Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 4

Здесь собраны простые и сложные задачи, для повторения того, что было в предыдущих 3-ех статьях.

Задача 1.  На двугранном угле находится тонкий стержень, нижний конец которого перемещают со скоростью  \upsilon=50 мм/с вдоль горизонтали.

Найдите скорость u верхнего конца стержня в момент, когда OA:OB=2:1. Угол \alpha=60^{\circ}. Концы стержня не отрываются от поверхностей двугранного угла. Ответ выразите в мм/с, округлив до целых.

К задаче 1

Воспользовавшись теоремой косинусов, найдем длину стержня.

    \[AB^2=4x^2+x^2-2\cdot 2x\cdot x\cdot \cos 120^{\circ}\]

    \[AB^2=5x^2+2x^2\]

    \[AB=x\sqrt{7}\]

Теперь можно определить другие углы треугольника AOB. Снова применим ту же теорему:

    \[4x^2=x^2+7x^2-2\cdot x\sqrt{7}\cdot x\cdot \cos\beta\]

    \[\cos \beta=\frac{2}{\sqrt{7}}\]

    \[x^2=4x^2+7x^2-2\cdot2x\cdot x\sqrt{7}\cdot\cos\gamma\]

    \[\cos\gamma=\frac{5}{2\sqrt{7}}\]

По закону палочки

    \[u \cos\gamma=\upsilon \cos\beta\]

    \[u=\frac{\upsilon \cos\beta }{\cos\gamma }=\frac{50\cdot 2\cdot 2\sqrt{7}}{5\sqrt{7}}=40\]

Ответ: 40 мм/с.

 

Задача 2. Стержень AB скользит по горизонтальной поверхности так, что в некоторый момент скорость точки A  \upsilon=10 м/с направлена под углом \alpha=60^{\circ} к прямой AB. Известно, что в этот же момент скорость точки B (u) направлена вдоль прямой CD, которая ориентирована к стержню также под углом \alpha.

К задаче 2

В какую сторону относительно плоскости рисунка направлена скорость точки B – вверх или вниз?

Чему равен модуль скорости u? Ответ выразите в м/с, округлив до целых.

К задаче 2 – закон палочки

По закону палочки скорость точки В должна быть направлена вниз и равна

    \[\upsilon \cos\alpha=u\cos(180^{\circ}-\alpha)\]

    \[u=\upsilon=10\]

Ответ: 10 м/с

 

Задача 3. Плоский диск вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска. На рисунке показаны точки A и B, принадлежащие диску и отмечены векторы их мгновенной скорости. Для удобства нанесена координатная сетка. Определите координаты точки O, через которую проходит ось вращения диска.

К задаче 3

Для того, чтобы найти ось вращения, надо определить, где мгновенный центр вращения, а для этого нужно найти, где пересекутся перпендикуляры к векторам скоростей:

К задаче 3 – перпендикуляры

Таким образом, координаты точки О (-2; 5).

 

Задача 4. По гладкой горизонтальной поверхности скользит пластинка, на которой отмечены три точки A, B и C, лежащие в вершинах прямоугольного треугольника с углом \alpha=30^{\circ} при вершине B.

В некоторый момент времени скорость точки A равна по модулю  \upsilon=6 см/с и направлена под углом \alpha=30^{\circ} к катету BC. Известно также, что скорость точки B в этот момент времени направлена перпендикулярно катету BC. Определите модуль скорости точки C. Ответ выразите в см/с, округлив до целых.

К задаче 4

Так же, как и в предыдущей задаче, определяем направление скорости точки В: вниз. Тогда точка О – центр вращения, так как в ней пересекутся перпендикуляры к векторам скоростей. Но из геометрии AO – биссектриса. Поэтому она разделит сторону треугольника BC на отрезки, относящиеся по длине как 2:1.

К задаче 4 – пояснения

По теореме Пифагора

    \[BC=\sqrt{4a^2-a^2}= a\sqrt{3}\]

    \[\frac{CO}{OB}=\frac{1}{2}=\frac{\frac{ a\sqrt{3}}{3}}{\frac{2 a\sqrt{3}}{3}}\]

По закону палочки

    \[\upsilon \cos 60^{\circ}=u_{\parallel}\]

    \[u_{\perp}= u_{\parallel}\cdot \operatorname{tg} 60^{\circ}\]

    \[u_{\perp}=\upsilon \sin 60^{\circ}\]

    \[u=\sqrt{ u_{\perp}^2+ u_{\parallel}^2}=\sqrt{\upsilon^2 \sin^2 60^{\circ}+\upsilon^2 \cos^2 60^{\circ}}=\sqrt{\upsilon^2}=\upsilon=6\]

Определим угловую скорость:

    \[\omega=\frac{\upsilon}{OB}=\frac{9}{a\sqrt{3}}\]

    \[u_{C\perp}=\omega\cdot OC=3\]

Ответ: 3 см/с

 

Задача 5. Стержень AB длиной 2R касается уступа K полусферической лунки радиуса R.Точка A движется с постоянной по модулю скоростью  \upsilon=10 см/с по гладкой поверхности лунки, начиная из точки N, к точке M.  Найдите модуль скорости точки B в момент времени, когда стержень AB составляет угол \alpha=29^{\circ} с горизонтом. Ответ выразите см/с, округлив до целых.

К задаче 5

По закону палочки точка B двигается вдоль стержня с такой же скоростью, что и точка А. Кроме того, точка К – мгновенный центр вращения, поэтому стержень поворачивается относительно этой точки, и \omega обеих точек одинакова. Так как треугольник KOA равнобедренный (образован радиусами), то оба его острых угла равны \alpha. Точка A все время находится на одном и том же расстоянии от точки О, поэтому скорость точки А перпендикулярна OA, и значит, в треугольнике скоростей \upsilon-\upsilon_x-\upsilon_y один из острых углов – \alpha.

К задаче 5 – закон палочки

Таким образом,

    \[\upsilon_x=\upsilon \sin\alpha\]

    \[\upsilon_y=\upsilon \cos\alpha\]

Как уже замечено, угловая скорость точек A и B одна и та же, следовательно,

    \[\frac{u_y}{BK}=\frac{\upsilon_y}{ KA }\]

    \[u_y=\frac{\upsilon_y \cdot BK }{ KA }=\frac{\upsilon \cos \alpha \cdot BK }{ KA }\]

Определим длину KA по теореме косинусов:

    \[KA^2=2R^2-2R^2\cos122^{\circ}\]

    \[KA=R\sqrt{2(1- \cos122^{\circ})}\]

    \[BK=2R- R\sqrt{2(1- \cos122^{\circ})}\]

    \[BK=0,25R\]

    \[AK=1,75R\]

    \[u_y=\frac{\upsilon \cos \alpha \cdot BK }{ KA }=\frac{\upsilon \cos 29^{\circ} \cdot 0,25 }{1,75}=1,25\]

    \[u_x=10\cdot\sin{29^{\circ}}=4,85\]

    \[u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}=5\]

Ответ: 5 см/с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *