Кинематические связи. Часть 10.

Исследуем движение без проскальзывания. Будем решать задачи, связанные с качением.

Задача 1. Горизонтальную платформу перемещают с помощью круглых катков. На сколько переместится каждый каток, когда платформа переместится на 10 см?

К задаче 1

Если скорость колеса $\upsilon$ , то скорость его верхней точки, там, где происходит контакт с платформой, равна $2\upsilon$ . Но тогда скорость платформы тоже $2\upsilon$ . Поэтому, если платформа переместится на 10 см, катки – на 5.

Ответ: 5 см.

Задача 2. Катушка, зажатая между двумя параллельными досками, движущимися со скоростями $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ , катится по ним без проскальзывания. Найдите угловую скорость катушки и скорость ее центра. Внутренний радиус катушки $r$ , внешний $R$ .

К задаче 2

Перейдем в ИСО, движущуюся со скоростью нижней доски. В этой ИСО нижняя доска неподвижна, а верхняя имеет скорость $\vec{u}=\vec{\upsilon_1}-\vec{\upsilon_2}$ .

Точка $A$ будет мгновенным центром скоростей.

кинем_св44_1

Точка $C$ будет иметь скорость

$\upsilon_{C_{otn}}=\omega R$

Скорость точки $B$

$\upsilon_{B_{otn}}=u=\omega(R+r)$

Таким образом,

$\omega=\frac{ u}{ R+r }$

$\upsilon_{C_{otn}}=\frac{ u R}{ R+r }=\frac{ R}{ R+r }(\upsilon_1-\upsilon_2)$

Не забудем вернуться в лабораторную систему отсчета:

$\upsilon_C=\upsilon_{C_{otn}}+\upsilon_2$

$\upsilon_C=\frac{ R}{ R+r }(\upsilon_1-\upsilon_2)+\upsilon_2$

Задача 3. Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью $\upsilon$ под углом к горизонту. Катушка катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах $\alpha$ ось движется вправо? Влево? Нить так длинна, что угол не меняется при движении.

К задаче 3

Перейдем в ИСО центра катушки.

Скорость $\upsilon$ является суммой относительной скорости и скорости центра:

К задаче 3

$\vec{\upsilon}=\vec{\upsilon_{otn}}+\vec{\upsilon_C}$

В силу нерастяжимости нити

$\upsilon_{otn_x}=\upsilon_{B_x}$

$\upsilon_{otn_x}=\omega r$

$\vec{\upsilon_{otn}}=\vec{\upsilon}-\vec{\upsilon_C}$

$\upsilon_x-\upsilon_{Cx}=\omega r$

$-\upsilon+\upsilon_C\cos\alpha=\omega r$

Условие отсутствия проскальзывания

$\upsilon_C=\omega R$

$-\upsilon+\omega R\cos\alpha=\omega r$

$\omega=\frac{\upsilon }{ R\cos\alpha - r}$

$\upsilon_C=\frac{\upsilon R}{ R\cos\alpha - r}$

Получаем, что, если $R\cos\alpha>r$ , то ось движется вправо, а если $R\cos\alpha<r$ , то влево.

Задача 4. Кривошип $OA$ , вращаясь с угловой скоростью $\omega$ , приводит в движение колесо радиуса $r$ , катящееся по неподвижному колесу радиуса $3r$ . Найдите скорость точки $B$ .

К задаче 4

Если проскальзывания нет, то скорость точки $D$ равна нулю. Скорость точки $A$

$\upsilon_A=\omega_2\cdot r$

Точка $D$ – мгновенный центр скоростей для малого колеса. $\omega_2$ – угловая скорость малого колеса.

$\upsilon_A=\omega\cdot 4r$

$\omega_2=4\omega$

$\upsilon_B=\omega_2\cdot 2r=8\omega\cdot r$

Ответ: $\upsilon_B=8\omega\cdot r$ .

Задача 5. Вагон А движется по закруглению радиуса $OA=R$ , а вагон В – прямолинейно. Расстояние $AB=R$ , скорость каждого вагона равна $\upsilon$ . Найдите скорость вагона А относительно вагона В, и скорость вагона В относительно вагона А.

К задаче 5

$\vec{\upsilon_B}=\vec{\upsilon_{B_{otn}}}+\vec{\upsilon_{per}}$

Нам нужно найти значение переносной скорости $\vec{\upsilon_{per}}$ для точки В.

Возьмем мысленно диск, вращающийся со скоростью $\omega=\frac{\upsilon}{R}$ , и поставим на него вагон А. В точке, где находился бы вагон B, скорость точек диска равна уже $\omega\cdot 2R$ . Это переносная скорость.