Колебания и волны: скорости и ускорения

В этой статье мы вспомним кинематику: то, что скорость  – производная координаты, а ускорение – производная скорости или вторая производная координаты. Заодно потренируемся брать производные от сложных функций.

Задача 1. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону . Определить амплитуду, круговую частоту, период и начальную фазу колебаний. Найти амплитуды скорости и ускорения. Построить графики зависимости координаты. скорости и ускорения точки от времени.

Амплитуда равна , круговая частота (или циклическая, или угловая) равна , начальная фаза равна , период колебаний – с.

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

Тогда м/с.

Ответ: амплитуда , круговая частота , начальная фаза , период колебаний – с, м/с, м/с

Задача 2. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой Гц. Амплитуда колебаний А =3 см. Определить скорость точки в момент времени, когда смещение см.

Запишем закон колебаний. Так как не указано, по какому закону они совершаются, то выберем косинус.

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

Ответ: см/с.

Задача 3. Написать закон гармонического колебания точки, если максимальное ускорение ее см/с2, период колебаний с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени см. Колебания совершаются по закону синуса.

В момент времени смещение равно 2,5 см:

Выясним, какая у точки амплитуда колебаний. Для этого определим скорость (первую производную) и ускорение(вторую производную):

Максимальное ускорение – это амплитуда ускорения, то есть

Откуда :

Тогда в момент времени :

Определим начальную фазу:

Закон колебаний тогда будет таким:

Ответ: см.