Кинематические связи. Часть 12

Наконец-то мы добрались и до задач с блоками, грузами и связывающими их нитями. Тут тоже двинемся от простого к сложному.

Задача 1. Найти ускорения грузов. Известно, что $m_1=2$ кг, $m_2=1$ кг. Блоки невесомы, нити нерастяжимы, трения в осях нет.

К задаче 1

Из нерастяжимости нити следует, что $a_1=a_2=a$ . Второй закон Ньютона (2ЗН) для первого груза:

$m_1a=m_1g-T$

Второй закон Ньютона для второго груза:

$m_2a=T-m_2g$

Силы в задаче 1

Сложив уравнения, получим:

$a(m_1+m_2)=m_1g-m_2g$

$a=\frac{g(m_1-m_2}{ m_1+m_2}=\frac{g}{3}$

Ответ: $a=\frac{g}{3}$

Задача 2. Найти ускорения грузов. Известно, что $m_1=2$ кг, $m_2=3$ кг. Блоки невесомы, нити нерастяжимы, трения в осях нет.

К задаче 2

Если груз $m_1$ опустится на расстояние $2x$ , то груз $m_2$ поднимется на $x$ . Поэтому $a_1=2a_2$ . Составим второй закон для каждого груза:

$m_1a_1=m_1g-T$

$m_2a_2=2T-m_2g$

Силы в задаче 2

Перепишем:

$m_1\cdot 2a_2=m_1g-T$

$m_2a_2=2T-m_2g$

Умножим первое уравнение на 2:

$4m_1a_2=2m_1g-2T$

$m_2a_2=2T-m_2g$

И сложим уравнения:

$(4m_1+m_2)a_2=2m_1g-m_2g$

$a_2=\frac{2m_1g-m_2g }{4m_1+m_2}=\frac{g}{11}$

$a_1=2a_2=\frac{2g}{11}$

Ответ: $a_1=\frac{2g}{11}$ ; $a_2=\frac{g}{11}$ .

Задача 3. К оси легкого блока прикрепили груз массы $M$ , сам блок удерживается переброшенной через него нитью, один конец которой закреплен, а к другому концу привязан грузик массой $m$ . Этот малый груз сначала удерживают так, что нити вертикальны. Затем груз отпускают и система приходит в движение. Найдите ускорение блока.

К задаче 3

Если груз $m$ опустить на расстояние $x$ , то груз $M$ опустится на $\frac{x}{2}$ . Поэтому $a_1=a$ , $a_2=2a$ .

Составим второй закон для каждого груза:

$Ma=Mg-2T$

$2ma=mg+T$

Силы в задаче 3

Разделим уравнения друг на друга:

$\frac{M}{2m}=\frac{Mg-2T}{mg+T}$

Откуда

$M(mg+T)=2m(Mg-2T)$

$Mmg+MT=2Mmg-4mT$

Выразим силу натяжения:

$T(M+4m)=Mmg$

$T=\frac{ Mmg }{ M+4m }>0$

Следовательно, нить натянута. Если бы оказалось, что $T<0$ , это значило бы, что нить прослабла и грузы просто свободно падают, в этом случае их ускорения равны были бы $g$ .

Вернемся ко второму закону и перепишем, умножив второе уравнение на 2:

$Ma=Mg-2T$

$4ma=2mg+2T$

Теперь сложим уравнения:

$a(M+4m)=g(M+2m)$

$a=a_1=\frac{ g(M+2m)}{M+4m}<g$

$a_2=\frac{ 2g(M+2m)}{M+4m}$

Ответ: $a_1=\frac{ g(M+2m)}{M+4m}$ , $a_2=\frac{ 2g(M+2m)}{M+4m}$ .

Задача 4. К оси легкого блока прикрепили груз массы $m$ , через блок переброшена нить, один конец которой закреплен, а к другому концу привязан грузик массой $M$ . Груз вверху удерживают так, что нити вертикальны. Затем груз отпускают и система приходит в движение. Найдите ускорение блока. Чему равно натяжение нити до отпускания груза и во время движения?

К задаче 4

Если груз $m$ опустить на расстояние $x$ , то груз $M$ опустится на $2x$ . Поэтому $a_1=a$ , $a_2=2a$ .

Как видно, $T_1=2T$ .

Силы в задаче 4

Составим второй закон для каждого груза:

$ma=mg+T_1$

$2Ma=Mg-T$

Перепишем:

$ma=mg+2T$

$2Ma=Mg-T$

Разделим уравнения друг на друга:

$\frac{m}{2M}=\frac{mg+2T}{Mg-T}$

Откуда

$m(Mg-T)=2M(mg+2T)$

$Mmg-mT=2Mmg+4MT$

Выразим силу натяжения:

$T(-m-4M)=Mmg$

$T=\frac{ Mmg }{ - m -4M }<0$

Нить не натянута, грузы падают с ускорением $g$ . До того, как груз отпустили, $a=0$ , поэтому $T_1=mg$ , $T=Mg$ .

Ответ: До отпускания $T_1=mg$ , $T=Mg$ , после $a_1=a_2=g$ , сила натяжения нити – ноль.

Задача 5. Определить силу натяжения нити в системе, изображенной на рисунке. Наклонная плоскость составляет угол $\alpha$ с горизонтом, масса $m$ известна. Массой блоков и нити пренебречь. Нить нерастяжима, трение не учитывать.

К задаче 5

Пусть левый груз сполз на расстояние $x$ , а левый – на расстояние $y$ вниз по плоскости. Тогда нить в центре удлинилась на $x+y$ , каждая половинка – на $\frac{x+y}{2}$ . Это значит, что груз $m$ опустился на $z=\frac{x+y}{2}$ . То есть можно утверждать, что