Колебания: интересные задачи

Сложные и средней сложности задачи предлагаю вам в этой статье. Они взяты из задачника Г.А. Никуловой и А.Н. Москалева. После решения этих задач вы будете более уверенно чувствовать себя на ЕГЭ по физике.

Задача 1. Найдите период колебаний бруска массой кг в системе, изображенной на рисунке. Жесткость пружин Н/м, Н/м. Трением пренебречь.

На брусок будут действовать две силы упругости: от первой и второй пружин. Причем если одна  пружина растянута, то другая сжата, следовательно, обе силы всегда направлены в одну сторону, так как одна пружина стремится сжаться, а другая, наоборот, растянуться. Таким образом, равнодействующая будет суммой обеих сил:

   

Тогда общий коэффициент жесткости

   

Следовательно, период равен

   

Ответ: с.

Задача 2. Определите среднюю скорость при колебаниях пружинного маятника с амплитудой см и периодом колебаний с за время движения маятника а) от положения равновесия до отклонения в 0,5 см; б) от максимального отклонения до отклонения 0,5 см.

Средняя скорость – это весь пройденный телом путь, деленный на все время. Определим и то, и другое. Общая форма записи координаты при колебательном движении

   

Где – начальная фаза. Предположим, она равна нулю – для нашей задачи это совершенно неважно. Тогда, если тело прошло пол-амплитуды, то

   

Отсюда следует, что

   

А . Это составляет двенадцатую часть периода:

   

   

Теперь можно определять среднюю скорость: разделим путь на время.

   

Теперь второй случай. Теперь грузик перемещается от точки с максимальной амплитудой до отклонения 0,5 см. Но  если положение равновесия он проходит с максимальной скоростью, и на последующие за положением равновесия 0,5 см у него уходит одно время, то на путь из точки с максимальной амплитудой до 0,5 см у него уйдет больше времени: ведь в точке с максимальной амплитудой он неподвижен.  Определим, сколько понадобится на тот же путь времени в этот раз.  Движение из точки в точку занимает , а движение из точки в точку – время , уже определенное нами ранее. Тогда

   

Тогда средняя скорость равна

   

Ответ: 0,06 и 0,03 м/с.

Задача 3. Груз массой  колеблется на пружине жесткостью с амплитудой . Найдите в точке с координатой : а) кинетическую энергию; б) скорость прохождения грузом этой точки.

Общая форма записи координаты при колебательном движении

   

Где – начальная фаза. Предположим, она равна нулю. Тогда

   

Максимальная потенциальная энергия пружины равна

   

Потенциальная энергия пружины в точке

   

Тогда кинетическая энергия груза будет равна разности этих потенциальных энергий:

   

Так как

   

То скорость в этой точке

   

Ответ: , .

Задача 4. Какова частота собственных колебаний соснового бруска массой кг и площадью поперечного сечения см, плавающего в вертикальном положении в озере? Плотность древесины кг/м.

Брусок плавает в озере, сила Архимеда уравновешивает силу тяжести.

   

Если мы чуть надавим и погрузим брусок чуть больше, то возникнет добавка к уже ранее погруженной части, дополнительный погруженный объем, и «излишек» силы Архимеда, который и станет возвращающей силой и вызовет колебания бруска, когда мы его отпустим.

Этот «излишек» Архимедовой силы равен

   

Где – дополнительная глубина, на которую мы погрузили брусок.

Эту силу можно считать «силой упругости воды», и записать так:

   

Тогда «коэффициент упругости воды» будет равен

   

Частота колебаний определяется формулой

   

Ответ: 1,6 Гц.

Задача 5. Найдите период колебаний математического маятника длиной см, подвешенного в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением м/с.

На маятник будет воздействовать ускорение, являющееся суммой и :

   

Период колебаний такого маятника равен

   

   

Линия отвеса тоже поменяет положение, отклонившись от вертикали на угол:

   

Ответ: с, .

 

Задача 6. С каким ускорением и в каком направлении должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней  секундный маятник за время мин с совершил колебаний?

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

   

Период был равен 1 с, а потом под действием ускорения изменился, и стал равен

   

Так как длина нити не менялась, а период вырос в полтора раза, следовательно, изменилось ускорение: ускорение свободного падения уменьшилось на величину ускорения лифта. Из этого делаем вывод, что лифт идет вниз.

   

   

Длину нити найдем из условия, что истинный период маятника – секунда:

   

И подставим:

   

Ответ: 5,6 м/с.

Задача 7. Определите период колебаний маятника. Масса груза 400 г, жесткость пружины Н/м. Массой стержня пренебречь. Точка прикрепления пружины к стержню делит ее длину в отношении , считая от шарика. В положении равновесия стержень горизонтален, а ось пружины вертикальна.

По правилу моментов запишем

   

Где – сила, растягивающая пружину.

   

Тогда растяжение пружины

   

Если таково растяжение пружины, то «ход» груза на конце стержня будет в 1,5 раза больше – из подобия треугольников. Тогда

   

То есть эквивалентная масса груза ()

   

Следовательно, период колебаний

   

Ответ: 1,88 с