Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 7

Исследуем движение без отрыва. Будем решать задачи с шарнирными конструкциями и пользоваться методом виртуальных перемещений.

Задача 1.  Однородная гибкая цепочка длиной L=30 см подвешена за свои концы в точках A и B так, как показано на рисунке. Точка C  – самая нижняя точка цепочки. Силы натяжения цепочки в точках A, B и C составляют T_A=1 Н, T_B=1,7 Н, T_C=0,8 Н. Определите высоту H между концами цепочки.

 

К задаче 1

Условия равновесия для половинок цепочки, левая половина:

    \[\vec{m_1g}+\vec{T_A}+\vec{T_C}=0\]

Левая половина цепочки

По теореме Пифагора

    \[m_1g=\sqrt{T_A^2-T_C^2}\]

Аналогично для правой части

    \[m_2g=\sqrt{T_B^2-T_C^2}\]

Пусть цепочка переместилась на малую величину \Delta x и заняла новое положение, показанное красным цветом. Это эквивалентно перемещению малого кусочка длиной \Delta x с левой части цепочки на правую:

Перемещение цепочки

Масса этого малого кусочка равна

    \[\Delta m=\frac{m}{L}\Delta x\]

При перемещении этого малого кусочка совершена работа, равная приобретенной им потенциальной энергии:

    \[E_p=\Delta m g H=\frac{mgH}{L}\Delta x\]

Масса цепочки может быть составлена из масс правой и левой частей, то есть

    \[m=m_1+m_2\]

    \[mg=m_1g+m_2g=\sqrt{T_A^2-T_C^2}+\sqrt{T_B^2-T_C^2}\]

    \[E_p=\frac{H}{L}\Delta x\cdot(\sqrt{T_A^2-T_C^2}+\sqrt{T_B^2-T_C^2})\]

Изменение потенциальной энергии произошло вследствие совершения работы силами T_B>T_A,

    \[A=T_B\Delta x-T_A\Delta x\]

    \[E_p=A\]

    \[\frac{H}{L}\Delta x\cdot(\sqrt{T_A^2-T_C^2}+\sqrt{T_B^2-T_C^2})= T_B\Delta x-T_A\Delta x\]

    \[\frac{H}{L}\cdot(\sqrt{T_A^2-T_C^2}+\sqrt{T_B^2-T_C^2})= T_B-T_A\]

Откуда

    \[H=\frac{L(T_B-T_A )}{ \sqrt{T_A^2-T_C^2}+\sqrt{T_B^2-T_C^2}}=0,1\]

Ответ: 0,1 м.

Задача 2. Игрушечная пушка может скользить по рельсам, укрепленным на горизонтальном полу. Ствол пушки наклонен под углом \varphi к горизонту. Масса пушки M, снаряда – m. Из покоившейся пушки произведен выстрел. В результате пушка, не отрывавшаяся от рельсов, получила скорость u. На каком расстоянии от места выстрела снаряд упал на пол? Высоту пушки не учитывать, направления всех движений лежат в одной плоскости.

К задаче 2

Снаряд относительно пушки вылетает со скоростью \upsilon_{otn}. Скорость пушки – u, тогда абсолютная скорость снаряда

    \[\vec{\upsilon}=\vec{u}+\vec{\upsilon_{otn}}\]

В проекциях на ось x – горизонтальную ось – будет выполняться закон сохранения импульса:

    \[m\upsilon_x=Mu\]

    \[\upsilon_x=\frac{M}{m}u\]

Проекция скорости снаряда на ось y – вертикальную – будет

    \[\upsilon_y=\upsilon_{otn_y }=\upsilon_{otn}\cdot \sin\varphi\]

Снаряд вылетает под некоторым углом \alpha. Не вдаваясь подробно в кинематику, сразу запишем дальность полета снаряда из кинематических формул и теории движения тела, брошенного под углом к горизонту:

    \[L=\frac{\upsilon^2\sin 2\alpha}{g}=\frac{2\upsilon\sin\alpha\cdot\upsilon\cos\alpha}{g}=\frac{2\upsilon_x\upsilon_y}{g}\]

Дело за малым – разобраться с \upsilon_y.

    \[\operatorname{tg}\varphi=\frac{\upsilon_{otn_y}}{\upsilon_{otn_x}}\]

    \[\operatorname{tg}\varphi=\frac{\upsilon_y}{u+\upsilon_x}\]

    \[\upsilon_y=\operatorname{tg}\varphi (u+\upsilon_x)\]

    \[L=\frac{2\upsilon_x(u+\upsilon_x) \operatorname{tg}\varphi}{g}\]

    \[L=\frac{2\frac{M}{m}u^2(1+\frac{M}{m}) \operatorname{tg}\varphi}{g}\]

Ответ: L=\frac{2\frac{M}{m}u^2(1+\frac{M}{m}) \operatorname{tg}\varphi}{g}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *