Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 6

Исследуем движение без отрыва. Будем решать задачи с шарнирными конструкциями и пользоваться методом виртуальных перемещений.

Задача 1.  С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Шарниры A и C начали двигать вдоль соединяющей их прямой так, как показано на рисунке. С какой скоростью u движется шарнир D, если известно, что \upsilon=6 см/с?

К задаче 1

Рассмотрим пока шарнир сам по себе. Если подвинуть точку A на малое расстояние \Delta x, то точка C подвинется на \Delta x+2\Delta x=3\Delta x, а точка D – на расстояние \Delta x+2\Delta x+\Delta x =4\Delta x. Тогда, переходя к скоростям, можно записать, что

    \[\upsilon_C=3\upsilon_A\]

    \[\upsilon_D=4\upsilon_A\]

Тогда \upsilon_D=\frac{4}{3}\upsilon_C.

Перейдем в систему отсчета, где точка А неподвижна. В этой системе отсчета скорость точки C равна 6\upsilon, а скорость точки D тогда

    \[\upsilon_D*=\frac{4}{3}\cdot 6\cdot 6=48\]

Но надо не забыть вернуться в лабораторную систему отсчета, тогда

    \[\upsilon_D=\upsilon_D*-5\upsilon=48-30=18\]

Ответ: 18 см/с.

Задача 2. С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Связав шарниры C и D невесомой нерастяжимой нитью, конструкцию подвесили за шарнир A. Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. Определить силу натяжения нити, если масса всей конструкции составляет m=1,1 кг. Трением в шарнирах пренебречь.

К задаче 2

Аналогично предыдущей задаче, если D приподнять на \Delta x, BC сократится на 2\Delta x, AD – на \Delta x. Вся конструкция сократится по длине на 4\Delta x, а так как она симметричная, то центр тяжести приподнимется на 2\Delta x.

Таким образом, сила упругости нити совершила бы работу

    \[A=T\Delta x\]

Эта работа виртуальная, она пошла бы на поднятие центра масс системы, а значит, ее можно записать как

    \[A=mg\cdot 2\Delta x\]

Сопоставляя правые части, имеем

    \[T=2mg=2\cdot1,1\cdot 10=22\]

Ответ: 22 Н.

 

Задача 3. С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. К каждому из центральных шарниров A, B, C и D прикрепили по небольшому шарику массами m, 2m, 3m и 4m соответственно. Связав шарниры C и D невесомой нерастяжимой нитью, конструкцию подвесили за шарнир A. Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. Определить силу натяжения нити, если m=0,1 кг. Трением в шарнирах пренебречь.

К задаче 3

Аналогично предыдущей задаче, если нить сократится по длине на \Delta x, BC сократится на 2\Delta x, AD – на \Delta x. Груз массы 2m поднимется на \Delta x, массой 3m – на 3\Delta x, груз массой 4m – на 4\Delta x. Работа силы натяжения нити пошла на увеличение потенциальной энергии системы.

    \[T\Delta x=2mg\Delta x+3mg\cdot 3\Delta x+4mg\cdot4\Delta x\]

    \[T\Delta x=27mg\Delta x\]

    \[T=27mg=27\cdot0,1\cdot10=27\]

Ответ: 27 Н.

Задача 4. С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Связав шарниры C и D невесомой нерастяжимой нитью, конструкцию подвесили за шарнир A. Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. После этого к центральному шарниру B подвесили малый груз массой m на нити длиной 1,5L. Короткую нить перерезали, в результате чего система пришла в движение. Какую скорость будет иметь шарнир D в момент, когда груз окажется в центре тяжести системы? Трением в шарнирах пренебречь. Обе нити невесомы и нерастяжимы.

К задаче 4

Когда меньшую нить перережут, подвешенный груз окажется в центре масс системы – это следует из симметрии. То есть длина центральной секции шарнирной конструкции станет равна 3L. А значит, длины верхней и нижней секций станут равны 1,5L. Аналогично первой задаче, если скорость точки B равна \upsilon, то скорость точки C  – 3\upsilon, скорость точки D4\upsilon, а скорость грузика совпадет со скоростью точки B.

Запишем закон сохранения энергии для системы. Сначала у системы была потенциальная энергия, которую будем отсчитывать от точки A.

    \[E_1=-mgL-2,5mgl-3mgL-4mgl=-10,5mgL\]

После части системы имеют не только потенциальную, но и кинетическую энергию:

    \[E_2=-1,5mgL-3mgL-4,5mgL-6mgL+\frac{ m\upsilon^2}{2}+\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{m\cdot9\upsilon^2}{2}+\frac{m\cdot 16\upsilon^2}{2}\]

    \[E_1=E_2\]

    \[-10,5mgL=-15mgL+13,5 m\upsilon^2\]

    \[\upsilon^2=\frac{gL}{3}\]

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{gL}{3}}=1\]

Таким образом, скорость точки D

    \[\upsilon_D=4\]

Ответ: 4 м/с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *