Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория относительности

Кинетическая энергия и энергия покоя частицы

В этой статье будем разгонять электроны в трубках, сообщая им кинетическую энергию, и определять их скорости, зная, какую долю от полной энергии составляет энергия покоя.

Задача 1. Кинетическая энергия электрона E_k= 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона.

Переведем энергию в джоули:

    \[E=10^7\cdot1,6\cdot10^{-19}=16\cdot10^{-13}\]

Отношение масс для электрона равно:

    \[\frac{m}{m_0}=\frac{E_0+E_k}{E_0}=1+\frac{E_k}{E_0}\]

Заметим, что E_0=m_0c^2. Тогда

    \[\frac{m}{m_0}=1+\frac{E_k}{ m_0c^2}=1+\frac{16\cdot10^{-13}}{9,1\cdot10^{-31}\cdot9\cdot10^{16}}=1+\frac{1600}{81,9}=20,5\]

Для протона:

    \[\frac{m}{m_0}=1+\frac{E_k}{ m_p c^2}=1+\frac{16\cdot10^{-13}}{1,67\cdot10^{-27}\cdot9\cdot10^{16}}=1+\frac{0,16}{15}=1,01\]

Ответ: для электрона \frac{m}{m_0}=20,5, для протона \frac{m}{m_0}=1,01.

Задача 2. Найти скорость частицы, если ее кинетическая энергия составляет половину энергии покоя.

Полная энергия E=E_0+E_k, так как по условию E_k=\frac{E_0}{2}, то

    \[E=E_0+E_k= E_0+\frac{E_0}{2}=\frac{3E_0}{2}\]

    \[\frac{3}{2}m_0 c^2=mc^2\]

    \[\frac{m}{m_0}=\frac{3}{2}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\]

    \[\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}=\frac{2}{3}\]

Возводим в квадрат:

    \[1-\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{4}{9}\]

    \[\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{5}{9}\]

    \[\frac{u}{c}=\frac{\sqrt{5}}{3}\]

    \[u=\frac{\sqrt{5}}{3}c=0,745c=2,236\cdot10^8\]

Ответ: u=2,236\cdot10^8 м/с.

Задача 3. Найти скорость космической частицы, если ее полная энергия в 5 раз больше энергии покоя.

Задача решается полностью аналогично, решите ее сами. Ответ: \upsilon=\frac{2\sqrt{6}}{3}c=2,94\cdot10^8 м/с.

Задача 4. До какой кинетической энергии можно ускорить частицы в циклотроне, если относительное увеличение массы частицы не должно превышать \eta= 5% ? Задачу решить для электронов и протонов.

    \[E=E_0+E_k= E_0+\eta E_0\]

Откуда

    \[E_k= \eta E_0=\eta m_0 c^2\]

Для электрона:

    \[E_k= \eta m_e c^2=0,05\cdot 9,1\cdot10^{-31}\cdot9\cdot10^{16}=4,1\cdot10^{-15}\]

В эВ это E_k=2,56\cdot10^4

Для протона:

    \[E_k= \eta m_p c^2=0,05\cdot 1,67\cdot10^{-27}\cdot9\cdot10^{16}=0,75\cdot10^{-11}\]

В эВ это E_k=4,6875\cdot10^7, или 47 МэВ.

Ответ: для электрона  E_k=2,56\cdot10^4 эВ, для протона 47 МэВ.
Задача 5. Максимальная скорость движения электронов в катодной трубке \upsilon = 0,04c. Найти разность потенциалов между электродами.

Кинетическая энергия электрона равна разности его полной энергии и энергии покоя, а с другой стороны, сообщает эту энергию электрону поле, совершая работу, поэтому  E_k=Ue:

    \[E=mc^2=E_k+E_0\]

    \[E_k=E-E_0=Ue\]

    \[mc^2-m_0c^2=Ue\]

    \[c^2(\frac{m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}-m_0)=Ue\]

    \[U=\frac{m_0 c^2}{e}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{\upsilon}{c}\right)^2}}-1\right)= \frac{9,1\cdot10^{-31}\cdot 9\cdot10^{16}}{1,6\cdot10^{-19}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{0,04}{c}\right)^2}}-1\right)=410\]

На самом деле, проще было сразу приравнять:

    \[E_k=Ue\]

    \[\frac{m_0\upsilon^2}{2e}=U\]

    \[U= \frac{m_e (0,04c)^2}{2e}=8\frac{m_e c^2}{e}\cdot10^{-4}=8\frac{9,1\cdot10^{-31}\cdot 9\cdot10^{16}}{1,6\cdot10^{-19}}\cdot10^{-4}=410\]

Ответ: 410 В.

Задача 6. Электрон, ускоренный электрическим полем, приобрел скорость, при которой его полная энергия стала равна удвоенной энергии покоя. Чему равна ускоряющая разность потенциалов? Отношение заряда электрона к его массе k=\frac{e}{m} = 1,76\cdot 10^{11} Кл/кг.

Если E=E_0+E_k=2E_0, то кинетическая энергия равна энергии покоя:

    \[E_k=E_0=m_0c^2=Ue\]

Откуда

    \[U=\frac{c^2}{k}=\frac{9\cdot10^{16}}{1,76\cdot 10^{11}}=5,11\cdot10^5\]

Задача 7. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти протон, чтобы его продольные размеры стали меньше в n = 2 раза?

По условию  релятивистское изменение длины:

    \[l=l_0\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{l_0}{2}\]

Поэтому

    \[\sqrt{1-\frac{\upsilon^2}{c^2}}=\frac{1}{2}\]

    \[1-\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{1}{4}\]

    \[\frac{\upsilon^2}{c^2}=\frac{3}{4}\]

    \[\upsilon=\frac{\sqrt{3}}{2}c\]

Тогда

    \[Uq=\frac{m_p \upsilon^2}{2}\]

    \[U=\frac{m_p \upsilon^2}{2q}=\frac{3m_p c^2}{8q}=\frac{3\cdot1,67\cdot10^{-27}\cdot 9\cdot10^{16}}{8\cdot 1,6\cdot10^{-19}}=3,52\cdot10^8\]

Ответ: U=3,52\cdot10^8 В

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *