Кинематические связи. Часть 9

Исследуем движение без проскальзывания. Будем решать задачи, связанные с качением.

Задача 1. Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на расстояниях $r>R, r=R, r<R$ . Найдите ускорения этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью $\upsilon$ . Найдите радиус кривизны траектории точки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии $r \neq R$ от оси колеса.

Сделаем рисунок:

К задаче 1

Из него видно, что скорость верхней точки колеса (колеса, а не реборды!) имеет скорость $2\upsilon$ , мгновенный центр вращения находится в точке О. Также видно, что скорость нижней точки реборды $u$ направлена в сторону, противоположную движению.

Точки колеса описывают циклоиды: нижняя точка реборды – удлиненную циклоиду (с петлей), внутренняя точка колеса – укороченную циклоиду, похожую на синусоиду, а точка О – обыкновенную циклоиду. Я сделала модель, где видно, как каждая из точек «рисует» свою циклоиду.

Мгновенный центр вращения – точка $O$ . Значит, у самой высокой точки колеса (1) радиус кривизны траектории равен $2R$ . Тогда ее нормальное ускорение

$a_{n1}=\frac{(2\upsilon)^2}{2R}=\frac{2\upsilon^2}{R}$

У точки (2), расположенной на расстоянии $r$ от оси, радиус кривизны траектории равен $R+r$ . Из подобия треугольников скоростей следует, что

$\frac{\upsilon_2}{R+r}=\frac{2\upsilon}{2R}$

$\upsilon_2=\frac{2\upsilon}{2R}\cdot (R+r)$

Тогда нормальное ускорение данной точки

$a_{n2}=\frac{4\upsilon^2}{4R^2}(R+r)^2\cdot\frac{1}{R+r}=\frac{\upsilon^2(R+r)}{R^2}$

У точки (3) на реборде колеса радиус кривизны траектории равен $2R+x$ . Из подобия треугольников скоростей следует, что

$\frac{\upsilon_3}{2R+x}=\frac{2\upsilon}{2R}$

$\upsilon_3=\frac{\upsilon}{R}\cdot (2R+x)$

Тогда нормальное ускорение данной точки

$a_{n3}=\frac{\upsilon^2}{R^2}(2R+x)^2\cdot\frac{1}{2R+x}=\frac{\upsilon^2(2R+x)}{R^2}$

Задача 2. Угловая скорость катушки равна $\omega$ , радиус внутреннего цилиндра $r$ , а радиус внешних – $R$ . Каковы скорости катушки и груза относительно земли?

К задаче 2

Намотка нити на катушки может быть различной, рассмотрим два случая.

Случай а), когда обе нити разматываются.

Случай а)

Тогда скорость центра катушки $\upsilon_c=\omega R$ , а относительная скорость точки $A$

$\upsilon_{A_{otn}}=\omega r$

Откуда

$\upsilon_A=\upsilon_{A_{otn}}+\upsilon_c=\omega(R+r)$

Случай б), когда нить наматывается на внутреннюю катушку:

Случай б)

$\upsilon_A=\upsilon_c -\upsilon_{A_{otn}}=\omega(R-r)$

Задача 3. Колесо катится с постоянной скоростью по ленте транспортера , движущейся со скоростью $u=1$ м/с, против направления ее движения без проскальзывания. При этом величина скорости точки А колеса относительно неподвижного наблюдателя равна $\upsilon_A=5$ м/с. Найти скорость центра колеса относительно ленты транспортера.

К задаче 3

Скорость точки A складывается из скорости вращательного движения, относительной скорости (скорости центра колеса относительно транспортера), скорости транспортера.

$\vec{\upsilon_A}=\vec{\upsilon_{vr}}+\vec{\upsilon_{O_{otn}}}+\vec{u}$