Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 13

Продолжаем разбор задач с блоками, грузами и связывающими их нитями. Двигаемся к более навороченным задачам.

Задача 1. Систему из трех брусков, находящихся на горизонтальном столе, приводят в движение, прикладывая горизонтальную силу F. Коэффициент трения между столом и брусками и между соприкасающимися брусками равен \mu. Массы брусков m_1=m, m_2=2m, m_3=3m. Массой нити, блока и трением в осях пренебречь.

  • Найти силу натяжения нити, если бруски m_1 и m_2 скрепить, а параметры F, m, \mu подобрать такими, чтобы бруски двигались как одно целое.
  • Найти силу натяжения нити, если параметры F, m, \mu подобрать такими, что нескрепленные бруски m_1 и m_2  движутся друг по другу, а бруски m_1 и m_3 – по столу.

К задаче 1

Если система движется как одно целое, то для нее 2ЗН

Случай 1)

    \[6ma=F-F_{tr1}-F_{tr2}\]

    \[3ma=2T_0-F_{tr2}=2T_0-3\mu m g\]

Последнее умножим на 2:

    \[6ma=4T_0-6\mu m g\]

То есть, если сравнить два выражения, то понятно, что

    \[F=4T_0\]

    \[T_0=\frac{F}{4}\]

Теперь другой случай: все движется.

Случай 2

Из нерастяжимости нити следует, что

    \[a_3=\frac{a_1+a_2}{2}\]

Тогда

    \[ma_1=F- F_{tr1}-F_{tr3}-T= F- 3\mu m g -2\mu m g -T\]

    \[2ma_2= F_{tr3}-T=2\mu m g -T\]

    \[3ma_3=2T- F_{tr2}=2T-3\mu m g\]

    \[a_1=\frac{F}{m}-5\mu g-\frac{T}{m}\]

    \[a_2=\mu g-\frac{T}{2m}\]

    \[a_3=\frac{2T}{3m}-\mu g\]

Так как 2a_3=a_1+a_2, то

    \[\frac{4T}{3m}-2\mu g=\frac{F}{m}-5\mu g-\frac{T}{m}+\mu g-\frac{T}{2m}\]

    \[\left(\frac{4}{3}+1+\frac{1}{2}\right) \frac{T}{m}=\frac{F}{m}-2\mu g\]

    \[\frac{17T}{6}=F-2\mu m g\]

    \[T=\frac{6}{17}(F-2\mu m g)\]

Ответ: 1) T_0=\frac{F}{4}; 2) T=\frac{6}{17}(F-2\mu m g).

 

Задача 2. На гладкой горизонтальной поверхности находятся 2 тела с массами m и \frac{m}{2}. К телам прикреплены легкие блоки и они связаны невесомой и нерастяжимой нитью так, как показано на рисунке. К концу нити прикладывают постоянную силу F. Найти ускорение конца нити.

К задаче 2

    \[ma_1=3F\]

    \[a_1=\frac{3F}{m}\]

    \[\frac{m}{2}\cdot a_2=2F\]

    \[a_2=\frac{4F}{m}\]

Силы в задаче 2

Каждая нить между грузами сократится на x+y, если левый груз съедет на x, а правый – на y. Поэтому высвободится кусок нити длиной  2(x+y) – но это относительно левого груза!

    \[z_{otn}= 2(x+y)\]

    \[z= z_{otn}+x=3x+2y\]

То есть

    \[a=3a_1+2a_2=3\cdot\frac{3F}{m}+2\cdot \frac{4F}{m}=\frac{17F}{m}\]

Ответ: a=\frac{17F}{m}

 

Задача 3. Найдите ускорение груза 1 в системе, изображенной на рисунке. Массы грузов 1 и 2 равны M, массы грузов 3 и 4 равны m. Грузы 3 и 4 касаются грузов 1 и 2, участки нитей, не лежащие на блоках, горизонтальны или вертикальны. Нить невесома и нерастяжима, блоки легкие, трения нет.

К задаче 3

При движении вправо грузы M и m можно считать единым целым, их ускорения вдоль горизонтальной оси совпадают.

Силы в задаче 3

    \[(M+m)a=T\]

    \[ma=mg-T\]

    \[(M+2m)a=mg\]

    \[a=\frac{mg}{M+2m}\]

Ответ: a=\frac{mg}{M+2m}.

 

Задача 4. В системе, изображенной на рисунке, нерастяжимая нить связывает кубик и два бруска, которые находятся на гладкой горизонтальной поверхности стола. Вначале бруски удерживают так, что расстояние между ними равно H=75 см. Затем их отпускают. Они начинают поступательное движение, в процессе которого нить все время остается в плоскости рисунка, а ее части, не касающиеся блоков, расположены либо горизонтально, либо вертикально. Стержни крепления блоков не мешают движению нити. Чему равна скорость кубика в момент прямо перед соударением брусков? Блоки и нить невесомы, трения в осях нет.

К задаче 4

ЗН для кубика:

    \[3ma_1=3mg-2T\]

Силы в задаче 4

2ЗН для правого бруска:

    \[2ma_2=4T\]

Для левого:

    \[ma_3=2T\]

Но тогда получается, что a_2=a_3. А из первого

    \[3a_1=3g-a_2\]

Пусть левый брусок сместился на x вправо, а правый – на y влево. Три нити между брусками сократились на x+y. Полная длина нити неизменна, следовательно, сумма удлинений равна сумме сокращений. Кубик опустился на z, и, следовательно,

Удлинения и сокращения нитей в задаче 4

    \[2z+x=y+3(x+y)\]

    \[2z=y+2x+3y\]

    \[2z=2x+4y\]

    \[z=x+2y\]

А это означает, что

    \[a_1=2a_2+a_3\]

Но x=y – так как ускорения равны. Поэтому

    \[a_1=3a_3=3a_2\]

    \[3a_1=3g-\frac{a_1}{3}\]

И

    \[\frac{10a_1}{3}=3g\]

    \[a_1=\frac{9g}{10}\]

    \[a_2=\frac{3g}{10}\]

Определим скорость кубика

    \[\upsilon_1=a_1t\]

Пути брусков одинаковы – ведь одинаковы ускорения:

    \[H=S_2+S_3=2S_2\]

    \[S_2=\frac{H}{2}=\frac{a_2t^2}{2}\]

    \[a_2t^2=H\]

    \[t^2=\frac{H}{a_2}=\frac{0,75}{3}=0,25\]

Откуда t=0,5 и \upsilon_1=a_1t=0,9g\cdot 0,5=4,5 м/с.

Ответ: 4,5 м/с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *