Кинематические связи. Часть 3

Также будем использовать закон палочки, только задачи более сложные.

Задача 1. Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной $a$ . Они начинают двигаться одновременно с постоянной скоростью $\upsilon$ . Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время?

В любой момент времени скорости черепах перпендикулярны. Черепахи все время находятся в вершинах квадрата со все уменьшающимися сторонами. Таким образом, они встретятся в центре. Сначала расстояние между черепахами $a$ , в момент встречи – 0, поэтому они встретятся через время

$t=\frac{a}{\upsilon}$

Ответ: черепахи встретятся в центре квадрата через $t=\frac{a}{\upsilon}$ .

Задача 2. Тяжелый ящик перемещают с помощью двух тракторов, движущихся со скоростями $\upsilon_1=15$ км/ч, $\upsilon_2=24$ км/ч, составляющими угол $\alpha$ , $\sin{\alpha}=0,6$ .

а) Чему равна скорость ящика в тот момент, когда канаты параллельны $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ ?

б) найдите угол между вектором скорости ящика и вектором $\upsilon_1$ .

К задаче 2

Проведем перпендикуляры к скоростям и найдем точку их пересечения. В силу нерастяжимости канатов проекции скоростей $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ на направление перемещения ящика равны.

$u\cos\beta=\upsilon_1~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

$u\cos(\beta-\alpha)=\upsilon_2$

Раскроем косинус разности:

$u \cos\beta \cos\alpha+u\sin{\beta}\sin{\alpha}=\upsilon_2~~~~~~~~~(2)$

Из треугольника $OBA$

$u\sin{\beta}=\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}$

Подставим (2) в (1):

$\upsilon_1 \cos\alpha+\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}\sin{\alpha}=\upsilon_2$

Преобразуем:

$\upsilon_2-\upsilon_1 \cos\alpha=\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}\sin{\alpha}$

Возведем в квадрат:

$\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha\cdot \upsilon_2+\upsilon_1^2 \cos^2\alpha=(u^2-\upsilon_1^2)\sin^2{\alpha}$

$\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2=u^2\sin^2{\alpha}-\upsilon_1^2\sin^2{\alpha}-\upsilon_1^2 \cos^2\alpha$

$\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2=u^2\sin^2{\alpha}-\upsilon_1^2$

$\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2+\upsilon_1^2=u^2\sin^2{\alpha}$

$u=\sqrt{\frac{\upsilon_2^2-2\upsilon_1 \cos\alpha \cdot \upsilon_2+\upsilon_1^2}{\sin^2{\alpha }}}=\sqrt{\frac{24^2-2\cdot15 \cdot24+ 15^2}{0,36}}=25$

$\sin{\beta }=\frac{\sqrt{u^2-\upsilon_1^2}}{u}=0,8$

Ответ: а) $u=25$ км/ч, б) $\sin{\beta }=0,8$ .

Задача 3. С высокого берега озера за веревку подтягивают лодку. К веревке привязали флажок. В момент, когда флажок оказывается в точке С посередине $AB$ , веревка была направлена под углом $60^{\circ}$ к горизонту. Найдите скорость флажка в этот момент, если известно, что скорость лодки $u=1$ м/c.