Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 2.

Стартовые задачи по кинематическим связям. Продолжаем использовать закон палочки.

Задача 1.  По гладкому горизонтальному столу скользит однородная линейка длиной l=25 см. В некоторый начальный момент времени скорости концов линейки направлены перпендикулярно к ней в разные стороны и равны \upsilon_1=10 см/с и \upsilon_2=30 см/с. Какая скорость будет у центральной точки линейки через время t=5 с после начального момента времени. За какое время \tau от начального момента линейка повернется на угол 90^{\circ} от исходного положения?

К задаче 1

Так как скорости перпендикулярны линейке, то очевидно, что линейка вращается вокруг точки, принадлежащей ей.

    \[\upsilon_1=\omega x\]

    \[\upsilon_2=\omega(L-x)\]

Тогда

    \[\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}=\frac{L-x}{x}=\frac{L}{x}-1\]

    \[\frac{L}{x}=1+\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}\]

    \[x=\frac{L}{1+\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}}=\frac{0,25}{1+3}=\frac{1}{16}\]

Так как

    \[\upsilon_1=\omega x\]

Определим угловую скорость

    \[\omega=\frac{\upsilon_1}{x}=16\upsilon_1=1,6\]

И найдем скорость центра

    \[\upsilon=\omega\cdot\left(\frac{L}{2}-x\right)=1,6\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{16}\right)=0,1\]

Если перпендикулярность скоростей сохраняется, то \tau=\frac{T}{4}=\frac{2\pi}{4\omega}=1

Если перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью \frac{\upsilon_2-\upsilon_1}{2} в направлении скорости \upsilon_2, то концы линейки будут иметь скорости \frac{\upsilon_2+\upsilon_1}{2}, направленные перпендикулярно линейке в разные стороны. В этой системе отсчета есть только вращательное движение вокруг центральной точки.

    \[\tau=\frac{\pi L}{4}\div \frac{\upsilon_2+\upsilon_1}{2}=\frac{\pi L}{2(\upsilon_2+\upsilon_1)}=1\]

Так как центр масс покоится в этой СО, следовательно, скорость центра масс относительно земли равна \frac{\upsilon_2-\upsilon_1}{2}. Так как стол гладкий, то импульс сохраняется и скорость центра равна 10 см/с в любой момент времени, не только через 5 с.

Задача 2. Стержень длиной l движется в горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости концов стержня равны  \upsilon_1 и \upsilon_2, причем \upsilon_1 направлена под углом \alpha к стержню. Какова угловая скорость вращения стержня?

1 способ решения, больше физический.

К задаче 2, первый способ

По закону палочки

    \[\upsilon_{1\parallel}=\upsilon_{2\parallel}\]

Перейдем в ИСО, движущуюся со скоростью \upsilon_1\cos\alpha. В этой системе отсчета \upsilon_{\parallel}=0. Вообще любое движение можно представить как суперпозицию  поступательного и вращательного движений. А \omega не меняется при переходе из ИСО в ИСО! Угловую скорость можно найти (см. предыдущую задачу) как

    \[\omega=\frac{\upsilon_{1\perp}+\upsilon_{2\perp}}{l}\]

    \[\upsilon_1\cos\alpha=\upsilon_2\cos\beta\]

    \[\cos\beta=\frac{\upsilon_1\cos\alpha }{\upsilon_2}\]

    \[\sin \beta=\sqrt{1-\frac{\upsilon_1^2\cos^2\alpha }{\upsilon^2_2}}\]

    \[\omega=\frac{\upsilon_1\sin\alpha+\upsilon_2\sin\beta}{l}\]

2 способ решения, больше математический, через мгновенный центр скоростей.

Точка О – мгновенный центр скоростей, мы нашли ее, проведя перпендикуляры к векторам скоростей. В точке пересечения перпендикуляров как раз и находится точка О.

Из точки О опустим перпендикуляр на стержень:

К задаче 2, второй способ

    \[\angle O=\alpha+\beta\]

Длину стержня можно найти так:

    \[l=r_1\sin\alpha+r_2\sin\beta\]

    \[h= r_1\cos\alpha =r_2\cos \beta\]

Тогда

    \[r_1=\frac{ r_2\cos \beta }{\cos\alpha }\]

По закону палочки

    \[\upsilon_1\cos\alpha=\upsilon_2\cos\beta\]

Откуда

    \[\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}=\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}\]

    \[l=r_1\sin\alpha+r_2\sin\beta=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} r_2\sin\alpha+ r_2\sin\beta\]

Откуда

    \[r_2=\frac{l}{\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} \sin\alpha+ \sin\beta }=\frac{l \upsilon_2}{ \upsilon_1\sin\alpha+\upsilon_2\sin\beta }\]

    \[\upsilon_2=\omega r_2\]

    \[\omega=\frac{\upsilon_2}{r_2}=\frac{\upsilon_1\sin\alpha+\upsilon_2\sin\beta}{l}\]

Ответ: \omega=\frac{\upsilon_2}{r_2}=\frac{\upsilon_1\sin\alpha+\upsilon_2\sin\beta}{l}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *