Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны

Колебания: интересные задачи

Сложные и средней сложности задачи предлагаю вам в этой статье. Они взяты из задачника Г.А. Никуловой и А.Н. Москалева. После решения этих задач вы будете более уверенно чувствовать себя на ЕГЭ по физике.

Задача 1. Найдите период колебаний бруска массой m=1 кг в системе, изображенной на рисунке. Жесткость пружин k_1=150 Н/м, k_2=250 Н/м. Трением пренебречь.

К задаче 1

На брусок будут действовать две силы упругости: от первой и второй пружин. Причем если одна  пружина растянута, то другая сжата, следовательно, обе силы всегда направлены в одну сторону, так как одна пружина стремится сжаться, а другая, наоборот, растянуться. Таким образом, равнодействующая будет суммой обеих сил:

    \[F=F_1+F_2=\Delta l(k_1+k_2)\]

Тогда общий коэффициент жесткости

    \[k=k_1+k_2\]

Следовательно, период равен

    \[T=2 \pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}=2 \pi\sqrt{\frac{1}{400}}=\frac{\pi}{10}=0,314\]

Ответ: T=0,314 с.

Задача 2. Определите среднюю скорость при колебаниях пружинного маятника с амплитудой A=1 см и периодом колебаний T=1 с за время движения маятника а) от положения равновесия до отклонения в 0,5 см; б) от максимального отклонения до отклонения 0,5 см.

Средняя скорость – это весь пройденный телом путь, деленный на все время. Определим и то, и другое. Общая форма записи координаты при колебательном движении

    \[x=A\sin(\omega t+\psi_0)\]

Где \psi_0 – начальная фаза. Предположим, она равна нулю – для нашей задачи это совершенно неважно. Тогда, если тело прошло пол-амплитуды, то

    \[\frac{A}{2}=A\sin\omega t\]

Отсюда следует, что

    \[\sin\omega t=\frac{1}{2}\]

А \omega t=\frac{\pi}{6}. Это составляет двенадцатую часть периода:

    \[\frac{2\pi}{T}t=\frac{\pi}{6}\]

    \[t=\frac{T}{12}\]

К задаче 2

Теперь можно определять среднюю скорость: разделим путь на время.

    \[\upsilon_{sr}=\frac{ A\sin\omega t }{\frac{T}{12}}=\frac{ A\sin{\frac{2\pi}{T}\cdot\frac{T}{12}} }{\frac{T}{12}}=\frac{ A\sin{\frac{\pi}{6}} }{\frac{T}{12}}=\frac{6A}{T}=0,06\]

Теперь второй случай. Теперь грузик перемещается от точки с максимальной амплитудой до отклонения 0,5 см. Но  если положение равновесия он проходит с максимальной скоростью, и на последующие за положением равновесия 0,5 см у него уходит одно время, то на путь из точки с максимальной амплитудой до 0,5 см у него уйдет больше времени: ведь в точке с максимальной амплитудой он неподвижен.  Определим, сколько понадобится на тот же путь времени в этот раз.  Движение из точки a в точку c занимает \frac{T}{4}, а движение из точки b в точку c – время t, уже определенное нами ранее. Тогда

    \[t_1=\frac{T}{4}-\frac{T}{12}=\frac{T}{6}\]

Тогда средняя скорость равна

    \[\upsilon_{sr1}=\frac{\frac{A}{2}}{\frac{T}{6}}=\frac{3A}{T}=0,03\]

Ответ: 0,06 и 0,03 м/с.

Задача 3. Груз массой m  колеблется на пружине жесткостью k с амплитудой A. Найдите в точке с координатой x: а) кинетическую энергию; б) скорость прохождения грузом этой точки.

Общая форма записи координаты при колебательном движении

    \[x=A\sin(\omega t+\psi_0)\]

Где \psi_0 – начальная фаза. Предположим, она равна нулю. Тогда

    \[\sin\omega t=\frac{ x }{ A }\]

Максимальная потенциальная энергия пружины равна

    \[E_m=\frac{kA^2}{2}\]

Потенциальная энергия пружины в точке x

    \[E_x=\frac{kx^2}{2}\]

Тогда кинетическая энергия груза будет равна разности этих потенциальных энергий:

    \[E_k= E_m- E_x=\frac{k}{2}(A^2-x^2)\]

Так как

    \[E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}\]

То скорость в этой точке

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)}\]

Ответ: E_k= \frac{k}{2}(A^2-x^2), \upsilon=\sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)}.

Задача 4. Какова частота собственных колебаний соснового бруска массой m=1,3 кг и площадью поперечного сечения S=160 см^2, плавающего в вертикальном положении в озере? Плотность древесины \rho=520 кг/м^3.

Брусок плавает в озере, сила Архимеда уравновешивает силу тяжести.

    \[mg=\rho g V_p\]

Если мы чуть надавим и погрузим брусок чуть больше, то возникнет добавка к уже ранее погруженной части, дополнительный погруженный объем, и «излишек» силы Архимеда, который и станет возвращающей силой и вызовет колебания бруска, когда мы его отпустим.

Этот «излишек» Архимедовой силы равен

    \[\Delta F_A=\rho g S \Delta x\]

Где \Delta x – дополнительная глубина, на которую мы погрузили брусок.

Эту силу можно считать «силой упругости воды», и записать так:

    \[\rho g S \Delta x=k\Delta x\]

Тогда «коэффициент упругости воды» будет равен

    \[k=\rho g S\]

Частота колебаний определяется формулой

    \[\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\rho g S }{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{10^3\cdot 10\cdot160\cdot10^{-4}}{1,3}}=1,76\]

Ответ: 1,76 Гц.

Задача 5. Найдите период колебаний математического маятника длиной l=44 см, подвешенного в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением a=4,6 м/с^2.

На маятник будет воздействовать ускорение, являющееся суммой \vec{a} и \vec{g}:

    \[a_1=\sqrt{a^2+g^2}\]

Период колебаний такого маятника равен

    \[T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{a_1}}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{a^2+g^2}}}\]

    \[T=2 \cdot (3,14) \sqrt{\frac{0,44}{\sqrt{4,6^2+10^2}}}=1,26\]

Линия отвеса тоже поменяет положение, отклонившись от вертикали на угол:

    \[\alpha=\operatorname{arctg}\frac{a}{g}=\operatorname{arctg}1,1=48^{\circ}\]

Ответ: T=1,26 с, \alpha=48^{\circ}.

 

Задача 6. С каким ускорением a и в каком направлении должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней  секундный маятник за время t=2 мин 30 с совершил n=100 колебаний?

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

    \[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]

Период был равен 1 с, а потом под действием ускорения изменился, и стал равен

    \[T_2=\frac{t}{n}=1,5\]

Так как длина нити не менялась, а период вырос в полтора раза, следовательно, изменилось ускорение: ускорение свободного падения уменьшилось на величину ускорения лифта. Из этого делаем вывод, что лифт идет вниз.

    \[T_2^2=4 \pi^2\frac{l}{g-a}\]

    \[a=-\frac{4 \pi^2l}{T_2^2}+g\]

Длину нити найдем из условия, что истинный период маятника – секунда:

    \[l=\frac{T^2g}{4\pi^2}\]

И подставим:

    \[a=-\frac{T^2 g}{T_2^2}+g=g\left(1-\frac{T^2n^2 }{t^2} \right)=10\left(1-\frac{10^4}{150^2}\right)=5,6\]

Ответ: 5,6 м/с^2.

Задача 7. Определите период колебаний маятника. Масса груза 400 г, жесткость пружины k=10 Н/м. Массой стержня пренебречь. Точка прикрепления пружины к стержню делит ее длину в отношении 1:2, считая от шарика. В положении равновесия стержень горизонтален, а ось пружины вертикальна.

К задаче 7

По правилу моментов запишем

    \[mgl=Fx\]

Где F – сила, растягивающая пружину.

    \[F=\frac{mgl}{x}\]

Тогда растяжение пружины

    \[\Delta l=\frac{F}{k}=\frac{mgl}{kx}\]

Если таково растяжение пружины, то «ход» груза на конце стержня будет в 1,5 раза больше – из подобия треугольников. Тогда

    \[\Delta l_m=\frac{F}{k}=\frac{mgl^2}{kx^2}\]

То есть эквивалентная масса груза (F=m'g=k\Delta l_m)

    \[m'=\frac{ml^2}{x^2}\]

Следовательно, период колебаний

    \[T=2\pi\sqrt{\frac{m'}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{ ml^2}{ kx^2}}=3 \pi\sqrt{\frac{ m}{ k}}=0,6 \pi=1,88\]

Ответ: 1,88 с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *