Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 3

Также будем использовать закон палочки, только задачи более сложные.

Задача 1.  Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной a. Они начинают двигаться одновременно с постоянной скоростью \upsilon. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время?

В любой момент времени скорости черепах перпендикулярны. Черепахи все время находятся в вершинах квадрата со все уменьшающимися сторонами. Таким образом, они встретятся в центре. Сначала расстояние между черепахами a, в момент встречи – 0, поэтому они встретятся через время

    \[t=\frac{a}{\upsilon}\]

Ответ: черепахи встретятся в центре квадрата через t=\frac{a}{\upsilon}.

Задача 2. Тяжелый ящик перемещают с помощью двух тракторов, движущихся со скоростями \upsilon_1=15 км/ч, \upsilon_2=24 км/ч, составляющими угол \alpha, \sin{\alpha}=0,6.

а) Чему равна скорость ящика в тот момент, когда канаты параллельны \upsilon_1 и \upsilon_2?

б) найдите угол между вектором скорости ящика и вектором \upsilon_1.

К задаче 2

Проведем перпендикуляры к скоростям и найдем точку их пересечения. В силу нерастяжимости канатов проекции скоростей \upsilon_1 и \upsilon_2 на направление перемещения ящика равны.

    \[u\cos\beta=\upsilon_1~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

    \[u\cos(\beta-\alpha)=\upsilon_2\]

Раскроем косинус разности:

    \[u \cos\beta \cos\alpha+u\sin{\beta}\sin{\alpha}=\upsilon_2~~~~~~~~~(2)\]

Из треугольника OBA

    \[u\sin{\beta}=\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}\]

Подставим (2) в (1):

    \[\upsilon_1 \cos\alpha+\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}\sin{\alpha}=\upsilon_2\]

Преобразуем:

    \[\upsilon_2-\upsilon_1 \cos\alpha=\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}\sin{\alpha}\]

Возведем в квадрат:

    \[\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha\cdot \upsilon_2+\upsilon_1^2 \cos^2\alpha=(u^2-\upsilon_1^2)\sin^2{\alpha}\]

    \[\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2=u^2\sin^2{\alpha}-\upsilon_1^2\sin^2{\alpha}-\upsilon_1^2 \cos^2\alpha\]

    \[\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2=u^2\sin^2{\alpha}-\upsilon_1^2\]

    \[\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2+\upsilon_1^2=u^2\sin^2{\alpha}\]

    \[u=\sqrt{\frac{\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2+\upsilon_1^2}{\sin^2{\alpha }}}=\sqrt{\frac{24^2-2\cdot15 \cdot24+ 15^2}{0,36}}=25\]

    \[\sin{\beta }=\frac{\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}}{u}=0,8\]

Ответ: а) u=25 км/ч, б) \sin{\beta }=0,8.

Задача 3. С высокого берега озера за веревку подтягивают лодку. К веревке привязали флажок. В момент, когда флажок оказывается в точке С посередине AB, веревка была направлена под углом 60^{\circ} к горизонту. Найдите скорость флажка в этот момент, если известно, что скорость лодки u=1 м/c.

К задаче 3

В силу нерастяжимости нити

    \[\upsilon_{\parallel}=u_{\parallel}=u\cos\alpha\]

Перейдем в ИСО, движущуюся со скоростью u_{\parallel}. Тогда в этой ИСО веревка будет вращаться со скоростью \omega.

К задаче 3 – проекции скоростей.

    \[\upsilon_{\perp}=\omega\cdot\frac{L}{2}\]

    \[\u_{\perp}=\omega\cdot L\]

    \[\upsilon_{\perp}=\frac{u}{2}=\frac{u\sin\alpha}{2}\]

    \[\upsilon=\sqrt{\upsilon_{\perp}^2+\upsilon_{\parallel}^2}=\sqrt{u^2\cos^2\alpha+\frac{u^2}{4}\sin^2\alpha}\]

    \[\upsilon=u\sqrt{\cos^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha }{4}}=0,66\]

Ответ: \upsilon=0,66 м/с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *