Кинематические связи. Часть 3

[latexpage]

Также будем использовать закон палочки, только задачи более сложные.

Задача 1.  Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной $a$. Они начинают двигаться одновременно с постоянной скоростью $\upsilon$. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время?

В любой момент времени скорости черепах перпендикулярны. Черепахи все время находятся в вершинах квадрата со все уменьшающимися сторонами. Таким образом, они встретятся в центре. Сначала расстояние между черепахами $a$, в момент встречи – 0, поэтому они встретятся через время

$$t=\frac{a}{\upsilon}$$

Ответ: черепахи встретятся в центре квадрата через $t=\frac{a}{\upsilon}$.

Задача 2. Тяжелый ящик перемещают с помощью двух тракторов, движущихся со скоростями $\upsilon_1=15$ км/ч, $\upsilon_2=24$ км/ч, составляющими угол $\alpha$, $\sin{\alpha}=0,6$.

а) Чему равна скорость ящика в тот момент, когда канаты параллельны $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$?

б) найдите угол между вектором скорости ящика и вектором $\upsilon_1$.

К задаче 2

Проведем перпендикуляры к скоростям и найдем точку их пересечения. В силу нерастяжимости канатов проекции скоростей $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ на направление перемещения ящика равны.

$$u\cos\beta=\upsilon_1~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$u\cos(\beta-\alpha)=\upsilon_2$$

Раскроем косинус разности:

$$ u \cos\beta \cos\alpha+u\sin{\beta}\sin{\alpha}=\upsilon_2~~~~~~~~~(2)$$

Из треугольника $OBA$

$$ u\sin{\beta}=\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}$$

Подставим (2) в (1):

$$ \upsilon_1 \cos\alpha+\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}\sin{\alpha}=\upsilon_2$$

Преобразуем:

$$\upsilon_2-\upsilon_1 \cos\alpha=\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}\sin{\alpha}$$

Возведем в квадрат:

$$\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha\cdot \upsilon_2+\upsilon_1^2 \cos^2\alpha=(u^2-\upsilon_1^2)\sin^2{\alpha}$$

$$\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2=u^2\sin^2{\alpha}-\upsilon_1^2\sin^2{\alpha}-\upsilon_1^2 \cos^2\alpha $$

$$\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2=u^2\sin^2{\alpha}-\upsilon_1^2$$

$$\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2+\upsilon_1^2=u^2\sin^2{\alpha}$$

$$u=\sqrt{\frac{\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2+\upsilon_1^2}{\sin^2{\alpha }}}=\sqrt{\frac{24^2-2\cdot15 \cdot24+ 15^2}{0,36}}=25$$

$$\sin{\beta }=\frac{\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}}{u}=0,8$$

Ответ: а) $u=25$ км/ч, б) $\sin{\beta }=0,8$.

Задача 3. С высокого берега озера за веревку подтягивают лодку. К веревке привязали флажок. В момент, когда флажок оказывается в точке С посередине $AB$, веревка была направлена под углом $60^{\circ}$ к горизонту. Найдите скорость флажка в этот момент, если известно, что скорость лодки $u=1$ м/c.

К задаче 3

В силу нерастяжимости нити

$$\upsilon_{\parallel}=u_{\parallel}=u\cos\alpha$$

Перейдем в ИСО, движущуюся со скоростью $ u_{\parallel}$. Тогда в этой ИСО веревка будет вращаться со скоростью $\omega$.

К задаче 3 – проекции скоростей.

$$\upsilon_{\perp}=\omega\cdot\frac{L}{2}$$

$$\u_{\perp}=\omega\cdot L$$

$$\upsilon_{\perp}=\frac{u}{2}=\frac{u\sin\alpha}{2}$$

$$\upsilon=\sqrt{\upsilon_{\perp}^2+\upsilon_{\parallel}^2}=\sqrt{u^2\cos^2\alpha+\frac{u^2}{4}\sin^2\alpha}$$

$$\upsilon=u\sqrt{\cos^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha }{4}}=0,66$$

Ответ: $\upsilon=0,66$ м/с.