Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 8

Исследуем движение без отрыва. Будем решать задачи с шарнирными конструкциями и пользоваться методом виртуальных перемещений.

Задача 1.  Клин с углом \alpha=30^{\circ} при основании лежит на горизонтальной плоскости. Вертикальный стержень, опускающийся со скоростью \upsilon=11 см/с, заставляет клин скользить по этой плоскости со скоростью u. Определите величину u.

К задаче 1

За время t стержень опустится на расстояние \upsilon t, а клин проедет расстояние ut. Тогда

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\upsilon t }{ut}=\frac{\upsilon }{u}\]

    \[u=\upsilon \operatorname{ctg}\alpha=19,05\]

Ответ: 19 см/с

 

Задача 2. Прямоугольный клин с углом наклона  плоскости \alpha=30^{\circ} движется по горизонтали равномерно со скоростью u=1,0 м/с, при этом он толкает стержень, направляющие которого зафиксированы под углом \beta, вверх со скоростью \upsilon относительно неподвижной системы отсчета.  Определите величину \upsilon, если известно, что угол между поверхностью клина и штырем \beta=45^{\circ}.

К задаче 2

Рассмотрим треугольник ABC. Если, по аналогии с предыдущей задачей, клин проходит расстояние BC, то стержень пройдет расстояние AB.

К задаче 2

    \[BC=ut\]

    \[AC=\upsilon t\]

Этот треугольник уже не прямоугольный, как в предыдущей задаче, поэтому здесь можно воспользоваться теоремой синусов, ведь два угла в треугольнике ABC нам известны.

    \[\frac{BC}{\sin \beta}=\frac{AC}{\sin \alpha}\]

    \[\frac{u}{\sin \beta}=\frac{\upsilon}{\sin \alpha}\]

    \[\upsilon=\frac{u\sin \alpha }{\sin \beta}=\frac{1\cdot0,5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=0,5\cdot 1,41=0,7\]

Ответ: \upsilon=0,7 м/с

 

Задача 3. Размеры и массы тел, указанные на рисунке,  равны соответственно b=10 см, d=50 см, m=1 кг, M=3 кг. В начальный момент система покоилась. Трения нет. Верхняя плоскость малой призмы все время движения горизонтальна. Какое расстояние пройдет нижняя призма, когда верхняя коснется плоскости? Чему равен угол  \beta между направлением вектора абсолютной скорости верхней призмы и горизонталью, если угол наклона плоскости нижней призмы 26^{\circ}?

К задаче 3

Взаимное и одновременное движение призм начинается вследствие их давления друг на друга (силы реакции опоры, одинаковой для обеих призм)

    \[ma_m=Ma_M\]

Скорости призм и пройденные ими расстояния будут относиться так же:

    \[\upsilon_x=\frac{Mu}{m}\]

Сумма пройденных расстояний равна d-b, значит, всего пройдено 40 см, причем большая призма прошла втрое меньшее расстояние – 10 см, малая тогда – 30 см.

Нарисуем векторы скоростей:

векторы скоростей

    \[\upsilon_y=\upsilon_0\sin\alpha\]

    \[\upsilon_x=\upsilon_0\cos\alpha-u\]

Тогда

    \[\frac{\upsilon_0\sin\alpha }{\upsilon_0\cos\alpha }=\frac{\upsilon_y }{\upsilon_x +u}\]

    \[\operatorname{tg}\beta=\frac{\upsilon_y }{\upsilon_x}\]

    \[\upsilon_y=\operatorname{tg}\beta\cdot\upsilon_x\]

    \[\operatorname{tg}{\alpha }=\frac{\operatorname{tg}\beta\cdot\upsilon_x }{\upsilon_x +u}\]

    \[\operatorname{tg}\beta=\operatorname{tg}{\alpha }\cdot\frac{\upsilon_x +u }{\upsilon_x }=\operatorname{tg}{\alpha }\cdot\left(1+\frac{m}{M}\right)=0,65\]

Следовательно, сам угол равен \beta=33^{\circ}.

Ответ: а) 0,1 м  б) \beta=33^{\circ}.

Задача 4. На неподвижном клине с углом наклона  плоскости \alpha=30^{\circ} лежит груз, прикрепленный к стене перекинутой через блок нерастяжимой нитью. В некоторый момент времени клин начинает двигаться вправо с постоянным ускорением a=2,5 м/с^2. С каким ускорением движется груз, пока он находится на клине?

К задаче 4

Заметим, что любая точка нити движется с ускорением a=2,5 м/с^2. Поэтому нарисуем векторный треугольник ускорений:

Треугольник ускорений

Он равнобедренный, угол при вершине известен, воспользуемся теоремой косинусов:

    \[a_{abs}^2=a_{otn}^2+a_{per}^2-2\cdot a_{otn}\cdot a_{per}\cos\alpha\]

    \[a_{abs}^2=2,5^2+2,5^2-2\cdot2,5^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[a_{abs}=6,25\sqrt{2\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}=1,3\]

Ответ: a_{abs}=1,3 м/с^2.

Задача 5. На платформе с прямоугольным выступом высотой h=20 см лежит небольшое тело массой m=100 г. К нему прикреплен один конец невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок, установленный на выступе платформы. Второй конец нити закреплен на вертикальной стене так, что участок нити между блоком и стеной горизонтален.

К задаче 5

Платформу перемещают от стены с постоянной скоростью \upsilon=2 м/с. С какой силой F нужно тянуть  платформу в тот момент, когда участок нити над платформой составляет угол \alpha=30^{\circ} с горизонтом? Сила F горизонтальна и лежит в плоскости рисунка. Коэффициент трения между телом и платформой \mu=0,3. Между платформой и полом трения нет. При движении тела друг от друга не отрываются.

Силы

Так как платформа движется равномерно, равнодействующая равна нулю. На платформу действует сила трения со стороны груза и сила реакции опоры со стороны блока (кроме силы F). Сила тяжести и сила реакции со стороны пола взаимно друг друга компенсируют. Сила трения направлена вправо. Определим силу реакции со стороны блока. Горизонтальная проекция силы реакции со стороны блока (показана красным) может быть найдена как

    \[N_{bl}=T-T\cos\alpha\]

Так как равнодействующая  – ноль, то можно записать

    \[F=F_{tr}+ T(1-\cos\alpha)\]

Тело m участвует в сложном движении – оно и движется по поверхности платформы, и нить укорачивается, за счет чего меняется угол ее наклона. А угол меняется обычно при движении по окружности. Поэтому, помня о том, что \omega не изменяется при переходе из ИСО в ИСО, перейдем в систему отсчета, связанную с грузом. Таким образом, сложное движение груза станет движением по окружности, центр которой – на блоке.

Движение по окружности

Если нить движется со скоростью \upsilon, то груз будет иметь скорость

    \[u=\frac{\upsilon}{\cos\alpha}\]

Так как центр окружности на блоке, то нужно найти проекцию скорости, перпендикулярную нити, так как в той системе отсчета, в которую мы перешли, тело имеет нормальное ускорение.

    \[a_n=\frac{(u\sin\alpha)^2}{R}\]

    \[R=\frac{h}{\sin \alpha}\]

Силы, действующие на тело

Сила трения, действующая на тело,

    \[F_{tr}=\mu N\]

Силу реакции найдем из уравнения по второму закону Ньютона в проекциях на горизонтальную ось:

    \[T\sin\alpha+N=mg\]

    \[N=mg- T\sin\alpha\]

А еще запишем уравнение в проекциях на радиальную ось (на нить)

    \[T+N\sin\alpha-F_{tr}\cos\alpha-mg\sin\alpha=ma_n~~~~~~~(1)\]

Теперь соберем все выкладки и определим силу F.

    \[a_n=\frac{u^2\sin^3\alpha}{h}\]

    \[a_n=\frac{\upsilon^2\sin^3\alpha}{h\cos^2\alpha}\]

Теперь перепишем (1)

    \[T+(mg-T\sin\alpha)\sin\alpha-(\mu m g-\mu T \sin\alpha)\cos \alpha-mg\sin\alpha=ma_n\]

    \[T-T\sin^2\alpha-\mu m g \cos\alpha+\mu T\sin\alpha\cos\alpha=ma_n\]

    \[T(1-sin^2\alpha+\mu\sin\alpha\cos\alpha)=ma_n+\mu m g \cos\alpha\]

    \[T=\frac{ ma_n+\mu m g \cos\alpha }{1-sin^2\alpha+\mu\sin\alpha\cos\alpha }\]

    \[T=\frac{ ma_n+\mu m g \cos\alpha }{cos^2\alpha+\mu\sin\alpha\cos\alpha }\]

    \[T=\frac{ m\frac{\upsilon^2\sin^3\alpha}{h\cos^2\alpha}+\mu m g \cos\alpha }{cos^2\alpha+\mu\sin\alpha\cos\alpha }\]

Теперь подставим это в выражение для F

    \[F=\mu m g-\mu T\sin\alpha+T(1-\cos\alpha)\]

    \[F=\mu m g+T(1-\cos\alpha -\mu\sin\alpha)\]

    \[F=\mu m g+ \frac{ m\frac{\upsilon^2\sin^3\alpha}{h\cos^2\alpha}+\mu m g \cos\alpha }{cos^2\alpha+\mu\sin\alpha\cos\alpha } (1-\cos\alpha -\mu\sin\alpha)\]

    \[F=0,3+ \frac{ 0,1\frac{4 \cdot 0,5^3}{0,2\cdot\frac{3}{4}}+0,3 \cdot\frac{\sqrt{3}}{2} }{\frac{3}{4}+0,3\cdot0,5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} } (1-\frac{\sqrt{3}}{2} -0,3\cdot0,5)=0,289\]

Ответ: F=0,29 Н

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *