает, пройдя две амплитуды, то есть на это уйдет время , поэтому ответ на первый вопрос задачи –
Ответ на второй вопрос – это величина, равная двум амплитудам, поэтому сейчас надо отыскать амплитуду . Это можно сделать по-разному.
Первый способ. Вспомним, что в точке равновесия ускорение равно нулю – тогда
Второй способ. Решим дифференциальное уравнение:
Подставим нулевую координату в начальный момент времени:
Или
Возьмем производную – так мы определим скорость – и подставим затем начальные условия для скорости:
Или .
Тогда
И максимум будет при равенстве косинуса (-1), тогда
Третий способ – энергетический. Сумма работ силы тяжести и силы Ампера равна нулю:
Сила же Ампера переменная, и работа ее отрицательна – так как направлена она противоположно перемещению перемычки. Нарисуем ее график и определим работу как площадь под ним:

Рисунок 5
Тогда
Четвертый способ.
Но мы уже говорили, что
Работа сторонних сил равна работе батарейки и равна изменению энергии катушки – эта энергия вначале равна нулю.
Тогда
Т.к. ,
Теперь отвечаем на третий вопрос задачи. Можно воспользоваться формулой из кодификатора (первый способ):
А
И тогда
Второй способ:
Дальше – как в первом способе.
Третий способ – энергетический. В положении равновесия у перемычки есть кинетическая энергия, поэтому

Рисунок 6
Тогда
Ответ: 1) ; 2)
;
3) .
А куда делся квадрат синуса альфа в точке...
К зад.20 и аналогичным: Вектор конечной скорости можно разложить на...
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...