Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 9

Исследуем движение без проскальзывания. Будем решать задачи, связанные с качением.

Задача 1. Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на расстояниях r>R, r=R, r<R. Найдите ускорения этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью \upsilon. Найдите радиус кривизны траектории точки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии r \neq R от оси колеса.

Сделаем рисунок:

К задаче 1

Из него видно, что скорость верхней точки колеса (колеса, а не реборды!) имеет скорость 2\upsilon, мгновенный центр вращения находится в точке О. Также видно, что скорость нижней точки реборды u направлена в сторону, противоположную движению.

Точки колеса описывают циклоиды: нижняя точка реборды – удлиненную циклоиду (с петлей), внутренняя точка колеса – укороченную циклоиду, похожую на синусоиду, а точка О – обыкновенную циклоиду. Я сделала модель, где видно, как каждая из точек «рисует» свою циклоиду.

Мгновенный центр вращения – точка O. Значит, у самой высокой точки колеса (1) радиус кривизны траектории равен 2R. Тогда ее нормальное ускорение

    \[a_{n1}=\frac{(2\upsilon)^2}{2R}=\frac{2\upsilon^2}{R}\]

У точки (2), расположенной на расстоянии r от оси,  радиус кривизны траектории равен R+r. Из подобия треугольников скоростей следует, что

    \[\frac{\upsilon_2}{R+r}=\frac{2\upsilon}{2R}\]

    \[\upsilon_2=\frac{2\upsilon}{2R}\cdot (R+r)\]

Тогда нормальное ускорение данной точки

    \[a_{n2}=\frac{4\upsilon^2}{4R^2}(R+r)^2\cdot\frac{1}{R+r}=\frac{\upsilon^2(R+r)}{R^2}\]

У точки (3) на реборде колеса радиус кривизны траектории равен 2R+x. Из подобия треугольников скоростей следует, что

    \[\frac{\upsilon_3}{2R+x}=\frac{2\upsilon}{2R}\]

    \[\upsilon_3=\frac{\upsilon}{R}\cdot (2R+x)\]

Тогда нормальное ускорение данной точки

    \[a_{n3}=\frac{\upsilon^2}{R^2}(2R+x)^2\cdot\frac{1}{2R+x}=\frac{\upsilon^2(2R+x)}{R^2}\]

 

Задача 2. Угловая скорость катушки равна \omega, радиус внутреннего цилиндра r, а радиус внешних – R. Каковы скорости катушки и груза относительно земли?

К задаче 2

Намотка нити на катушки может быть различной, рассмотрим два случая.

Случай а), когда обе нити разматываются.

Случай а)

Тогда скорость центра катушки \upsilon_c=\omega R, а относительная скорость точки A

    \[\upsilon_{A_{otn}}=\omega r\]

Откуда

    \[\upsilon_A=\upsilon_{A_{otn}}+\upsilon_c=\omega(R+r)\]

Случай б), когда нить наматывается на внутреннюю катушку:

Случай б)

    \[\upsilon_A=\upsilon_c -\upsilon_{A_{otn}}=\omega(R-r)\]

 

 

Задача 3.  Колесо катится с постоянной скоростью по ленте транспортера , движущейся со скоростью u=1 м/с, против направления ее движения без проскальзывания. При этом величина скорости точки А колеса относительно неподвижного наблюдателя равна \upsilon_A=5 м/с. Найти скорость центра колеса относительно ленты транспортера.

К задаче 3

Скорость точки A складывается из скорости вращательного движения, относительной скорости (скорости центра колеса относительно транспортера), скорости транспортера.

    \[\vec{\upsilon_A}=\vec{\upsilon_{vr}}+\vec{\upsilon_{O_{otn}}}+\vec{u}\]

Полная относительная скорость точки А сложится из

    \[\vec{\upsilon_{A_{otn}}}=\vec{\upsilon_{vr}}+\vec{\upsilon_{O_{otn}}}\]

Но

    \[\mid\upsilon_{O_{otn}}\mid=\mid \upsilon_{vr}\mid=\upsilon\]

Векторы

    \[\upsilon_A^2=\upsilon^2+(\upsilon-u)^2\]

    \[\upsilon_A^2=\upsilon^2+\upsilon^2-2\upsilon u+u^2\]

    \[\upsilon_A^2=2\upsilon^2-2\upsilon u+u^2\]

Решим как квадратное

    \[2\upsilon^2-2\upsilon u+u^2-\upsilon_A^2=0\]

    \[\upsilon =\frac{u \pm \sqrt{u^2-2( u^2-\upsilon_A^2)}}{2}\]

    \[\upsilon=\frac{u+\sqrt{2\upsilon_A^2-u^2}}{2}=4\]

Ответ: 4 м/с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *