[latexpage]
Исследуем движение без отрыва. Будем решать задачи с шарнирными конструкциями и пользоваться методом виртуальных перемещений.
Задача 1. С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Шарниры $A$ и $C$ начали двигать вдоль соединяющей их прямой так, как показано на рисунке. С какой скоростью $u$ движется шарнир $D$, если известно, что $\upsilon=6$ см/с?

К задаче 1
Рассмотрим пока шарнир сам по себе. Если подвинуть точку $A$ на малое расстояние $\Delta x$, то точка $C$ подвинется на $\Delta x+2\Delta x=3\Delta x$, а точка $D$ – на расстояние $\Delta x+2\Delta x+\Delta x =4\Delta x$. Тогда, переходя к скоростям, можно записать, что
$$\upsilon_C=3\upsilon_A$$
$$\upsilon_D=4\upsilon_A$$
Тогда $\upsilon_D=\frac{4}{3}\upsilon_C$.
Перейдем в систему отсчета, где точка А неподвижна. В этой системе отсчета скорость точки $C$ равна $6\upsilon$, а скорость точки $D$ тогда
$$\upsilon_D*=\frac{4}{3}\cdot 6\cdot 6=48$$
Но надо не забыть вернуться в лабораторную систему отсчета, тогда
$$\upsilon_D=\upsilon_D*-5\upsilon=48-30=18$$
Ответ: 18 см/с.
Задача 2. С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Связав шарниры $C$ и $D$ невесомой нерастяжимой нитью, конструкцию подвесили за шарнир $A$. Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. Определить силу натяжения нити, если масса всей конструкции составляет $m=1,1$ кг. Трением в шарнирах пренебречь.

К задаче 2
Аналогично предыдущей задаче, если $D$ приподнять на $\Delta x$, $BC$ сократится на $2\Delta x$, $AD$ – на $\Delta x$. Вся конструкция сократится по длине на $4\Delta x$, а так как она симметричная, то центр тяжести приподнимется на $2\Delta x$.
Таким образом, сила упругости нити совершила бы работу
$$A=T\Delta x$$
Эта работа виртуальная, она пошла бы на поднятие центра масс системы, а значит, ее можно записать как
$$A=mg\cdot 2\Delta x$$
Сопоставляя правые части, имеем
$$T=2mg=2\cdot1,1\cdot 10=22$$
Ответ: 22 Н.
Задача 3. С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. К каждому из центральных шарниров $A, B, C$ и $D$ прикрепили по небольшому шарику массами $m, 2m, 3m$ и $4m$ соответственно. Связав шарниры $C$ и $D$ невесомой нерастяжимой нитью, конструкцию подвесили за шарнир $A$. Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. Определить силу натяжения нити, если $m=0,1$ кг. Трением в шарнирах пренебречь.

К задаче 3
Аналогично предыдущей задаче, если нить сократится по длине на $\Delta x$, $BC$ сократится на $2\Delta x$, $AD$ – на $\Delta x$. Груз массы $2m$ поднимется на $\Delta x$, массой $3m$ – на $3\Delta x$, груз массой $4m$ – на $4\Delta x$. Работа силы натяжения нити пошла на увеличение потенциальной энергии системы.
$$ T\Delta x=2mg\Delta x+3mg\cdot 3\Delta x+4mg\cdot4\Delta x$$
$$ T\Delta x=27mg\Delta x$$
$$T=27mg=27\cdot0,1\cdot10=27$$
Ответ: 27 Н.
Задача 4. С помощью восьми жестких прямолинейных стержней и шарнирных соединений собрали конструкцию в виде трех ромбов, длины сторон которых относятся как 1:2:1. Связав шарниры $C$ и $D$ невесомой нерастяжимой нитью длиной $L$, конструкцию подвесили за шарнир $A$. Через некоторое время нить оказалась натянута, а система – в равновесии. После этого к центральному шарниру $B$ подвесили малый груз массой $m$ на нити длиной $1,5L$. Короткую нить перерезали, в результате чего система пришла в движение. Какую скорость будет иметь шарнир $D$ в момент, когда груз окажется в центре тяжести системы? Трением в шарнирах пренебречь. Обе нити невесомы и нерастяжимы.

К задаче 4
Когда меньшую нить перережут, подвешенный груз окажется в центре масс системы – это следует из симметрии. То есть длина центральной секции шарнирной конструкции станет равна $3L$. А значит, длины верхней и нижней секций станут равны $1,5L$. Аналогично первой задаче, если скорость точки $B$ равна $\upsilon$, то скорость точки $C$ – $3\upsilon$, скорость точки $D$ – $4\upsilon$, а скорость грузика совпадет со скоростью точки $B$.
Запишем закон сохранения энергии для системы. Сначала у системы была потенциальная энергия, которую будем отсчитывать от точки $A$.
$$E_1=-mgL-2,5mgl-3mgL-4mgl=-10,5mgL$$
После части системы имеют не только потенциальную, но и кинетическую энергию:
$$E_2=-1,5mgL-3mgL-4,5mgL-6mgL+\frac{ m\upsilon^2}{2}+\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{m\cdot9\upsilon^2}{2}+\frac{m\cdot 16\upsilon^2}{2}$$
$$E_1=E_2$$
$$-10,5mgL=-15mgL+13,5 m\upsilon^2$$
$$\upsilon^2=\frac{gL}{3}$$
$$\upsilon=\sqrt{\frac{gL}{3}}=1$$
Таким образом, скорость точки $D$
$$\upsilon_D=4$$
Ответ: 4 м/с
Комментариев - 2
Здравствуйте. В 4ой задаче необходимо пометить, что конструкцию связали нитью длиной L.
Спасибо, дополнила.