Кинематические связи. Часть 7

Исследуем движение без отрыва. Будем решать задачи с шарнирными конструкциями и пользоваться методом виртуальных перемещений.

Задача 1. Однородная гибкая цепочка длиной $L=30$ см подвешена за свои концы в точках $A$ и $B$ так, как показано на рисунке. Точка $C$ – самая нижняя точка цепочки. Силы натяжения цепочки в точках $A$ , $B$ и $C$ составляют $T_A=1$ Н, $T_B=1,7$ Н, $T_C=0,8$ Н. Определите высоту $H$ между концами цепочки.

К задаче 1

Условия равновесия для половинок цепочки, левая половина:

$\vec{m_1g}+\vec{T_A}+\vec{T_C}=0$

Левая половина цепочки

По теореме Пифагора

$m_1g=\sqrt{T_A^2-T_C^2}$

Аналогично для правой части

$m_2g=\sqrt{T_B^2-T_C^2}$

Пусть цепочка переместилась на малую величину $\Delta x$ и заняла новое положение, показанное красным цветом. Это эквивалентно перемещению малого кусочка длиной $\Delta x$ с левой части цепочки на правую:

Перемещение цепочки

Масса этого малого кусочка равна

$\Delta m=\frac{m}{L}\Delta x$

При перемещении этого малого кусочка совершена работа, равная приобретенной им потенциальной энергии:

$E_p=\Delta m g H=\frac{mgH}{L}\Delta x$

Масса цепочки может быть составлена из масс правой и левой частей, то есть

$m=m_1+m_2$

$mg=m_1g+m_2g=\sqrt{T_A^2-T_C^2}+\sqrt{T_B^2-T_C^2}$

$E_p=\frac{H}{L}\Delta x\cdot(\sqrt{T_A^2-T_C^2}+\sqrt{T_B^2-T_C^2})$

Изменение потенциальной энергии произошло вследствие совершения работы силами $T_B>T_A$ ,

$A=T_B\Delta x-T_A\Delta x$

$E_p=A$

$\frac{H}{L}\Delta x\cdot(\sqrt{T_A^2-T_C^2}+\sqrt{T_B^2-T_C^2})= T_B\Delta x-T_A\Delta x$

$\frac{H}{L}\cdot(\sqrt{T_A^2-T_C^2}+\sqrt{T_B^2-T_C^2})= T_B-T_A$

Откуда

$H=\frac{L(T_B-T_A )}{ \sqrt{T_A^2-T_C^2}+\sqrt{T_B^2-T_C^2}}=0,1$

Ответ: 0,1 м.

Задача 2. Игрушечная пушка может скользить по рельсам, укрепленным на горизонтальном полу. Ствол пушки наклонен под углом $\varphi$ к горизонту. Масса пушки $M$ , снаряда – $m$ . Из покоившейся пушки произведен выстрел. В результате пушка, не отрывавшаяся от рельсов, получила скорость $u$ . На каком расстоянии от места выстрела снаряд упал на пол? Высоту пушки не учитывать, направления всех движений лежат в одной плоскости.

К задаче 2

Снаряд относительно пушки вылетает со скоростью $\upsilon_{otn}$ . Скорость пушки – $u$ , тогда абсолютная скорость снаряда

$\vec{\upsilon}=\vec{u}+\vec{\upsilon_{otn}}$

В проекциях на ось $x$ – горизонтальную ось – будет выполняться закон сохранения импульса:

$m\upsilon_x=Mu$

$\upsilon_x=\frac{M}{m}u$

Проекция скорости снаряда на ось $y$ – вертикальную – будет

$\upsilon_y=\upsilon_{otn_y }=\upsilon_{otn}\cdot \sin\varphi$

Снаряд вылетает под некоторым углом $\alpha$ . Не вдаваясь подробно в кинематику, сразу запишем дальность полета снаряда из кинематических формул и теории движения тела, брошенного под углом к горизонту: