Колебания: интересные задачи

Сложные и средней сложности задачи предлагаю вам в этой статье. Они взяты из задачника Г.А. Никуловой и А.Н. Москалева. После решения этих задач вы будете более уверенно чувствовать себя на ЕГЭ по физике.

Задача 1. Найдите период колебаний бруска массой $m=1$ кг в системе, изображенной на рисунке. Жесткость пружин $k_1=150$ Н/м, $k_2=250$ Н/м. Трением пренебречь.

К задаче 1

На брусок будут действовать две силы упругости: от первой и второй пружин. Причем если одна пружина растянута, то другая сжата, следовательно, обе силы всегда направлены в одну сторону, так как одна пружина стремится сжаться, а другая, наоборот, растянуться. Таким образом, равнодействующая будет суммой обеих сил:

$F=F_1+F_2=\Delta l(k_1+k_2)$

Тогда общий коэффициент жесткости

$k=k_1+k_2$

Следовательно, период равен

$T=2 \pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}=2 \pi\sqrt{\frac{1}{400}}=\frac{\pi}{10}=0,314$

Ответ: $T=0,314$ с.

Задача 2. Определите среднюю скорость при колебаниях пружинного маятника с амплитудой $A=1$ см и периодом колебаний $T=1$ с за время движения маятника а) от положения равновесия до отклонения в 0,5 см; б) от максимального отклонения до отклонения 0,5 см.

Средняя скорость – это весь пройденный телом путь, деленный на все время. Определим и то, и другое. Общая форма записи координаты при колебательном движении

$x=A\sin(\omega t+\psi_0)$

Где $\psi_0$ – начальная фаза. Предположим, она равна нулю – для нашей задачи это совершенно неважно. Тогда, если тело прошло пол-амплитуды, то

$\frac{A}{2}=A\sin\omega t$

Отсюда следует, что

$\sin\omega t=\frac{1}{2}$

А $\omega t=\frac{\pi}{6}$ . Это составляет двенадцатую часть периода:

$\frac{2\pi}{T}t=\frac{\pi}{6}$

$t=\frac{T}{12}$

К задаче 2

Теперь можно определять среднюю скорость: разделим путь на время.

$\upsilon_{sr}=\frac{ A\sin\omega t }{\frac{T}{12}}=\frac{ A\sin{\frac{2\pi}{T}\cdot\frac{T}{12}} }{\frac{T}{12}}=\frac{ A\sin{\frac{\pi}{6}} }{\frac{T}{12}}=\frac{6A}{T}=0,06$

Теперь второй случай. Теперь грузик перемещается от точки с максимальной амплитудой до отклонения 0,5 см. Но если положение равновесия он проходит с максимальной скоростью, и на последующие за положением равновесия 0,5 см у него уходит одно время, то на путь из точки с максимальной амплитудой до 0,5 см у него уйдет больше времени: ведь в точке с максимальной амплитудой он неподвижен. Определим, сколько понадобится на тот же путь времени в этот раз. Движение из точки $a$ в точку $c$ занимает $\frac{T}{4}$ , а движение из точки $b$ в точку $c$ – время $t$ , уже определенное нами ранее. Тогда

$t_1=\frac{T}{4}-\frac{T}{12}=\frac{T}{6}$

Тогда средняя скорость равна

$\upsilon_{sr1}=\frac{\frac{A}{2}}{\frac{T}{6}}=\frac{3A}{T}=0,03$

Ответ: 0,06 и 0,03 м/с.

Задача 3. Груз массой $m$ колеблется на пружине жесткостью $k$ с амплитудой $A$ . Найдите в точке с координатой $x$ : а) кинетическую энергию; б) скорость прохождения грузом этой точки.

Общая форма записи координаты при колебательном движении

$x=A\sin(\omega t+\psi_0)$

Где $\psi_0$ – начальная фаза. Предположим, она равна нулю. Тогда

$\sin\omega t=\frac{ x }{ A }$

Максимальная потенциальная энергия пружины равна

$E_m=\frac{kA^2}{2}$

Потенциальная энергия пружины в точке $x$

$E_x=\frac{kx^2}{2}$

Тогда кинетическая энергия груза будет равна разности этих потенциальных энергий:

$E_k= E_m- E_x=\frac{k}{2}(A^2-x^2)$

Так как

$E_k=\frac{m\upsilon^2}{2}$

То скорость в этой точке

$\upsilon=\sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)}$

Ответ: $E_k= \frac{k}{2}(A^2-x^2)$ , $\upsilon=\sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)}$ .

Задача 4. Какова частота собственных колебаний соснового бруска массой $m=1,3$ кг и площадью поперечного сечения $S=160$ см $^2$ , плавающего в вертикальном положении в озере? Плотность древесины $\rho=520$ кг/м $^3$ .

Брусок плавает в озере, сила Архимеда уравновешивает силу тяжести.

$mg=\rho g V_p$

Если мы чуть надавим и погрузим брусок чуть больше, то возникнет добавка к уже ранее погруженной части, дополнительный погруженный объем, и «излишек» силы Архимеда, который и станет возвращающей силой и вызовет колебания бруска, когда мы его отпустим.

Этот «излишек» Архимедовой силы равен

$\Delta F_A=\rho g S \Delta x$

Где $\Delta x$ – дополнительная глубина, на которую мы погрузили брусок.

Эту силу можно считать «силой упругости воды», и записать так:

$\rho g S \Delta x=k\Delta x$

Тогда «коэффициент упругости воды» будет равен

$k=\rho g S$

Частота колебаний определяется формулой

$\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\rho g S }{m}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{10^3\cdot 10\cdot160\cdot10^{-4}}{1,3}}=1,76$

Ответ: 1,76 Гц.

Задача 5. Найдите период колебаний математического маятника длиной $l=44$ см, подвешенного в вагоне, движущемся горизонтально с ускорением $a=4,6$ м/с $^2$ .

На маятник будет воздействовать ускорение, являющееся суммой $\vec{a}$ и $\vec{g}$ :

$a_1=\sqrt{a^2+g^2}$

Период колебаний такого маятника равен

$T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{a_1}}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{a^2+g^2}}}$

$T=2 \cdot (3,14) \sqrt{\frac{0,44}{\sqrt{4,6^2+10^2}}}=1,26$

Линия отвеса тоже поменяет положение, отклонившись от вертикали на угол:

$\alpha=\operatorname{arctg}\frac{a}{g}=\operatorname{arctg}1,1=48^{\circ}$

Ответ: $T=1,26$ с, $\alpha=48^{\circ}$ .

Задача 6. С каким ускорением $a$ и в каком направлении должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней секундный маятник за время $t=2$ мин $30$ с совершил $n=100$ колебаний?

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Период был равен 1 с, а потом под действием ускорения изменился, и стал равен

$T_2=\frac{t}{n}=1,5$

Так как длина нити не менялась, а период вырос в полтора раза, следовательно, изменилось ускорение: ускорение свободного падения уменьшилось на величину ускорения лифта. Из этого делаем вывод, что лифт идет вниз.

$T_2^2=4 \pi^2\frac{l}{g-a}$

$a=-\frac{4 \pi^2l}{T_2^2}+g$

Длину нити найдем из условия, что истинный период маятника – секунда:

$l=\frac{T^2g}{4\pi^2}$

И подставим:

$a=-\frac{T^2 g}{T_2^2}+g=g\left(1-\frac{T^2n^2 }{t^2} \right)=10\left(1-\frac{10^4}{150^2}\right)=5,6$

Ответ: 5,6 м/с $^2$ .

Задача 7. Определите период колебаний маятника. Масса груза 400 г, жесткость пружины $k=10$ Н/м. Массой стержня пренебречь. Точка прикрепления пружины к стержню делит ее длину в отношении $1:2$ , считая от шарика. В положении равновесия стержень горизонтален, а ось пружины вертикальна.