Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Колебания и волны, Олимпиадная физика

Колебания и волны: готовимся к олимпиадам, 9 класс

Многие задачи, даже никак не связанные с колебаниями, позволяет решить “метод малых колебаний” – изменяем какой-нибудь параметр на малую величину, и записываем, как от этого изменились другие величины в задаче. Иногда помогает.

Задача 1. Автомобиль массой 1,5 т при движении по ребристой дороге совершает гармонические колебания в вертикальном направлении с периодом 0,5 с и амплитудой 15 см. Определите максимальную силу, действующую на каждую из четырех рессор автомобиля. Ответ дайте в кН, округлите до десятых. g=10 м/c^{2}.

Решение.

Период колебаний автомобиля T=2\pi\sqrt{\frac{m}{4k}}, где k – жесткость одной пружины. В положении равновесия каждая пружина сжата силой \frac{mg}{4k}. При амплитудном сжатии добавляется сила kA и F=kA+\frac{mg}{4k}. Подставляя жесткость k, получим: F=m\left(\frac{g}{4}+\frac{\pi^2A}{T^2}\right)=12,6.

Ответ: 12,6 кН.

 

Задача 2. Груз, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен пружиной длиной l=15 см к вертикальной стене.

К задаче 2

Пружину разрезали на две части длиной l_1=3 см и l_2=12 см и соединили их с тем же грузом между двумя стенками.

Найти период горизонтальных колебаний груза во втором случае, если в первом случае период был равен T_0=5 с. Ответ выразить в с, округлив до целых.

Решение.

Период колебаний груза во втором случае равен: T=\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}, где k_1=\frac{l}{l_1}\cdot k и k_2=\frac{l}{l_2}\cdot k — жёсткости получившихся пружин, k — жёсткость исходной пружины. Получается, что

    \[T=T_0\frac{\sqrt{l_1l_2}}{l}=2.\]

Ответ: 2 с.

 

Задача 3. В ракете установлены маятниковые часы. Ракета стартует вертикально вверх с ускорением 0,5g. На высоте h=10 км ракета начинает двигаться равнозамедленно с тем же ускорением. В момент старта часы в ракете показывали точное время. На какой высоте они опять будут показывать точное время? Изменением ускорения свободного падения с высотой пренебречь. Ответ дать в км, округлив до десятков.

Решение.

Периоды колебаний маятника часов:

T_0=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} — неподвижных часов;

T_1=2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}} — на участке равноускоренного подъема;

T_2=2\pi\sqrt{\frac{l}{g-a}} — на участке равнозамедленного подъема.

За время подъема до высоты h часы ушли вперед на \Delta t=t_1\cdot\frac{T_0-T_1}{T_1}, а за время подъема от высоты h до высоты H они отстали на ту же \Delta t=t_2\cdot\frac{T_2-T_0}{T_2}, где t_1 и t_2 — времена равноускоренного и равнозамедленного движения. Получается, что они связаны соотношением

    \[t_1=\frac{T_1}{T_2}\cdot \frac{T_2-T_0}{T_0-T_1}.\]

Применяя формулы кинематики и подставляя числа, получим, что

    \[H\approx 1,95\cdot h\approx20.\]

Ответ: 20 км.

Задача 4. Подвешенный на нити грузик совершает гармонические колебания. В таблице представлены координаты грузика через одинаковые промежутки времени. Какова примерно максимальная скорость грузика? Ответ дать в м/с, округлив до сотых.

    \[\begin{tabular}{|*{9}{c|}} \hline t, c&0&0,1&0,2&0,3&0,4&0,5&0,6&0,7\\ \hline x, sm&4&2&0&2&4&2&0&2\\ \hline \end{tabular}\]

Решение.

Максимальная скорость груза маятника связана с амплитудой колебаний и циклической частотой соотношением \upsilon_{max}=A\cdot\omega. Из таблицы видно, что амплитуда колебаний равна A=2 см, а период T=0,4 с, а значит, частота \omega=\frac{2\pi}{T}. Таким образом, максимальная скорость груза равна приблизительно

    \[\upsilon_{max}=\frac{2\pi A}{T}\approx 0,31.\]

Ответ: 0,31 м/с.

 

Задача 5. Амплитуда малых свободных колебаний пружинного маятника равна A=40 см, масса груза m=400 г, жесткость пружины k=40 Н/м. Чему равна максимальная скорость колеблющегося груза? Ответ дать в м/с, округлив до целых.

Решение.

При малых колебаниях пружинного маятника максимальная скорость связана с амплитудой колебаний и циклической частотой соотношением

    \[\upsilon_{max}=\omega \cdot A.\]

Соотношение для частоты пружинного маятника

    \[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.\]

Из этих двух уравнений получаем, что максимальная скорость равна

    \[\upsilon_{max}=A\cdot \sqrt{\frac{k}{m}}=4.\]

Ответ: 4 м/с.

 

Задача 6. Тонкая гибкая цепочка ABC массой m и длиной L=51 см соединена с невесомой нитью AB_1C. Нить переброшена через неподвижный блок O_1. цепочка – через неподвижный блок O_2. Блоки невесомы, трения нет. Систему вывели из положения равновесия. Приподняв один из концов цепочки. Найдите период колебаний цепочки. Ответ дать в секундах, округлить до целых.

К задаче 6

Решение.

Рассмотрим смещение правого конца цепочки на величину x вверх. При этом потенциальная энергия системы возрастает на величину:

    \[\Delta U=\frac{m}{l}xg\cdot x=\frac{mgx^2}{l} \eqno (1)\]

Как видим из (1), \Delta U пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия, что является достаточным условием гармоничности колебаний. Закон сохранения энергии для движения цепочки:

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{mgx^2}{2}=E \eqno (2)\]

совпадает по форме с аналогичной зависимостью для пружинного маятника:

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{kx^2}{2}=E \eqno (3)\]

где E – механическая энергия колебательной системы. Сравнивая (2) и (3), получим ответ:

    \[T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \Rightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{ml}{2mg}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}=1.\]

Ответ: 1 с.

 

Задача 7. Внутри ящика массой m по гладкому стержню может скользить без трения шар массой m. Шар прикреплён к стенкам с помощью двух одинаковых пружин. Собственная циклическая частота колебаний шара \omega=2 Гц. Ящик положили на горизонтальную поверхность. Какова максимальная амплитуда колебаний шара, при которых ящик будет оставаться неподвижным, если коэффициент трения ящика о поверхность равен \mu=0,1. Ответ выразить в см, округлив до целых. Считать, что ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}.

К задаче 7

Решение.

Сместим шарик на расстояние <em>х от положения равновесия. На ящик начнут действовать две одинаковые силы упругости пружин k\cdot x. Они действуют в одном направлении и их суммарное действие не должно превосходить силу трения 2k\cdot x\leqslant 2mgh отсюда выражаем граничное значение амплитуды

    \[x_{max}=\frac{mg\mu}{k}=\frac{2\mu g}{\omega^2}=50.\]

 

К задаче 7. Расстановка сил

Ответ: 50 см.

 

Задача 8. Маятник укреплен на тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости, составляющей угол \alpha=45^{\circ} с горизонтом. Чему равен период колебаний маятника во время движения тележки? Длина маятника L=50,7 см. Считать, что ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}. Ответ выразить в с, округлив до целых. Считать движение тележки равноускоренным.

К задаче 8

Решение.

Тележка при скатывании с горки будет двигаться с ускорением a=g\cdot\sin\alpha. Тогда по закону сложения ускорений, в системе отсчета тележки эффективная гравитация будет равна g\cdot\cos\alpha. В соответствии с этим период колебаний маятника на движущейся с ускорением тележке должен быть равен

    \[T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g\cdot\cos\alpha}}=2.\]

Ответ: 2 с.

 

Задача 9. Найдите период колебаний математического маятника длиной L=50,7 см, совершающего колебания на гладкой наклонной плоскости, составляющей угол \alpha=60^{\circ} с вертикалью. g=10 м/c^{2}. Ответ дать в секундах, округлить до целых.

К задаче 9

Решение.

В положении равновесия на тело маятника действуют три силы: сила тяжести mg направленная вертикально вниз, натяжение нити T направленное по нити, и реакция опоры N, перпендикулярная плоскости. Проектируя все силы вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней, получаем (рис) T=mg\cos\alpha, N=mg\sin\alpha.

При отклонении нити от равновесного положения на небольшой угол \varphi маятник начнет двигаться по дуге окружности на наклонной плоскости. При этом нормальная составляющая силы тяжести сохраняет свое значение, а сила натяжения нити меняется по величине ответственной за создание возвращающей силы F является проекция силы тяжести на наклонную плоскость. Из рисунка на котором изображены действующие на маятник силы в проекции на наклонную плоскость, видно, что F=mg\cdot\cos\alpha\cdot\sin\varphi. Считая колебания малыми \varphi <<1, получаем F=mg\varphi\cos\alpha=mg\cos\alpha\frac{x}{L}, где x -длина дуги окружности, вдоль которой движется грузик маятника. Таким образом, возвращающая сила F пропорциональна смешению x из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. По второму закону Ньютона F=ma=m\omega2x, тогда m\omega^2x=mg^2\cos\alpha\frac{x}{L}, откуда

    \[T=2\pi\sqrt\frac{L}{g\cos\alpha}=2.\]

Ответ: 2 с.

 

Задача 10. Вообразим, что между двумя городами сквозь Землю прорыт прямолинейный тоннель, в котором проложены рельсы. Сколько времени будет двигаться вагон по этому тоннелю от одного города до другого, если его отпустить без начальной скорости? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ дать в минутах. Округлить до целых. g=10 м/c^{2}. R_3=6400 км.

К задаче 10

Решение.

Второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль тоннеля, имеет вид

    \[m\cdot a=F\cdot \sin\alpha.\]

где F=\gamma\cdot\frac{M\cdot m}{R^2} — сила тяжести, действующая на тележку в тоннеле, M=\frac{4}{3}\pi R^3\cdot \rho, где \rho — плотность Земли, R — расстояние от центра Земли до тела. Отклонение тележки от положения равновесия x=R\sin\alpha. Отсюда получаем: a=\ddot{x}=-\frac{4}{3}\pi\gamma\rho\cdot x – уравнение гармонических колебаний. Время движения будет равно половине периода колебаний, то есть

    \[T_0=\pi\sqrt{\frac{R_3}{g}}\approx 42.\]

Ответ: 42 мин.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *