Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 11

Исследуем движение без проскальзывания. Будем решать задачи, связанные с качением.

Задача 1. Период обращения некоторой планеты вокруг Солнца составляет T_0=88 земных суток, а вокруг своей оси – T=59 земных суток.  Какова продолжительность солнечных суток на этой планете? Направление вращения планеты вокруг оси и вокруг Солнца совпадают. Ответ записать в земных сутках, округлив до целых.

Планета и Солнце

Планета проходит за сутки угол \frac{360^{\circ}}{88}=4,09^{\circ} по траектории вокруг Солнца, а вокруг себя (относительно звезд) поворачивается на угол \frac{360^{\circ}}{59}=6,1^{\circ}. Так как направления обоих вращений совпадают, то относительно Солнца планета поворачивается за сутки на угол 6,1^{\circ}-4,09^{\circ}=2,01^{\circ}, поэтому, чтобы совершить оборот на  360^{\circ}, планете потребуется время \frac{360^{\circ}}{2,01^{\circ}}=179,034, то есть 179 суток.

Другое решение: перейдем в систему отсчета наблюдателя на данной планете.

Продолжительность дня будет определяться относительной угловой скоростью,

    \[\omega'=\omega_0-\omega\]

    \[\omega=\frac{2\pi}{T}\]

    \[\frac{2\pi}{T'}=\frac{2\pi}{T_0}-\frac{2\pi}{T}\]

    \[T'=\frac{T\cdot T_0}{T_0-T}=\frac{88\cdot 59}{88-59}=179\]

Ответ: 179 суток.

 

Задача 2. Трамвай движется со скоростью 14 м/с. Радиус трамвайного колеса равен r=70 см, а радиус реборды R=72 см. Определите модуль скорости нижней точки реборды относительно поверхности рельсов. Ответ выразите в м/с.

Колесо с ребордой

Нижняя точка колеса, касающаяся рельсов, имеет скорость ноль, то есть является мгновенным центром скоростей. Из подобия треугольников:

    \[\frac{\upsilon}{r}=\frac{u}{R-r}\]

    \[u=\frac{\upsilon(R-r)}{r}=\frac{14\cdot0,02}{0,7}=0,4\]

Ответ: 0,4 м/с

Задача 3. Нитку тянут со скоростью \upsilon_0=5 см/с параллельно поверхности горизонтального стола. Внутренний радиус катушки r=2 см, внешний – R=3 см. Катушка по столу и нитка по катушке не проскальзывают. Найдите угловую скорость катушки. С какой скоростью катушка движется по столу?

К задаче 3

Из рисунка видно, что

    \[\upsilon_0=\omega(R-r)\]

Катушка

Угловая скорость катушки относительно мгновенного центра скоростей (точки касания о стол) равна угловой скорости всех точек катушки относительно ее центра. Поэтому

    \[\omega=\frac{\upsilon_0}{R-r}=5\]

Тогда

    \[\upsilon=\omega R=15\]

Ответ: \omega=5 рад/с, \upsilon=15 см/с.

 

Задача 4. Две параллельные рейки движутся со скоростью \upsilon_1=3 м/с и \upsilon_2=2 м/с относительно неподвижного наблюдателя. Между рейками зажат диск радиуса 10 см, который не скользит относительно них. Какова угловая скорость вращения диска? С какой скоростью диск движется поступательно относительно неподвижного наблюдателя?

К задаче 4

Переходим в систему отсчета, в которой нижняя рейка неподвижна. Тогда верхняя будет двигаться со скоростью \upsilon_1-\upsilon_2. Следовательно, центр колеса будет иметь скорость, в два раза меньшую, так как расположен в 2 раза ближе к мгновенному центру скоростей: \upsilon=\frac{\upsilon_1-\upsilon_2}{2}=0,5 м/с. Но не забудем перейти обратно в систему отсчета неподвижного наблюдателя! В ней скорость центра будет \upsilon+\upsilon_2=2,5 м/с.

Рейки

Угловая скорость не меняется при переходе из ИСО в ИСО, поэтому

    \[\omega=\frac{\upsilon_1-\upsilon_2}{2r}=5\]

Ответ: \omega=5 рад/с, скорость центра колеса 2,5 м/с.

Задача 5. По прямолинейному участку AB железной дороги движется поезд со скоростью u=10 м/с. Автомобиль движется со скоростью \upsilon=6 м/с по дороге в виде дуги окружности радиусом R. Расстояние от центра окружности до железной дороги OE=1,5R.

К задаче 5

В некоторый момент времени поезд оказался в точке Е, а автомобиль в точке D. Найдите в этот момент скорость поезда в системе отсчета, связанной с автомобилем. Ответ выразить в м/с, округлив до целых. Размеры поезда и автомобиля малы по сравнению с R.

Если представить автомобиль установленным на вращающемся диске, то скорость точки диска E больше скорости автомобиля в 1,5 раза – так как расстояние OE=1,5OD. Скорость точки E равна 9 м/с, значит, относительная скорость поезда 10-9=1 м/с. Законом сложения скоростей здесь пользоваться нельзя (автомобиль движется по окружности, значит, у него есть ускорение).

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *