Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 14

Продолжаем разбор задач с блоками, грузами и связывающими их нитями. Двигаемся к более сложным  задачам.

Задача 1. В механической системе, схема которой представлена на рисунке, известны скорости, с которым движутся точки A, B и C для земного наблюдателя, причем \upsilon=2 см/c. С какой скоростью относительно земли движется кубик? Ответ дать в см/с, округлив до целых. Нити невесомы и нерастяжимы. Проскальзывания нет.

К задаче 1

Перейдем в ИСО, связанную с верхним блоком. В ней он неподвижен. Поэтому в ней концы нити имеют «скорость удаления»,  равную 2\upsilon+5\upsilon=7\upsilon. А поскольку груз поднимается только на x при выбирании длины нити 2x, то скорость кубика в этой ИСО равна 3,5\upsilon. Ну и не забудем вернуться в лабораторную ИСО, в котрой скорость кубика будет 3,5\upsilon+\upsilon=4,5\upsilon, или 9 см/с.

Ответ: 9 см/с

 

Задача 2. Система состоит из неподвижного и подвижного блоков, а также двух грузов m_1 и m_2, связанных легкой нерастяжимой нитью. Известно, что груз m_1 движется вниз с ускорением a_1=2 м/с^2. Массой блоков и трением в системе пренебречь. Определить ускорение груза m_2. Найдите отношение масс \frac{m_1}{m_2}.

К задаче 2

Так как при опускании груза m_1 на 2x груз m_2 проходит расстояние x, то a_2=\frac{a_1}{2}=1  м/с^2.

Силы и ускорения в задаче 2

    \[m_2a_2=2T-m_2g\]

    \[m_1a_1=m_1g-T\]

Или

    \[m_2a_2=2T-m_2g\]

    \[4m_1a_2=2m_1g-2T\]

Сложим уравнения:

    \[4m_1a_2+m_2a_2=2m_1g-m_2g\]

    \[m_1(4a_2-2g)=m_2(-a_2-g)\]

    \[\frac{m_1}{ m_2}=\frac{a_2+g}{2g-4a_2}=\frac{11}{16}\]

Ответ: a_2=1 м/с^2, \frac{m_1}{m_2}=0,7.

Задача 3. На гладкой горизонтальной поверхности покоится уголок массы M=1 кг, который с помощью легкой нити и двух блоков соединен со стенкой и бруском массы m=300 г. Брусок касается внутренней поверхности уголка. Нити, перекинутые через блок, прикрепленный к стене, натянуты горизонтально. Вначале систему удерживают в состоянии покоя, а затем отпускают.  Найдите ускорение уголка. Блоки легкие, трение в системе отсутствует.

К задаче 3

Брусок опускается на x, тогда уголок проходит \frac{x}{2}. Поэтому a_1=\frac{a_2}{2}.

    \[ma_1=mg-T\]

    \[(M+m)a_2=2T\]

Перепишем:

    \[4ma_2=2mg-2T\]

    \[(M+m)a_2=2T\]

Сложим уравнения:

    \[(M+5m)a_2=2mg\]

    \[a_2=\frac{2mg}{M+5m}=\frac{6}{2,5}=2,4\]

Ответ: 2,4 м/с^2

 

Задача 4. Блок склеен из двух дисков с радиусами R и 2R, насаженных на одну и ту же горизонтальную ось, и подвешен к горизонтальному потолку. На блоки намотана невесомая нерастяжимая нить, к которой прикреплен груз массой m, как это показано на рисунке.  Нить охватывает также нижний блок, размеры которого подобраны так, что все отрезки нити вертикальны. Второй груз массой 3m прикреплен к оси нижнего блока. Блоки невесомы. Определите ускорения грузов m и 3m.

К задаче 4

    \[3ma_1=3mg-2T\]

    \[ma_2=T-T_1+mg\]

Силы и ускорения в задаче 4

Надо учесть, что T_1\cdot 2R=TR, то есть 2T_1=T. Это приведет к тому, что при повороте блока против часовой слева высвободится вдвое больший кусок нити, чем намотается слева. Да еще,  если груз m опустится на 2x, груз 3m опустится на x. Поэтому a_2=4a_1. Подставим это:

    \[3ma_1=3mg-2T\]

    \[4ma_1=T-\frac{T}{2}+mg\]

Умножим второе уравнение на 4:

    \[16ma_1=2T+4mg\]

Сложим с первым уравнением:

    \[19ma_1=7mg\]

    \[a_1=\frac{7g}{19}=3,7\]

    \[a_2=14,7\]

Ответ: a_1=3,7 м/с^2, a_2=14,7 м/с^2.

Задача 5. На столе лежит гладкая подставка массой 6m, на которой покоится шайба массой m. Они связаны с помощью нерастяжимой нити и четырех блоков. С помощью другой нерастяжимой нити и еще одного блока подставку связывают с грузом массы 3m, в результате чего система приходит в движение, в процессе которого нити все время остаются в плоскости рисунка, а их части, не касающиеся блоков, располагаются либо горизонтально, либо вертикально. Определить ускорение шайбы. Массой блоков и нитей пренебречь. Трения нет. Стержни крепления блоков не мешают нитям.

К задаче 5

Уравнение по второму закону Ньютона для груза массой 3m:

    \[3ma_1=3mg-T\]

    \[6ma_2=T-3T_1\]

    \[T_1=ma_2\]

Силы и ускорения в задаче 5

Если грузик смещается вниз на x, то шайба смещается на 3x – потому что каждая из трех нитей удлинится на x. Поэтому

    \[a_1=3a_2\]

    \[6ma_1=6mg-2T\]

    \[6T_1=6ma_2=T-3T_1\]

    \[9T_1=T\]

Откуда

    \[3ma_1=3mg-T\]

    \[6m\cdot \frac{a_1}{3}=T-3T_1=T-\frac{T}{3}=\frac{2T}{3}\]

Получается

    \[2ma_1=\frac{2T}{3}\]

    \[3ma_1=T\]

    \[3mg-T=T\]

    \[2T=3mg\]

    \[T=1,5mg\]

    \[3ma_1=3mg-1,5mg=1,5mg\]

    \[a_1=\frac{g}{2}=5\]

Ответ: a_1=5.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *