Колебания: интересные задачи

[latexpage]

Сложные и средней сложности задачи предлагаю вам в этой статье. Они взяты из задачника Г.А. Никуловой и А.Н. Москалева. После решения этих задач вы будете более уверенно чувствовать себя на ЕГЭ по физике.

Задача 1. Найдите период колебаний бруска массой $m=1$ кг в системе, изображенной на рисунке. Жесткость пружин $k_1=150$ Н/м, $k_2=250$ Н/м. Трением пренебречь.

На брусок будут действовать две силы упругости: от первой и второй пружин. Причем если одна  пружина растянута, то другая сжата, следовательно, обе силы всегда направлены в одну сторону, так как одна пружина стремится сжаться, а другая, наоборот, растянуться. Таким образом, равнодействующая будет суммой обеих сил:

$$F=F_1+F_2=\Delta l(k_1+k_2)$$

Тогда общий коэффициент жесткости

$$k=k_1+k_2$$

Следовательно, период равен

$$T=2 \pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}=2 \pi\sqrt{\frac{1}{400}}=\frac{\pi}{10}=0,314$$

Ответ: $T=0,314$ с.

Задача 2. Определите среднюю скорость при колебаниях пружинного маятника с амплитудой $A=1$ см и периодом колебаний $T=1$ с за время движения маятника а) от положения равновесия до отклонения в 0,5 см; б) от максимального отклонения до отклонения 0,5 см.

Средняя скорость – это весь пройденный телом путь, деленный на все время. Определим и то, и другое. Общая форма записи координаты при колебательном движении

$$x=A\sin(\omega t+\psi_0)$$

Где $\psi_0$ – начальная фаза. Предположим, она равна нулю – для нашей задачи это совершенно неважно. Тогда, если тело прошло пол-амплитуды, то

$$\frac{A}{2}=A\sin\omega t$$

Отсюда следует, что

$$\sin\omega t=\frac{1}{2}$$

А $\omega t=\frac{\pi}{6}$. Это составляет двенадцатую часть периода:

$$\frac{2\pi}{T}t=\frac{\pi}{6}$$

$$t=\frac{T}{12}$$

Теперь можно определять среднюю скорость: разделим путь на время.

$$\upsilon_{sr}=\frac{ A\sin\omega t }{\frac{T}{12}}=\frac{ A\sin{\frac{2\pi}{T}\cdot\frac{T}{12}} }{\frac{T}{12}}=\frac{ A\sin{\frac{\pi}{6}} }{\frac{T}{12}}=\frac{6A}{T}=0,06$$

Теперь второй случай. Теперь грузик перемещается от точки с максимальной амплитудой до отклонения 0,5 см. Но  если положение равновесия он проходит с максимальной скоростью, и на последующие за положением равновесия 0,5 см у него уходит одно время, то на путь из точки с максимальной амплитудой до 0,5 см у него уйдет больше времени: ведь в точке с максимальной амплитудой он неподвижен.  Определим, сколько понадобится на тот же путь времени в этот раз.  Движение из точки $a$ в точку $c$ занимает $\frac{T}{4}$, а движение из точки $b$ в точку $c$ – время $t$, уже определенное нами ранее. Тогда

$$t_1=\frac{T}{4}-\frac{T}{12}=\frac{T}{6}$$

Тогда средняя скорость равна

$$\upsilon_{sr1}=\frac{\frac{A}{2}}{\frac{T}{6}}=\frac{3A}{T}=0,03$$

Ответ: 0,06 и 0,03 м/с.

Задача 3. Груз массой $m$  колеблется на пружине жесткостью $k$ с амплитудой $A$. Найдите в точке с координатой $x$: а) кинетическую энергию; б) скорость прохождения грузом этой точки.

Общая форма записи координаты при колебательном движении

$$x=A\sin(\omega t+\psi_0)$$

Где $\psi_0$ – начальная фаза. Предположим, она равна нулю. Тогда

$$\sin\omega t=\frac{ x }{ A }$$

Максимальная потенциальная энергия пружины равна

$$E_m=\frac{kA^2}{2}$$

Потенциальная энергия пружины в точке $x$

$$E_x=\frac{kx^2}{2}$$

Тогда кинетическая энергия груза будет равна разности этих потенциальных энергий:

$$E_k= E_m- E_x=\frac{k}{2}(A^2-x^2)$$

Так как

$$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

То скорость в этой точке

$$\upsilon=\sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)} $$

Ответ: $E_k= \frac{k}{2}(A^2-x^2)$, $\upsilon=\sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)} $.

Задача 4. Какова частота собственных колебаний соснового бруска массой $m=1,3$ кг и площадью поперечного сечения $S=160$ см$^2$, плавающего в вертикальном положении в озере? Плотность древесины $\rho=520$ кг/м$^3$.

Брусок плавает в озере, сила Архимеда уравновешивает силу тяжести.

$$mg=\rho g V_p$$

Если мы чуть надавим и погрузим брусок чуть больше, то возникнет добавка к уже ранее погруженной части, дополнительный погруженный объем, и «излишек» силы Архимеда, который и станет возвращающей силой и вызовет колебания бруска, когда мы его отпустим.

Этот «излишек» Архимедовой силы равен

$$\Delta F_A=\rho g S \Delta x$$

Где $\Delta x $ – дополнительная глубина, на которую мы погрузили брусок.

Эту силу можно считать «силой упругости воды», и записать так:

$$\rho g S \Delta x=k\Delta x$$

Тогда «коэффициент упругости воды» будет равен

$$k=\rho g S$$

Частота колебаний определяется формулой

$$\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\rho g S }{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{10^3\cdot 10\cdot160\cdot10^{-4}}{1,3}}=1,76$$

Ответ: 1,76 Гц.

Задача 5. Найдите период колебаний математического маятника длиной $l=44$ см, подвешенного в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением $a=4,6$ м/с$^2$.

На маятник будет воздействовать ускорение, являющееся суммой $\vec{a}$ и $\vec{g}$:

$$a_1=\sqrt{a^2+g^2}$$

Период колебаний такого маятника равен

$$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{a_1}}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{a^2+g^2}}}$$

$$T=2 \cdot (3,14) \sqrt{\frac{0,44}{\sqrt{4,6^2+10^2}}}=1,26$$

Линия отвеса тоже поменяет положение, отклонившись от вертикали на угол:

$$\alpha=\operatorname{arctg}\frac{a}{g}=\operatorname{arctg}1,1=48^{\circ}$$

Ответ: $T=1,26$ с, $\alpha=48^{\circ}$.

 

Задача 6. С каким ускорением $a$ и в каком направлении должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней  секундный маятник за время $t=2$ мин $30$ с совершил $n=100$ колебаний?

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

Период был равен 1 с, а потом под действием ускорения изменился, и стал равен

$$T_2=\frac{t}{n}=1,5$$

Так как длина нити не менялась, а период вырос в полтора раза, следовательно, изменилось ускорение: ускорение свободного падения уменьшилось на величину ускорения лифта. Из этого делаем вывод, что лифт идет вниз.

$$T_2^2=4 \pi^2\frac{l}{g-a}$$

$$a=-\frac{4 \pi^2l}{T_2^2}+g$$

Длину нити найдем из условия, что истинный период маятника – секунда:

$$l=\frac{T^2g}{4\pi^2}$$

И подставим:

$$a=-\frac{T^2 g}{T_2^2}+g=g\left(1-\frac{T^2n^2 }{t^2} \right)=10\left(1-\frac{10^4}{150^2}\right)=5,6$$

Ответ: 5,6 м/с$^2$.

Задача 7. Определите период колебаний маятника. Масса груза 400 г, жесткость пружины $k=10$ Н/м. Массой стержня пренебречь. Точка прикрепления пружины к стержню делит ее длину в отношении $1:2$, считая от шарика. В положении равновесия стержень горизонтален, а ось пружины вертикальна.

По правилу моментов запишем

$$mgl=Fx$$

Где $F$ – сила, растягивающая пружину.

$$F=\frac{mgl}{x}$$

Тогда растяжение пружины

$$\Delta l=\frac{F}{k}=\frac{mgl}{kx}$$

Если таково растяжение пружины, то «ход» груза на конце стержня будет в 1,5 раза больше – из подобия треугольников. Тогда

$$\Delta l_m=\frac{F}{k}=\frac{mgl^2}{kx^2}$$

То есть эквивалентная масса груза ($F=m’g=k\Delta l_m$)

$$m’=\frac{ml^2}{x^2}$$

Следовательно, период колебаний

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m’}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{ ml^2}{ kx^2}}=3 \pi\sqrt{\frac{ m}{ k}}=0,6 \pi=1,88$$

Ответ: 1,88 с