Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 12

Наконец-то мы добрались и до задач с блоками, грузами и связывающими их нитями. Тут тоже двинемся от простого к сложному.

Задача 1. Найти ускорения грузов. Известно, что m_1=2 кг, m_2=1 кг. Блоки невесомы, нити нерастяжимы, трения в осях нет.

К задаче 1

Из нерастяжимости нити следует, что a_1=a_2=a. Второй закон Ньютона (2ЗН) для первого груза:

    \[m_1a=m_1g-T\]

Второй закон Ньютона для второго груза:

    \[m_2a=T-m_2g\]

Силы в задаче 1

Сложив уравнения, получим:

    \[a(m_1+m_2)=m_1g-m_2g\]

    \[a=\frac{g(m_1-m_2}{ m_1+m_2}=\frac{g}{3}\]

Ответ: a=\frac{g}{3}

 

Задача 2. Найти ускорения грузов. Известно, что m_1=2 кг, m_2=3 кг. Блоки невесомы, нити нерастяжимы, трения в осях нет.

К задаче 2

Если груз m_1 опустится на расстояние 2x, то груз m_2 поднимется на x. Поэтому a_1=2a_2. Составим второй закон для каждого груза:

    \[m_1a_1=m_1g-T\]

    \[m_2a_2=2T-m_2g\]

Силы в задаче 2

Перепишем:

    \[m_1\cdot 2a_2=m_1g-T\]

    \[m_2a_2=2T-m_2g\]

Умножим первое уравнение на 2:

    \[4m_1a_2=2m_1g-2T\]

    \[m_2a_2=2T-m_2g\]

И сложим уравнения:

    \[(4m_1+m_2)a_2=2m_1g-m_2g\]

    \[a_2=\frac{2m_1g-m_2g }{4m_1+m_2}=\frac{g}{11}\]

    \[a_1=2a_2=\frac{2g}{11}\]

Ответ: a_1=\frac{2g}{11}; a_2=\frac{g}{11}.

 

Задача 3. К оси легкого блока прикрепили груз массы M, сам блок удерживается переброшенной через него нитью, один конец которой закреплен, а к  другому концу привязан грузик массой m. Этот малый груз сначала удерживают так, что нити вертикальны. Затем груз отпускают и система приходит в движение. Найдите ускорение блока.

К задаче 3

Если груз m опустить на расстояние x, то груз M опустится на \frac{x}{2}. Поэтому a_1=a, a_2=2a.

Составим второй закон для каждого груза:

    \[Ma=Mg-2T\]

    \[2ma=mg+T\]

Силы в задаче 3

Разделим уравнения друг на друга:

    \[\frac{M}{2m}=\frac{Mg-2T}{mg+T}\]

Откуда

    \[M(mg+T)=2m(Mg-2T)\]

    \[Mmg+MT=2Mmg-4mT\]

Выразим силу натяжения:

    \[T(M+4m)=Mmg\]

    \[T=\frac{ Mmg }{ M+4m }>0\]

Следовательно, нить натянута. Если бы оказалось, что T<0, это значило бы, что нить прослабла и грузы просто свободно падают, в этом случае их ускорения равны были бы g.

Вернемся ко второму закону и перепишем, умножив второе уравнение на 2:

    \[Ma=Mg-2T\]

    \[4ma=2mg+2T\]

Теперь сложим уравнения:

    \[a(M+4m)=g(M+2m)\]

    \[a=a_1=\frac{ g(M+2m)}{M+4m}<g\]

    \[a_2=\frac{ 2g(M+2m)}{M+4m}\]

Ответ: a_1=\frac{ g(M+2m)}{M+4m}, a_2=\frac{ 2g(M+2m)}{M+4m}.

 

Задача 4. К оси легкого блока прикрепили груз массы m, через блок переброшена нить, один конец которой закреплен, а к  другому концу привязан грузик массой M. Груз вверху удерживают так, что нити вертикальны. Затем груз отпускают и система приходит в движение. Найдите ускорение блока. Чему равно натяжение нити до отпускания груза и во время движения?

К задаче 4

Если груз m опустить на расстояние x, то груз M опустится на 2x. Поэтому a_1=a, a_2=2a.

Как видно, T_1=2T.

Силы в задаче 4

Составим второй закон для каждого груза:

    \[ma=mg+T_1\]

    \[2Ma=Mg-T\]

Перепишем:

    \[ma=mg+2T\]

    \[2Ma=Mg-T\]

Разделим уравнения друг на друга:

    \[\frac{m}{2M}=\frac{mg+2T}{Mg-T}\]

Откуда

    \[m(Mg-T)=2M(mg+2T)\]

    \[Mmg-mT=2Mmg+4MT\]

Выразим силу натяжения:

    \[T(-m-4M)=Mmg\]

    \[T=\frac{ Mmg }{ - m -4M }<0\]

Нить не натянута, грузы падают с ускорением g. До того, как груз отпустили, a=0, поэтому T_1=mg, T=Mg.

Ответ: До отпускания T_1=mg, T=Mg, после a_1=a_2=g, сила натяжения нити – ноль.

 

Задача 5. Определить силу натяжения нити в системе, изображенной на рисунке. Наклонная плоскость составляет угол \alpha с горизонтом, масса m известна. Массой блоков и нити пренебречь. Нить нерастяжима, трение не учитывать.

К задаче 5

Пусть левый груз сполз на расстояние x, а левый – на расстояние y вниз по плоскости. Тогда нить в центре удлинилась на x+y, каждая половинка – на \frac{x+y}{2}. Это значит, что груз m опустился на z=\frac{x+y}{2}. То есть можно утверждать, что

    \[a_1=\frac{a_2+a_3}{2}\]

Силы в задаче 5

Уравнение по второму закону для груза 2m:

    \[2ma_2=T\]

Уравнение по второму закону для груза 3m:

    \[3ma_3=T+3mg\sin \alpha\]

Уравнение по второму закону для груза m:

    \[ma_1= mg-2T\]

Тогда умножим на 2 первое уравнение и сложим его с третьим:

    \[4ma_2=2T\]

    \[4ma_2+ ma_1=mg\]

Или

    \[4a_2+ a_1=g\]

    \[a_1=g-4a_2\]

Но 2a_1=a_2+a_3,

    \[2g-8a_2=a_2+a_3\]

    \[a_3=2g-9a_2\]

Теперь умножим на 2 второе уравнение и сложим с третьим:

    \[6ma_3=2T+6mg\sin \alpha\]

    \[6ma_3+ma_1=mg+6mg\sin \alpha\]

    \[6a_3+a_1=g+6g\sin \alpha\]

    \[6(2g-9a_2)+ g-4a_2= g+6g\sin \alpha\]

    \[12g-54a_2-4a_2=6g\sin \alpha\]

    \[a_2=\frac{12g-6g\sin \alpha }{58}=\frac{6g-3g\sin \alpha }{29}\]

    \[a_3=2g-\frac{9(6g-3g\sin \alpha )}{29}=\frac{58g-9(6g+3g\sin \alpha) }{29}=\frac{4g+27g\sin \alpha }{29}\]

    \[a_1=g-\frac{4(6g-3g\sin \alpha )}{29}=\frac{5g+12g\sin \alpha }{29}\]

    \[T=2ma_2=\frac{12g-6g\sin \alpha }{29}\cdot m\]

Ответ: T=\frac{12g-6g\sin \alpha }{29}\cdot m

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *