Колебания и волны: готовимся к олимпиадам, 9 класс

[latexpage]

Многие задачи, даже никак не связанные с колебаниями, позволяет решить “метод малых колебаний” – изменяем какой-нибудь параметр на малую величину, и записываем, как от этого изменились другие величины в задаче. Иногда помогает.

Задача 1. Автомобиль массой 1,5 т при движении по ребристой дороге совершает гармонические колебания в вертикальном направлении с периодом 0,5 с и амплитудой 15 см. Определите максимальную силу, действующую на каждую из четырех рессор автомобиля. Ответ дайте в кН, округлите до десятых. $g=10$ м/c$^{2}.$

Решение.

Период колебаний автомобиля $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{4k}}$, где $k$ – жесткость одной пружины. В положении равновесия каждая пружина сжата силой $\frac{mg}{4k}$. При амплитудном сжатии добавляется сила $kA$ и $F=kA+\frac{mg}{4k}$. Подставляя жесткость $k$, получим: $F=m\left(\frac{g}{4}+\frac{\pi^2A}{T^2}\right)=12,6.$

Ответ: 12,6 кН.

 

Задача 2. Груз, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен пружиной длиной $l=15$ см к вертикальной стене.

Пружину разрезали на две части длиной $l_1=3$ см и $l_2=12$ см и соединили их с тем же грузом между двумя стенками.

Найти период горизонтальных колебаний груза во втором случае, если в первом случае период был равен $T_0=5$ с. Ответ выразить в с, округлив до целых.

Решение.

Период колебаний груза во втором случае равен: $T=\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}$, где $k_1=\frac{l}{l_1}\cdot k$ и $k_2=\frac{l}{l_2}\cdot k$ — жёсткости получившихся пружин, $k$ — жёсткость исходной пружины. Получается, что

$$T=T_0\frac{\sqrt{l_1l_2}}{l}=2.$$

Ответ: 2 с.

 

Задача 3. В ракете установлены маятниковые часы. Ракета стартует вертикально вверх с ускорением $0,5g.$ На высоте $h=10$ км ракета начинает двигаться равнозамедленно с тем же ускорением. В момент старта часы в ракете показывали точное время. На какой высоте они опять будут показывать точное время? Изменением ускорения свободного падения с высотой пренебречь. Ответ дать в км, округлив до десятков.

Решение.

Периоды колебаний маятника часов:

$T_0=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ — неподвижных часов;

$T_1=2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}$ — на участке равноускоренного подъема;

$T_2=2\pi\sqrt{\frac{l}{g-a}}$ — на участке равнозамедленного подъема.

За время подъема до высоты $h$ часы ушли вперед на $\Delta t=t_1\cdot\frac{T_0-T_1}{T_1}$, а за время подъема от высоты $h$ до высоты $H$ они отстали на ту же $\Delta t=t_2\cdot\frac{T_2-T_0}{T_2}$, где $t_1$ и $t_2$ — времена равноускоренного и равнозамедленного движения. Получается, что они связаны соотношением

$$t_1=\frac{T_1}{T_2}\cdot \frac{T_2-T_0}{T_0-T_1}.$$

Применяя формулы кинематики и подставляя числа, получим, что

$$H\approx 1,95\cdot h\approx20.$$

Ответ: 20 км.

Задача 4. Подвешенный на нити грузик совершает гармонические колебания. В таблице представлены координаты грузика через одинаковые промежутки времени. Какова примерно максимальная скорость грузика? Ответ дать в м/с, округлив до сотых.

$$

\begin{tabular}{|*{9}{c|}}

\hline

t, c&0&0,1&0,2&0,3&0,4&0,5&0,6&0,7\\

\hline

x, sm&4&2&0&2&4&2&0&2\\

\hline

\end{tabular}

$$

Решение.

Максимальная скорость груза маятника связана с амплитудой колебаний и циклической частотой соотношением $\upsilon_{max}=A\cdot\omega$. Из таблицы видно, что амплитуда колебаний равна $A=2$ см, а период $T=0,4$ с, а значит, частота $\omega=\frac{2\pi}{T}$. Таким образом, максимальная скорость груза равна приблизительно

$$\upsilon_{max}=\frac{2\pi A}{T}\approx 0,31.$$

Ответ: 0,31 м/с.

 

Задача 5. Амплитуда малых свободных колебаний пружинного маятника равна $A=40$ см, масса груза $m=400$ г, жесткость пружины $k=40$ Н/м. Чему равна максимальная скорость колеблющегося груза? Ответ дать в м/с, округлив до целых.

Решение.

При малых колебаниях пружинного маятника максимальная скорость связана с амплитудой колебаний и циклической частотой соотношением

$$\upsilon_{max}=\omega \cdot A.$$

Соотношение для частоты пружинного маятника

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.$$

Из этих двух уравнений получаем, что максимальная скорость равна

$$\upsilon_{max}=A\cdot \sqrt{\frac{k}{m}}=4.$$

Ответ: 4 м/с.

 

Задача 6. Тонкая гибкая цепочка $ABC$ массой $m$ и длиной $L=51$ см соединена с невесомой нитью $AB_1C$. Нить переброшена через неподвижный блок $O_1$. цепочка – через неподвижный блок $O_2$. Блоки невесомы, трения нет. Систему вывели из положения равновесия. Приподняв один из концов цепочки. Найдите период колебаний цепочки. Ответ дать в секундах, округлить до целых.

Решение.

Рассмотрим смещение правого конца цепочки на величину $x$ вверх. При этом потенциальная энергия системы возрастает на величину:

$$\Delta U=\frac{m}{l}xg\cdot x=\frac{mgx^2}{l} \eqno (1)$$

Как видим из (1), $\Delta U$ пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия, что является достаточным условием гармоничности колебаний. Закон сохранения энергии для движения цепочки:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{mgx^2}{2}=E \eqno (2)$$

совпадает по форме с аналогичной зависимостью для пружинного маятника:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{kx^2}{2}=E \eqno (3)$$

где $E$ – механическая энергия колебательной системы. Сравнивая (2) и (3), получим ответ:

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \Rightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{ml}{2mg}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{2g}}=1.$$

Ответ: 1 с.

 

Задача 7. Внутри ящика массой $m$ по гладкому стержню может скользить без трения шар массой $m$. Шар прикреплён к стенкам с помощью двух одинаковых пружин. Собственная циклическая частота колебаний шара $\omega=2$ Гц. Ящик положили на горизонтальную поверхность. Какова максимальная амплитуда колебаний шара, при которых ящик будет оставаться неподвижным, если коэффициент трения ящика о поверхность равен $\mu=0,1$. Ответ выразить в см, округлив до целых. Считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/$c^{2}.$

Решение.

Сместим шарик на расстояние $х$ от положения равновесия. На ящик начнут действовать две одинаковые силы упругости пружин $k\cdot x.$ Они действуют в одном направлении и их суммарное действие не должно превосходить силу трения $ 2k\cdot x\leqslant 2mgh$ отсюда выражаем граничное значение амплитуды

$$x_{max}=\frac{mg\mu}{k}=\frac{2\mu g}{\omega^2}=50.$$

 

Ответ: 50 см.

 

Задача 8. Маятник укреплен на тележке, скатывающейся без трения с наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha=45^{\circ}$ с горизонтом. Чему равен период колебаний маятника во время движения тележки? Длина маятника $L=50,7$ см. Считать, что ускорение свободного падения $g=10$ м/$c^{2}$. Ответ выразить в с, округлив до целых. Считать движение тележки равноускоренным.

Решение.

Тележка при скатывании с горки будет двигаться с ускорением $a=g\cdot\sin\alpha.$ Тогда по закону сложения ускорений, в системе отсчета тележки эффективная гравитация будет равна $g\cdot\cos\alpha.$ В соответствии с этим период колебаний маятника на движущейся с ускорением тележке должен быть равен

$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g\cdot\cos\alpha}}=2.$$

Ответ: 2 с.

 

Задача 9. Найдите период колебаний математического маятника длиной $L=50,7$ см, совершающего колебания на гладкой наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha=60^{\circ}$ с вертикалью. $g=10$ м/$c^{2}.$ Ответ дать в секундах, округлить до целых.

Решение.

В положении равновесия на тело маятника действуют три силы: сила тяжести $mg$ направленная вертикально вниз, натяжение нити $T$ направленное по нити, и реакция опоры $N$, перпендикулярная плоскости. Проектируя все силы вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней, получаем (рис) $T=mg\cos\alpha,$ $N=mg\sin\alpha.$

При отклонении нити от равновесного положения на небольшой угол $\varphi$ маятник начнет двигаться по дуге окружности на наклонной плоскости. При этом нормальная составляющая силы тяжести сохраняет свое значение, а сила натяжения нити меняется по величине ответственной за создание возвращающей силы $F$ является проекция силы тяжести на наклонную плоскость. Из рисунка на котором изображены действующие на маятник силы в проекции на наклонную плоскость, видно, что $F=mg\cdot\cos\alpha\cdot\sin\varphi.$ Считая колебания малыми $\varphi <<1$, получаем $F=mg\varphi\cos\alpha=mg\cos\alpha\frac{x}{L}$, где $x$ -длина дуги окружности, вдоль которой движется грузик маятника. Таким образом, возвращающая сила $F$ пропорциональна смешению $x$ из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. По второму закону Ньютона $F=ma=m\omega2x,$ тогда $m\omega^2x=mg^2\cos\alpha\frac{x}{L},$ откуда

$$T=2\pi\sqrt\frac{L}{g\cos\alpha}=2.$$

Ответ: 2 с.

 

Задача 10. Вообразим, что между двумя городами сквозь Землю прорыт прямолинейный тоннель, в котором проложены рельсы. Сколько времени будет двигаться вагон по этому тоннелю от одного города до другого, если его отпустить без начальной скорости? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ дать в минутах. Округлить до целых. $g=10$ м/$c^{2}.$ $R_3=6400$ км.

Решение.

Второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вдоль тоннеля, имеет вид

$$m\cdot a=F\cdot \sin\alpha.$$

где $F=\gamma\cdot\frac{M\cdot m}{R^2}$ — сила тяжести, действующая на тележку в тоннеле, $M=\frac{4}{3}\pi R^3\cdot \rho,$ где $\rho$ — плотность Земли, $R$ — расстояние от центра Земли до тела. Отклонение тележки от положения равновесия $x=R\sin\alpha$. Отсюда получаем: $a=\ddot{x}=-\frac{4}{3}\pi\gamma\rho\cdot x$ – уравнение гармонических колебаний. Время движения будет равно половине периода колебаний, то есть

$$T_0=\pi\sqrt{\frac{R_3}{g}}\approx 42.$$

Ответ: 42 мин.