Кольца Ньютона

[latexpage]

Если плосковыпуклую линзу малой кривизны положить выпуклой поверхностью на хорошо отполированную плоскую стеклянную пластинку, то между линзой и пластинкой образуется воздушная прослойка, утолщающаяся от точки соприкосновения к краям. Если на эту систему падает свет, то части одной и той же световой волны, отраженные от границ воздушной прослойки, будут интерферировать между собой. При этом наблюдается система концентрических радужных (немонохроматический свет) или чередующихся темных и светлых (монохроматический свет) колец. Кольца Ньютона являются классическим примером полос равной толщины. Они наблюдаются и в проходящем, и в отраженном свете, причем каждому темному кольцу в отраженном свете соответствует светлое кольцо в проходящем свете. В отраженном свете картина интерференции значительно контрастнее по сравнению с картиной интерференции в проходящем свете. Кольца Ньютона представляют собой частный случай интерференции в тонких пленках. Интерферирующие лучи приобретают разность хода в воздушном зазоре между плосковыпуклой линзой радиуса кривизны $R$ и плоскопараллельной пластинкой, на которую положена линза. Картина интерференции представляет собой ряд чередующихся светлых и темных колец при нормальном падении монохроматического света на линзу.

Задача 1. Установка для получения колец Ньютона освещается падающим нормально монохроматическим светом. Радиус четвертого темного кольца, наблюдаемого в отраженном свете, равен 4 мм. Найдите длину волны падающего света в нм, если радиус кривизны линзы $R=8$ м.

Свет проходит через линзу, преломляется и в очень узком воздушном промежутке между линзой и подложкой интерферирует, почему и появляются кольца Ньютона. Воздушный клин, на котором происходит интерференция, в случае, когда радиус кривизны линзы велик, имеет очень малый угол. Поэтому с большой степенью точности можно считать, что клин составлен из отдельных кусочков плоскопараллельных пластинок, и для каждого такого кусочка, характеризуемого своей толщиной $h$, применять формулу для разности хода интерферирующих лучей:

$$\Delta=2h+\frac{\lambda}{2}$$

Определим $h$ по теореме Пифагора:

$$R^2=(R-h)^2+r^2$$

$$ R^2= R^2-2Rh+h^2+r^2$$

Пренебрежем величиной $h^2$ – она очень мала, и тогда

$$2Rh=r^2$$

$$h=\frac{r^2}{2R}$$

Чтобы соблюдалось условие минимума освещенности, должно выполняться

$$\Delta=(2m+1)\frac{\lambda}{2}$$

То есть

$$2h=2m\frac{\lambda}{2}$$

$$h=m\frac{\lambda}{2}$$

Подставим ранее полученное выражение:

$$\frac{r^2}{2R}= m\frac{\lambda}{2}$$

$$\frac{r^2}{R}= m\lambda$$

Откуда

$$\lambda=\frac{r^2}{mR}=\frac{4^2\cdot10^{-6}}{4\cdot8}=5\cdot10^{-7}$$

Ответ: $\lambda=5\cdot10^{-7}$, 500 нм.

Задача 2. Установка для получения колец Ньютона освещается светом с длиной волны $\lambda = 589$ нм, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы $R= 10$ м. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью. Найти показатель преломления $n$ жидкости, если радиус третьего светлого кольца в проходящем свете $r_3= 3,65$ мм.

Так как радиус светлого кольца в проходящем свете соответствует радиусу темного в отраженном, то можно записать, что

$$r=\sqrt{ R m\lambda }$$

Однако один из лучей проходит через жидкость, в которой его длина волны становится меньше в $n$ раз, поэтому

$$r=\sqrt{ \frac{R m\lambda}{n} }$$

Или

$$n=\frac{ R m\lambda }{r^2}=\frac{ 10\cdot 3 \cdot 589\cdot10^{-9}}{(3,65\cdot10^{-3})^2}=1,34$$

Ответ: $n=1,34$.

Задача 3. Выпуклая линза с большим радиусом кривизны $R$ лежит на плоскопараллельной стеклянной пластинке и освещается нормально падающим параллельным пучком монохроматического света с длиной волны $\lambda$. В воздушном зазоре между соприкасающимися поверхностями линзы и пластинки в отраженном свете наблюдаются кольца Ньютона. Найти радиусы темных колец.

Решение этой задачи аналогично первой.

$$r_m=\sqrt{ Rm\lambda }$$

Осталось подставить номер кольца.

Ответ: $r_m=\sqrt{ Rm\lambda }$.

Задача 4. Установка для получения колец Ньютона освещается падающим нормально монохроматическим светом. Радиус кривизны линзы 15 м. Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона равно 9 мм. Найти длину волны монохроматического света.

Определим радиус светлого кольца в отраженном свете. Применим формулу для разности хода интерферирующих лучей:

$$\Delta=2h+\frac{\lambda}{2}$$

Определим $h$ по теореме Пифагора:

$$R^2=(R-h)^2+r^2$$

$$ R^2= R^2-2Rh+h^2+r^2$$

Пренебрежем величиной $h^2$ – она очень мала, и тогда

$$2Rh=r^2$$

$$h=\frac{r^2}{2R}$$

Чтобы соблюдалось условие максимума освещенности, должно выполняться

$$\Delta=(2m)\frac{\lambda}{2}=m \lambda$$

То есть

$$2h+\frac{\lambda}{2}=2m\frac{\lambda}{2}$$

$$2h=\frac{\lambda}{2}(2m-1)$$

$$ h=\frac{\lambda}{2}(m-\frac{1}{2})$$

Подставим ранее полученное выражение:

$$\frac{r^2}{2R}= \frac{\lambda}{2}(m-\frac{1}{2})$$

$$\frac{r^2}{R}= \lambda(m-\frac{1}{2})$$

Откуда

$$r^2=R\lambda(m-\frac{1}{2})=\frac{R\lambda}{2}(2m-1)$$

$$r=\sqrt{\frac{R\lambda}{2}(2m-1)}$$

Обобщая информацию, сведем все в таблицу:

Радиусы колец Ньютона

Теперь решим задачу. Нам известно, что

$$r_{25}-r_5=9\cdot 10^{-3}$$

$$r_{25}^2=\frac{R\lambda}{2}(2\cdot25-1)=\frac{49R\lambda}{2}$$

$$r_{5}^2=\frac{R\lambda}{2}(2\cdot5-1)=\frac{9R\lambda}{2}$$

Тогда

$$r_{25}=7\sqrt{\frac{R\lambda}{2}}$$

$$r_5=3\sqrt{\frac{R\lambda}{2}}$$

$$ r_{25}- r_5=4\sqrt{\frac{R\lambda}{2}}$$

Или

$$(r_{25}- r_5)^2=16\frac{R\lambda}{2}}=8 R\lambda $$

Откуда и найдем длину волны света:

$$\lambda=\frac{(r_{25}- r_5)^2}{8R}=\frac{81\cdot 10^{-6}}{8\cdot15}=0,675\cdot10^{-6}=675\cdot10^{-9}$$

Ответ: $\lambda=675$ нм.

Задача 5. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим параллельно главной оптической оси линзы. Радиусы двух соседних темных колец равны 4,0 мм и 4,38 мм. Радиус кривизны линзы 6,4 м. Найдите порядковые номера колец и длину волны падающего света.

Радиус темных колец определяется формулой

$$r_m=\sqrt{ Rm\lambda }$$

Тогда следующее кольцо имеет радиус

$$r_{m+1}=\sqrt{ R(m+1)\lambda }$$

А отношение радиусов будет равно

$$\frac{ r_{m+1}}{ r_m}=\sqrt{\frac{m+1}{m}}$$

Тогда

$$\frac{ r_{m+1}^2}{ r_m^2}=\frac{m+1}{m}$$

$$r_m^2(m+1)=m r_{m+1}^2$$

Откуда

$$m=\frac{ r_m^2}{ r_{m+1}^2- r_m^2}=\frac{ 16\cdot10^{-6}}{ (19,1844-16) 10^{-6}}=5$$

Тогда порядковый номер второго кольца – 6. А длина волны

$$\lambda=\frac{ r_m^2}{ Rm }=\frac{16\cdot10^{-6}}{6,4\cdot5}=500\cdot10^{-9}$$

Ответ: порядковые номера колец – 5 и 6, длина волны $\lambda=500$ нм.