Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематика, Олимпиадная физика

Кинематика – олимпиадная подготовка – 2

Несколько задач на кинематику я собрала в этой статье. Эти задачи мы решали с группой ребят, которых мне довелось готовить к олимпиадам.

Задача 1. За бегущей прямолинейно со скоростью \upsilon_l = 45 км/ч лисой гонится собака. Скорость собаки все время направлена на лису и равна \upsilon_c = 55 км/ч. В некоторый момент времени t скорость собаки оказалась перпендикулярной скорости лисы, а расстояние между ними стало равным L = 150 м. Найдите ускорение собаки в этот момент времени.

Решение. Нарисуем первоначальное положение лисы и собаки.

Расположение лисы и собаки в начальный момент

Теперь нарисуем положение лисы и собаки через очень небольшое время \tau. Лиса прошла расстояние

    \[\upsilon_l \tau=L\alpha~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

\alpha – угол между прямой, соединяющей лису и собаку в начальный момент времени и прямой, соединяющей их через время \tau.

Лиса и собака переместились

Скорость собаки по условию постоянна, но она поменяла свое направление – потому что ноc собаки все время направлен на лису. Когда бывает такое: скорость постоянна по модулю, но меняет  направление? Конечно, при движении по кругу. То есть собака перемещается по некоторой дуге окружности. Нарисуем воображаемый центр этой окружности и ее радиус.

Собака перемещается по дуге

Лиса из точки 1 переместилась в точку 2, собака – из точки 3 в точку 4. Радиус, соединяющий собаку с центром окружности, по которой она перемещается, повернулся на угол \alpha_c, и этот угол равен \alpha (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Так как момент времени \tau мал, то, во -первых, мы можем записать равенство (1), во вторых, можем записать аналогично для собаки:

    \[\upsilon_c \tau=R\alpha_c =R\alpha\]

Откуда

    \[R=\frac{\upsilon_c \tau }{\alpha }\]

Но из (1)

    \[\alpha=\frac{\upsilon_l \tau}{L}\]

Значит, можно выразить R:

    \[R=\frac{\upsilon_c \tau L}{\upsilon_l \tau}=\frac{\upsilon_c L}{\upsilon_l}\]

Так как у собаки нет тангенциального ускорения, так как по дуге она движется с постоянной скоростью, то ее ускорение – только его нормальная составляющая, и оно равно

    \[a_n=\frac{\upsilon_c^2}{R}=\frac{\upsilon_c^2\upsilon_l}{\upsilon_c L}=\frac{\upsilon_l \upsilon_c}{L}\]

    \[a_n=\frac{\upsilon_l \upsilon_c}{L}=\frac{45 \cdot 55}{0,15}=1,273\]

Ответ: ускорение собаки 1,27 м/с^2, направлено горизонтально вправо – туда же, куда направлена скорость лисы.

Задача 2. Палочка длины l стоит на горизонтальной опоре около вертикальной стенки. На нижнем конце палочки сидит жук. В некоторый момент времени палочка начинает двигаться так, что ее нижний конец движется с постоянной скоростью \upsilon по горизонтальной опоре, а верхний скользит вдоль стенки. В этот же момент жук начинает двигаться вдоль палочки с постоянной относительно палочки скоростью \upsilon_1. На какую максимальную высоту над горизонтальной опорой поднимется жук?

К задаче 2

Решение. Пусть прошло время t и жук переместился на расстояние S=\upsilon_1 t, а нижний конец палочки тогда прошел расстояние \upsilon t. Отношение

    \[\frac{\upsilon t}{l}=\cos \alpha\]

Промежуточное положение жука

    \[t=\frac{l\cos \alpha }{\upsilon }\]

Высота, на которой окажется жук, пройдя расстояние S, равна

    \[H=S\sin \alpha=\upsilon_1 t \sin \alpha\]

Подставим время:

    \[H=\frac{\upsilon_1}{\upsilon}l\cos \alpha \sin \alpha=\frac{\upsilon_1}{\upsilon}l\frac{\sin 2\alpha}{2}\]

Максимальное значение синуса двойного угла – 1. При таком синусе высота тоже максимальна:

    \[H_{max}=\frac{\upsilon_1 l}{2\upsilon}\]

Ответ: H_{max}=\frac{\upsilon_1 l}{2\upsilon}.

Задача 3. На поверхности стола расположен неподвижный цилиндр радиуса R. К некоторой точке цилиндра прикреплена невесомая нерастяжимая нить длиной l_0, к концу которой привязано тело. Телу сообщают скорость \upsilon, направленную перпендикулярно нити так, что нить начинает наматываться на цилиндр. Найти время, за которое половина нити намотается на цилиндр.

К задаче 3

Решение.

Пусть прошло очень малое время \Delta t, и тело переместилось на расстояние

    \[S=\upsilon\Delta t\]

При этом точка, в которой нить отходит от цилиндра, тоже переместилась – пусть на расстояние \Delta l – показано красным на рисунке.

Перемещение тела и нити

На рисунке угол показан большим, на самом деле он мал – угол \Delta \varphi, на который переместилось тело и нить, и, соответственно, радиус от центра цилиндра до точки, где нить от него отходит, тоже переместился на этот же угол. Так как угол этот мал, то можно записать

    \[\sin \varphi=\varphi=\frac{S}{l}=\frac{\upsilon\Delta t}{l}\]

А

    \[\Delta l=R\Delta \varphi\]

По тем же соображениям. Можно подставить:

    \[\Delta l=\frac{R\upsilon\Delta t}{l}\]

Откуда

    \[\Delta l\cdot l= R\upsilon\Delta t\]

Суммируем левую часть от \frac{L}{2} до L, а правую суммируем от нуля до \tau. Подробнее о суммировании здесь.

Получаем:

    \[\frac{L^2}{2}-\left(\frac{L}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{2}=R\upsilon \tau\]

И, наконец, время:

    \[\tau=\frac{3L^2}{8R\upsilon}\]

Ответ: \tau=\frac{3L^2}{8R\upsilon}

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *