Колебания и волны: скорости и ускорения

В этой статье мы вспомним кинематику: то, что скорость – производная координаты, а ускорение – производная скорости или вторая производная координаты. Заодно потренируемся брать производные от сложных функций.

Задача 1. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону $x = 1,2 \cos \pi (\frac{2t}{3}+\frac{1}{4})$ . Определить амплитуду, круговую частоту, период и начальную фазу колебаний. Найти амплитуды скорости и ускорения. Построить графики зависимости координаты. скорости и ускорения точки от времени.

Амплитуда равна $A=1,2$ , круговая частота (или циклическая, или угловая) равна $\omega=\frac{2\pi}{3}$ , начальная фаза равна $\psi_0=\frac{\pi}{4}$ , период колебаний – $T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi \cdot 3}{2\pi}=3$ с.

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

$\upsilon=x^{\prime}=A \omega \sin \pi (\frac{2t}{3}+\frac{1}{4})$

$a=\upsilon^{\prime}=x''=-A\omega^2\cos \pi(\frac{2t}{3}+\frac{1}{4})$

Тогда $\upsilon_{max}= A \omega=1,2\frac{2\pi}{3}=0,8\pi=2,51$ м/с.

$a_{max}= A\omega^2=1,2\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2=5,26$

Ответ: амплитуда $A=1,2$ , круговая частота $\omega=\frac{2\pi}{3}$ , начальная фаза $\psi_0=\frac{\pi}{4}$ , период колебаний – $T=3$ с, $\upsilon_{max}=2,51$ м/с, $a_{max}=5,26$ м/с $^2$

Задача 2. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой $f= 0,5$ Гц. Амплитуда колебаний А =3 см. Определить скорость точки в момент времени, когда смещение $x= 1,5$ см.

Запишем закон колебаний. Так как не указано, по какому закону они совершаются, то выберем косинус.

$x=A\cos(\omega t+\psi_0)$

$\omega=2 \pi f=\pi$

$\frac{x}{A}=\cos(\omega t+\psi_0)$

$\frac{x^2}{A^2}=\cos^2(\omega t+\psi_0)$

$1-\frac{x^2}{A^2}=\sin^2(\omega t+\psi_0)$

$\sin(\omega t+\psi_0)=\sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}$

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

$\upsilon=x^{\prime}=-A \omega \sin (\omega t+\psi_0)$

$\upsilon=x^{\prime}=- A \omega \sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}=-\omega \sqrt{A^2-x^2}$

$\upsilon=-\pi \sqrt{9-2,25}=-8,16$

Ответ: $\upsilon=-8,16$ см/с.

Задача 3. Написать закон гармонического колебания точки, если максимальное ускорение ее $a_{max}= 49,3$ см/с2, период колебаний $T = 2$ с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени $x_0 = 2,5$ см. Колебания совершаются по закону синуса.