Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематика, Олимпиадная физика

Кинематика, олимпиадная подготовка – 1

Несколько задач на кинематику я собрала в этой статье. Эти задачи мы решали с группой ребят, которых мне довелось готовить к олимпиадам.

Задача 1. По двум кольцевым дорогам радиуса R, лежащим в одной плоскости, движутся автомобили A_1 и A_2 со скоростями \upsilon_1=\upsilon=20 км/ч и \upsilon_2=2\upsilon. В некоторый момент автомобили находились в точках M и C на расстоянии \frac{R}{2} друг от друга. Размеры автомобилей малы по сравнению с R.

а) Найдите скорость автомобиля A_2 в системе отсчета, связанной с автомобилем A_1 в этот момент;

б) Найдите скорость автомобиля A_2 в системе отсчета, связанной с автомобилем A_1, когда A_2 окажется в точке D.

К задаче 1

Решение. Нам надо найти «скорость автомобиля A_2 в системе отсчета, связанной с автомобилем A_1». А как движутся точки в такой системе отсчета? Ее можно представить как карусель. Чем дальше от центра этой карусели мы оказываемся, тем больше скорость. Например, точки, расположенные на расстоянии радиуса от центра карусели, движутся со скоростью \upsilon, а точки, расположенные на расстоянии \frac{R}{2} от центра – со скоростью \frac{\upsilon}{2}.

Относительная скорость – это скорость одного тела в СО, связанной с другим телом. Пусть точка C лежит на краю нашей карусели. Расстояние от нее до центра равно 1,5R. Угловая скорость вращения карусели равна

    \[\omega=\frac{\upsilon_1}{R}\]

Тогда скорость точки C в системе отсчета карусели равна

    \[\upsilon_C=1,5\upsilon_1\]

В этот момент скорость автомобиля A_2 направлена вниз (по рисунку) и равна 2\upsilon, следовательно, относительная скорость автомобилей будет равна 0,5\upsilon_1 – Это разность скоростей.

Теперь рассмотрим точку D. В системе отсчета карусели ее скорость равна

    \[\upsuilon_D=\omega\cdot 3,5R=3,5\upsilon_1\]

В этой точке скорость автомобиля A_2 направлена вверх и равна 2\upsilon, следовательно, относительная скорость автомобилей будет равна 5,5\upsilon_1 – автомобили удаляются друг от друга, скорости складываются.

Ответ: а) 0,5\upsilon_1=10 км/ч; б) 5,5\upsilon_1=110 км/ч.

Задача 2. Во время сильного снегопада лыжник, бегущий по полю со скоростью 20 км/ч, заметил, что ему в открытый рот попадает 50 снежинок в минуту. Повернув обратно, он обнаружил, что в рот попадает 30 снежинок в минуту. Оцените дальность прямой видимости в снегопад, если площадь рта спортсмена 24 см^2, а размер снежинок 1 см.

Решение. Снежинки летят вниз (имеют вертикальную составляющую скорости) и также горизонтально (пусть горизонтальная составляющая скорости снежинок равна \upsilon_{sn}. Тогда легко догадаться, что эта горизонтальная составляющая была направлена навстречу спортсмену, а после разворота – согласно с его скоростью. Делаем этот вывод, исходя из количества снежинок, попадающих в рот).

Спортсмен «заметает» ртом объем, равный

    \[V_1=S(\upsilon+\upsilon_{sn})t\]

А в обратную сторону –

    \[V_2= S(\upsilon-\upsilon_{sn})t\]

Число снежинок в данном объеме (n – концентрация снежинок)

    \[N_1=nV_1=n S(\upsilon+\upsilon_{sn})t\]

    \[N_2=nV_2=n S(\upsilon-\upsilon_{sn})t\]

Число \frac{N_1}{t}=50, \frac {N_2}{t}=30. t здесь – 1 минута, или 60 с.

Разделим два последних уравнения.

    \[\frac{N_1}{N_2}=\frac{\upsilon+\upsilon_{sn}}{\upsilon-\upsilon_{sn}}\]

Откуда

    \[5\upsilon-5\upsilon_{sn}=3\upsilon+3\upsilon_{sn}\]

    \[2\upsilon=8\upsilon_{sn}\]

    \[\upsilon_{sn}=\frac{\upsilon}{4}=5\]

Тогда определим концентрацию

    \[n=\frac{N_1}{S(\upsilon+\upsilon_{sn})t}=\frac{50 \cdot 3600}{24\cdot 10^{-4}\cdot 25000 \cdot 60}=50\]

Итак, в метре кубическом 50 снежинок и они в наихудшем случае не заслоняют одна другую. Распределены они случайным образом, поэтому «застят» площадь 50 см^2. Тогда, чтобы снежинки заслонили собою всю площадь в 1 м^2 – а это 10000 см^2 – необходимо поставить друг за другом \frac{10000}{50}=200 таких кубов, в которых ни одна снежинка не заслоняет другую. А это 200 м. Значит, видимость равна 200 м.

Ответ: 200 м.

 

Задача 3. На рисунке изображена зависимость скорости \upsilon частицы от времени t. Масштабы по осям заданы в условных единицах. Известно, что площадь заштрихованного на рисунке прямоугольника равна 12 м, а ускорение частицы в точке A равно 1,5 м/с^2. Определите из этих данных:

а) масштабы по осям;

б) скорость частицы \upsilon_A в точке А;

в) путь, пройденный частицей от начала движения до достижения скорости \upsilon_A.

К задаче 2

Решение. Как известно, ускорение – производная скорости. Проведем с помощью линейки касательную к графику скорости в  точке A. Получим:

Касательная к графику скорости

Нам известно, что ускорение в точке A a=1,5 м/с^2. А это – не что иное, как тангенс угла наклона касательной. Тогда

    \[1,5=\frac{1,5 kl}{2 kl}\]

Отсюда делаем вывод, что, если условные единицы времени – секунды, то условные единицы скорости должны быть 2 м/с – для того, чтобы получилось соответствующее ускорение. Имеем:

    \[a=\frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}=\frac{3}{2}=1,5\]

Скорость частицы с учетом найденного масштаба по осям равна

    \[\upsilon_A=3 kl=6\]

Пройденный частицей путь равен площади, заключенной под графиком скорости. Этот путь мы просто посчитаем по клеткам, зная, что одна клетка – 2 м. Получим примерно 16 м.

Ответ: а) по оси времени масштаб: 1 клетка – 1 с, по оси скорости одна клетка – 2 м/c. Скорость точки равна 6 м/c, пройденный путь – примерно 16 м.

Задача 4. Если открытый ящик движется по горизонтали вправо со скоростью \upsilon_1=1,5 м/c, то капли дождя ударяют по всей левой стенке, но не попадают прямо на дно. Когда скорость снизили до \upsilon_2=1 м/c, то под ударами капель оказалась половина дна ящика от левой стенки. Какая часть дна окажется под ударами капель, если скорость снизить до \upsilon_3=0,5 м/c?  А если ящик остановить? Капли летят с одинаковой по величине и направлению скоростью.

Решение. Переходим в СО ящика. Пусть u – скорость капель. Тогда в

первом случае имеем:

Ящик движется наиболее быстро

Капли не попадают на дно – пролетают мимо и оказываются на стенке. Везде штрихом показано, куда попадают капли.

Во втором случае:

Ящик замедлился

Скорость ящика снизилась, и капли попадают на половину его дна (левую).

Теперь еще замедлим ящик:

Ящик ещё замедлился

Из рисунка понятно, что капли падают относительно ящика отвесно и замочат его дно полностью.

Теперь останавливаем ящик: получаем, что \upsilon_{otn4}=u, и капли попадают на всю правую половину ящика. Левая же останется сухой.

Ящик остановился

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *