Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Волновая оптика

Кольца Ньютона

Если плосковыпуклую линзу малой кривизны положить выпуклой поверхностью на хорошо отполированную плоскую стеклянную пластинку, то между линзой и пластинкой образуется воздушная прослойка, утолщающаяся от точки соприкосновения к краям. Если на эту систему падает свет, то части одной и той же световой волны, отраженные от границ воздушной прослойки, будут интерферировать между собой. При этом наблюдается система концентрических радужных (немонохроматический свет) или чередующихся темных и светлых (монохроматический свет) колец. Кольца Ньютона являются классическим примером полос равной толщины. Они наблюдаются и в проходящем, и в отраженном свете, причем каждому темному кольцу в отраженном свете соответствует светлое кольцо в проходящем свете. В отраженном свете картина интерференции значительно контрастнее по сравнению с картиной интерференции в проходящем свете. Кольца Ньютона представляют собой частный случай интерференции в тонких пленках. Интерферирующие лучи приобретают разность хода в воздушном зазоре между плосковыпуклой линзой радиуса кривизны R и плоскопараллельной пластинкой, на которую положена линза. Картина интерференции представляет собой ряд чередующихся светлых и темных колец при нормальном падении монохроматического света на линзу.

 

Задача 1. Установка для получения колец Ньютона освещается падающим нормально монохроматическим светом. Радиус четвертого темного кольца, наблюдаемого в отраженном свете, равен 4 мм. Найдите длину волны падающего света в нм, если радиус кривизны линзы R=8 м.

Свет проходит через линзу, преломляется и в очень узком воздушном промежутке между линзой и подложкой интерферирует, почему и появляются кольца Ньютона. Воздушный клин, на котором происходит интерференция, в случае, когда радиус кривизны линзы велик, имеет очень малый угол. Поэтому с большой степенью точности можно считать, что клин составлен из отдельных кусочков плоскопараллельных пластинок, и для каждого такого кусочка, характеризуемого своей толщиной h, применять формулу для разности хода интерферирующих лучей:

    \[\Delta=2h+\frac{\lambda}{2}\]

Определим h по теореме Пифагора:

    \[R^2=(R-h)^2+r^2\]

    \[R^2= R^2-2Rh+h^2+r^2\]

Пренебрежем величиной h^2 – она очень мала, и тогда

    \[2Rh=r^2\]

    \[h=\frac{r^2}{2R}\]

Чтобы соблюдалось условие минимума освещенности, должно выполняться

    \[\Delta=(2m+1)\frac{\lambda}{2}\]

То есть

    \[2h=2m\frac{\lambda}{2}\]

    \[h=m\frac{\lambda}{2}\]

Подставим ранее полученное выражение:

    \[\frac{r^2}{2R}= m\frac{\lambda}{2}\]

    \[\frac{r^2}{R}= m\lambda\]

Откуда

    \[\lambda=\frac{r^2}{mR}=\frac{4^2\cdot10^{-6}}{4\cdot8}=5\cdot10^{-7}\]

Ответ: \lambda=5\cdot10^{-7}, 500 нм.

Задача 2. Установка для получения колец Ньютона освещается светом с длиной волны \lambda = 589 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R= 10 м. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью. Найти показатель преломления n жидкости, если радиус третьего светлого кольца в проходящем свете r_3= 3,65 мм.

Так как радиус светлого кольца в проходящем свете соответствует радиусу темного в отраженном, то можно записать, что

    \[r=\sqrt{ R m\lambda }\]

Однако один из лучей проходит через жидкость, в которой его длина волны становится меньше в n раз, поэтому

    \[r=\sqrt{ \frac{R m\lambda}{n} }\]

Или

    \[n=\frac{ R m\lambda }{r^2}=\frac{ 10\cdot 3 \cdot 589\cdot10^{-9}}{(3,65\cdot10^{-3})^2}=1,34\]

Ответ: n=1,34.

Задача 3. Выпуклая линза с большим радиусом кривизны R лежит на плоскопараллельной стеклянной пластинке и освещается нормально падающим параллельным пучком монохроматического света с длиной волны \lambda. В воздушном зазоре между соприкасающимися поверхностями линзы и пластинки в отраженном свете наблюдаются кольца Ньютона. Найти радиусы темных колец.

Решение этой задачи аналогично первой.

    \[r_m=\sqrt{ Rm\lambda }\]

Осталось подставить номер кольца.

Ответ: r_m=\sqrt{ Rm\lambda }.

Задача 4. Установка для получения колец Ньютона освещается падающим нормально монохроматическим светом. Радиус кривизны линзы 15 м. Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона равно 9 мм. Найти длину волны монохроматического света.

Определим радиус светлого кольца в отраженном свете. Применим формулу для разности хода интерферирующих лучей:

    \[\Delta=2h+\frac{\lambda}{2}\]

Определим h по теореме Пифагора:

    \[R^2=(R-h)^2+r^2\]

    \[R^2= R^2-2Rh+h^2+r^2\]

Пренебрежем величиной h^2 – она очень мала, и тогда

    \[2Rh=r^2\]

    \[h=\frac{r^2}{2R}\]

Чтобы соблюдалось условие максимума освещенности, должно выполняться

    \[\Delta=(2m)\frac{\lambda}{2}=m \lambda\]

То есть

    \[2h+\frac{\lambda}{2}=2m\frac{\lambda}{2}\]

    \[2h=\frac{\lambda}{2}(2m-1)\]

    \[h=\frac{\lambda}{2}(m-\frac{1}{2})\]

Подставим ранее полученное выражение:

    \[\frac{r^2}{2R}= \frac{\lambda}{2}(m-\frac{1}{2})\]

    \[\frac{r^2}{R}= \lambda(m-\frac{1}{2})\]

Откуда

    \[r^2=R\lambda(m-\frac{1}{2})=\frac{R\lambda}{2}(2m-1)\]

    \[r=\sqrt{\frac{R\lambda}{2}(2m-1)}\]

Обобщая информацию, сведем все в таблицу:

Радиусы колец Ньютона

Теперь решим задачу. Нам известно, что

    \[r_{25}-r_5=9\cdot 10^{-3}\]

    \[r_{25}^2=\frac{R\lambda}{2}(2\cdot25-1)=\frac{49R\lambda}{2}\]

    \[r_{5}^2=\frac{R\lambda}{2}(2\cdot5-1)=\frac{9R\lambda}{2}\]

Тогда

    \[r_{25}=7\sqrt{\frac{R\lambda}{2}}\]

    \[r_5=3\sqrt{\frac{R\lambda}{2}}\]

    \[r_{25}- r_5=4\sqrt{\frac{R\lambda}{2}}\]

Или

    \[(r_{25}- r_5)^2=16\frac{R\lambda}{2}}=8 R\lambda\]

Откуда и найдем длину волны света:

    \[\lambda=\frac{(r_{25}- r_5)^2}{8R}=\frac{81\cdot 10^{-6}}{8\cdot15}=0,675\cdot10^{-6}=675\cdot10^{-9}\]

Ответ: \lambda=675 нм.

Задача 5. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим параллельно главной оптической оси линзы. Радиусы двух соседних темных колец равны 4,0 мм и 4,38 мм. Радиус кривизны линзы 6,4 м. Найдите порядковые номера колец и длину волны падающего света.

Радиус темных колец определяется формулой

    \[r_m=\sqrt{ Rm\lambda }\]

Тогда следующее кольцо имеет радиус

    \[r_{m+1}=\sqrt{ R(m+1)\lambda }\]

А отношение радиусов будет равно

    \[\frac{ r_{m+1}}{ r_m}=\sqrt{\frac{m+1}{m}}\]

Тогда

    \[\frac{ r_{m+1}^2}{ r_m^2}=\frac{m+1}{m}\]

    \[r_m^2(m+1)=m r_{m+1}^2\]

Откуда

    \[m=\frac{ r_m^2}{ r_{m+1}^2- r_m^2}=\frac{ 16\cdot10^{-6}}{ (19,1844-16) 10^{-6}}=5\]

Тогда порядковый номер второго кольца – 6. А длина волны

    \[\lambda=\frac{ r_m^2}{ Rm }=\frac{16\cdot10^{-6}}{6,4\cdot5}=500\cdot10^{-9}\]

Ответ: порядковые номера колец – 5 и 6, длина волны \lambda=500 нм.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *