Многие задачи, даже никак не связанные с колебаниями, позволяет решить “метод малых колебаний” – изменяем какой-нибудь параметр на малую величину, и записываем, как от этого изменились другие величины в задаче. Иногда помогает.
Задача 1. Автомобиль массой 1,5 т при движении по ребристой дороге совершает гармонические колебания в вертикальном направлении с периодом 0,5 с и амплитудой 15 см. Определите максимальную силу, действующую на каждую из четырех рессор автомобиля. Ответ дайте в кН, округлите до десятых. м/c
Решение.
Период колебаний автомобиля , где
– жесткость одной пружины. В положении равновесия каждая пружина сжата силой
. При амплитудном сжатии добавляется сила
и
. Подставляя жесткость
, получим:
Ответ: 12,6 кН.
Задача 2. Груз, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен пружиной длиной см к вертикальной стене.

К задаче 2
Пружину разрезали на две части длиной см и
см и соединили их с тем же грузом между двумя стенками.
Найти период горизонтальных колебаний груза во втором случае, если в первом случае период был равен с. Ответ выразить в с, округлив до целых.
Решение.
Период колебаний груза во втором случае равен: , где
и
— жёсткости получившихся пружин,
— жёсткость исходной пружины. Получается, что
Ответ: 2 с.
Задача 3. В ракете установлены маятниковые часы. Ракета стартует вертикально вверх с ускорением На высоте
км ракета начинает двигаться равнозамедленно с тем же ускорением. В момент старта часы в ракете показывали точное время. На какой высоте они опять будут показывать точное время? Изменением ускорения свободного падения с высотой пренебречь. Ответ дать в км, округлив до десятков.
Решение.
Периоды колебаний маятника часов:
— неподвижных часов;
— на участке равноускоренного подъема;
— на участке равнозамедленного подъема.
За время подъема до высоты часы ушли вперед на
, а за время подъема от высоты
до высоты
они отстали на ту же
, где
и
— времена равноускоренного и равнозамедленного движения. Получается, что они связаны соотношением
Применяя формулы кинематики и подставляя числа, получим, что
Ответ: 20 км.
Задача 4. Подвешенный на нити грузик совершает гармонические колебания. В таблице представлены координаты грузика через одинаковые промежутки времени. Какова примерно максимальная скорость грузика? Ответ дать в м/с, округлив до сотых.
Решение.
Максимальная скорость груза маятника связана с амплитудой колебаний и циклической частотой соотношением . Из таблицы видно, что амплитуда колебаний равна
см, а период
с, а значит, частота
. Таким образом, максимальная скорость груза равна приблизительно
Ответ: 0,31 м/с.
Задача 5. Амплитуда малых свободных колебаний пружинного маятника равна см, масса груза
г, жесткость пружины
Н/м. Чему равна максимальная скорость колеблющегося груза? Ответ дать в м/с, округлив до целых.
Решение.
При малых колебаниях пружинного маятника максимальная скорость связана с амплитудой колебаний и циклической частотой соотношением
Соотношение для частоты пружинного маятника
Из этих двух уравнений получаем, что максимальная скорость равна
Ответ: 4 м/с.
Задача 6. Тонкая гибкая цепочка массой
и длиной
см соединена с невесомой нитью
. Нить переброшена через неподвижный блок
. цепочка – через неподвижный блок
. Блоки невесомы, трения нет. Систему вывели из положения равновесия. Приподняв один из концов цепочки. Найдите период колебаний цепочки. Ответ дать в секундах, округлить до целых.

К задаче 6
Решение.
Рассмотрим смещение правого конца цепочки на величину вверх. При этом потенциальная энергия системы возрастает на величину:
Как видим из (1), пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия, что является достаточным условием гармоничности колебаний. Закон сохранения энергии для движения цепочки:
совпадает по форме с аналогичной зависимостью для пружинного маятника:
где – механическая энергия колебательной системы. Сравнивая (2) и (3), получим ответ:
Ответ: 1 с.
Задача 7. Внутри ящика массой по гладкому стержню может скользить без трения шар массой
. Шар прикреплён к стенкам с помощью двух одинаковых пружин. Собственная циклическая частота колебаний шара
Гц. Ящик положили на горизонтальную поверхность. Какова максимальная амплитуда колебаний шара, при которых ящик будет оставаться неподвижным, если коэффициент трения ящика о поверхность равен
. Ответ выразить в см, округлив до целых. Считать, что ускорение свободного падения
м/

К задаче 7
Решение.
Сместим шарик на расстояние от положения равновесия. На ящик начнут действовать две одинаковые силы упругости пружин
Они действуют в одном направлении и их суммарное действие не должно превосходить силу трения
отсюда выражаем граничное значение амплитуды

К задаче 7. Расстановка сил
Ответ: 50 см.
Задача 8. Маятник укреплен на тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Чему равен период колебаний маятника во время движения тележки? Длина маятника
см. Считать, что ускорение свободного падения
м/
. Ответ выразить в с, округлив до целых. Считать движение тележки равноускоренным.

К задаче 8
Решение.
Тележка при скатывании с горки будет двигаться с ускорением Тогда по закону сложения ускорений, в системе отсчета тележки эффективная гравитация будет равна
В соответствии с этим период колебаний маятника на движущейся с ускорением тележке должен быть равен
Ответ: 2 с.
Задача 9. Найдите период колебаний математического маятника длиной см, совершающего колебания на гладкой наклонной плоскости, составляющей угол
с вертикалью.
м/
Ответ дать в секундах, округлить до целых.

К задаче 9
Решение.
В положении равновесия на тело маятника действуют три силы: сила тяжести направленная вертикально вниз, натяжение нити
направленное по нити, и реакция опоры
, перпендикулярная плоскости. Проектируя все силы вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней, получаем (рис)
При отклонении нити от равновесного положения на небольшой угол маятник начнет двигаться по дуге окружности на наклонной плоскости. При этом нормальная составляющая силы тяжести сохраняет свое значение, а сила натяжения нити меняется по величине ответственной за создание возвращающей силы
является проекция силы тяжести на наклонную плоскость. Из рисунка на котором изображены действующие на маятник силы в проекции на наклонную плоскость, видно, что
Считая колебания малыми
, получаем
, где
-длина дуги окружности, вдоль которой движется грузик маятника. Таким образом, возвращающая сила
пропорциональна смешению
из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. По второму закону Ньютона
тогда
откуда
Ответ: 2 с.
Задача 10. Вообразим, что между двумя городами сквозь Землю прорыт прямолинейный тоннель, в котором проложены рельсы. Сколько времени будет двигаться вагон по этому тоннелю от одного города до другого, если его отпустить без начальной скорости? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ дать в минутах. Округлить до целых. м/
км.

К задаче 10
Решение.
Второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль тоннеля, имеет вид
где — сила тяжести, действующая на тележку в тоннеле,
где
— плотность Земли,
— расстояние от центра Земли до тела. Отклонение тележки от положения равновесия
. Отсюда получаем:
– уравнение гармонических колебаний. Время движения будет равно половине периода колебаний, то есть
Ответ: 42 мин.
Здравствуйте. Сейчас пересмотрю решение. Надо ввести разные температуры. Жаль, не...
Здравствуйте! Почему в задаче 3 перегородка теплоизолирующая? Казалось бы,...
Согласна, решать можно по-разному, и ваше решение строже, чем мое. И бог с ними, с...
Здравствуйте! Благодарю Вас за варианты, которые Вы создаете. Заметила небольшое...
Дина, спасибо большое. Я не успела ответить. А изменение заряда я...