Кинематические связи. Часть 6

Исследуем движение без отрыва. Будем решать задачи с шарнирными конструкциями и пользоваться методом виртуальных перемещений.

Задача 1. С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Шарниры $A$ и $C$ начали двигать вдоль соединяющей их прямой так, как показано на рисунке. С какой скоростью $u$ движется шарнир $D$ , если известно, что $\upsilon=6$ см/с?

К задаче 1

Рассмотрим пока шарнир сам по себе. Если подвинуть точку $A$ на малое расстояние $\Delta x$ , то точка $C$ подвинется на $\Delta x+2\Delta x=3\Delta x$ , а точка $D$ – на расстояние $\Delta x+2\Delta x+\Delta x =4\Delta x$ . Тогда, переходя к скоростям, можно записать, что

$\upsilon_C=3\upsilon_A$

$\upsilon_D=4\upsilon_A$

Тогда $\upsilon_D=\frac{4}{3}\upsilon_C$ .

Перейдем в систему отсчета, где точка А неподвижна. В этой системе отсчета скорость точки $C$ равна $6\upsilon$ , а скорость точки $D$ тогда

$\upsilon_D*=\frac{4}{3}\cdot 6\cdot 6=48$

Но надо не забыть вернуться в лабораторную систему отсчета, тогда

$\upsilon_D=\upsilon_D*-5\upsilon=48-30=18$

Ответ: 18 см/с.

Задача 2. С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Связав шарниры $C$ и $D$ невесомой нерастяжимой нитью, конструкцию подвесили за шарнир $A$ . Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. Определить силу натяжения нити, если масса всей конструкции составляет $m=1,1$ кг. Трением в шарнирах пренебречь.

К задаче 2

Аналогично предыдущей задаче, если $D$ приподнять на $\Delta x$ , $BC$ сократится на $2\Delta x$ , $AD$ – на $\Delta x$ . Вся конструкция сократится по длине на $4\Delta x$ , а так как она симметричная, то центр тяжести приподнимется на $2\Delta x$ .

Таким образом, сила упругости нити совершила бы работу

$A=T\Delta x$

Эта работа виртуальная, она пошла бы на поднятие центра масс системы, а значит, ее можно записать как

$A=mg\cdot 2\Delta x$

Сопоставляя правые части, имеем

$T=2mg=2\cdot1,1\cdot 10=22$

Ответ: 22 Н.

Задача 3. С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. К каждому из центральных шарниров $A, B, C$ и $D$ прикрепили по небольшому шарику массами $m, 2m, 3m$ и $4m$ соответственно. Связав шарниры $C$ и $D$ невесомой нерастяжимой нитью, конструкцию подвесили за шарнир $A$ . Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. Определить силу натяжения нити, если $m=0,1$ кг. Трением в шарнирах пренебречь.

К задаче 3

Аналогично предыдущей задаче, если нить сократится по длине на $\Delta x$ , $BC$ сократится на $2\Delta x$ , $AD$ – на $\Delta x$ . Груз массы $2m$ поднимется на $\Delta x$ , массой $3m$ – на $3\Delta x$ , груз массой $4m$ – на $4\Delta x$ . Работа силы натяжения нити пошла на увеличение потенциальной энергии системы.

$T\Delta x=2mg\Delta x+3mg\cdot 3\Delta x+4mg\cdot4\Delta x$

$T\Delta x=27mg\Delta x$

$T=27mg=27\cdot0,1\cdot10=27$

Ответ: 27 Н.

Задача 4. С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Связав шарниры $C$ и $D$ невесомой нерастяжимой нитью длиной $L$ , конструкцию подвесили за шарнир $A$ . Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. После этого к центральному шарниру $B$ подвесили малый груз массой $m$ на нити длиной $1,5L$ . Короткую нить перерезали, в результате чего система пришла в движение. Какую скорость будет иметь шарнир $D$ в момент, когда груз окажется в центре тяжести системы? Трением в шарнирах пренебречь. Обе нити невесомы и нерастяжимы.

К задаче 4

Когда меньшую нить перережут, подвешенный груз окажется в центре масс системы – это следует из симметрии. То есть длина центральной секции шарнирной конструкции станет равна $3L$ . А значит, длины верхней и нижней секций станут равны $1,5L$ . Аналогично первой задаче, если скорость точки $B$ равна $\upsilon$ , то скорость точки $C$ – $3\upsilon$ , скорость точки $D$ – $4\upsilon$ , а скорость грузика совпадет со скоростью точки $B$ .