Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны

Колебания и волны: скорости и ускорения

В этой статье мы вспомним кинематику: то, что скорость  – производная координаты, а ускорение – производная скорости или вторая производная координаты. Заодно потренируемся брать производные от сложных функций.


Задача 1. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону x = 1,2 \cos \pi (\frac{2t}{3}+\frac{1}{4}). Определить амплитуду, круговую частоту, период и начальную фазу колебаний. Найти амплитуды скорости и ускорения. Построить графики зависимости координаты. скорости и ускорения точки от времени.

Амплитуда равна A=1,2, круговая частота (или циклическая, или угловая) равна \omega=\frac{2\pi}{3}, начальная фаза равна \psi_0=\frac{\pi}{4}, период колебаний – T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi \cdot 3}{2\pi}=3 с.

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

    \[\upsilon=x^{\prime}=A \omega \sin \pi (\frac{2t}{3}+\frac{1}{4})\]

    \[a=\upsilon^{\prime}=x''=-A\omega^2\cos \pi(\frac{2t}{3}+\frac{1}{4})\]

Тогда \upsilon_{max}= A \omega=1,2\frac{2\pi}{3}=0,8\pi=2,51 м/с.

    \[a_{max}= A\omega^2=1,2\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2=5,26\]

Ответ: амплитуда A=1,2, круговая частота \omega=\frac{2\pi}{3}, начальная фаза \psi_0=\frac{\pi}{4}, период колебаний – T=3 с, \upsilon_{max}=2,51 м/с, a_{max}=5,26 м/с^2

 

Задача 2. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой f= 0,5 Гц. Амплитуда колебаний А =3 см. Определить скорость точки в момент времени, когда смещение x= 1,5 см.

Запишем закон колебаний. Так как не указано, по какому закону они совершаются, то выберем косинус.

    \[x=A\cos(\omega t+\psi_0)\]

    \[\omega=2 \pi f=\pi\]

    \[\frac{x}{A}=\cos(\omega t+\psi_0)\]

    \[\frac{x^2}{A^2}=\cos^2(\omega t+\psi_0)\]

    \[1-\frac{x^2}{A^2}=\sin^2(\omega t+\psi_0)\]

    \[\sin(\omega t+\psi_0)=\sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}\]

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

    \[\upsilon=x^{\prime}=-A \omega  \sin (\omega t+\psi_0)\]

    \[\upsilon=x^{\prime}=- A \omega  \sqrt{1-\frac{x^2}{A^2}}=-\omega \sqrt{A^2-x^2}\]

    \[\upsilon=-\pi \sqrt{9-2,25}=-8,16\]

Ответ: \upsilon=-8,16 см/с.

 

Задача 3. Написать закон гармонического колебания точки, если максимальное ускорение ее a_{max}= 49,3 см/с2, период колебаний T = 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени x_0 = 2,5 см. Колебания совершаются по закону синуса.

    \[x=A\sin(\omega t+\psi_0)\]

    \[\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2}=\pi\]

В момент времени t=0 смещение равно 2,5 см:

    \[x_0=A\sin(\psi_0)= 2,5\]

Выясним, какая у точки амплитуда колебаний. Для этого определим скорость (первую производную) и ускорение(вторую производную):

    \[\upsilon=x^{\prime}=-A \omega \cos( \omega t+\psi_0)\]

    \[a=\upsilon^{\prime}=x''=-A\omega^2\sin( \omega t+\psi_0)\]

Максимальное ускорение – это амплитуда ускорения, то есть

    \[a_{max}= A\omega^2\]

Откуда A:

    \[A=\frac{ a_{max}}{\omega^2}=5\]

Тогда в момент времени t=0:

    \[x_0=\frac{ a_{max}}{\omega^2}\sin(\psi_0)\]

Определим начальную фазу:

    \[\sin(\psi_0)=\frac{x_0 \omega^2}{ a_{max}}\]

    \[\sin(\psi_0)=\frac{2,5 \pi^2}{49,3}=0,5\]

    \[\alpha=\arcsin(0,5)=30^{\circ}\]

Закон колебаний тогда будет таким:

    \[x=5\sin(\pi t+\frac{\pi}{6})\]

Ответ: x=5\sin(\pi t+\frac{\pi}{6}) см.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *