Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 10.

Исследуем движение без проскальзывания. Будем решать задачи, связанные с качением.

Задача 1. Горизонтальную платформу перемещают с помощью круглых катков. На сколько переместится каждый каток, когда платформа переместится на 10 см?

К задаче 1

Если скорость колеса \upsilon, то скорость его верхней точки, там, где происходит контакт с платформой, равна 2\upsilon. Но тогда скорость платформы тоже 2\upsilon. Поэтому, если платформа переместится на 10 см, катки – на 5.

Ответ: 5 см.

 

Задача 2. Катушка, зажатая между двумя параллельными досками, движущимися со скоростями \upsilon_1 и \upsilon_2, катится по ним без проскальзывания. Найдите угловую скорость катушки и скорость ее центра. Внутренний радиус катушки r, внешний R.

К задаче 2

Перейдем в ИСО, движущуюся со скоростью нижней доски. В этой ИСО нижняя доска неподвижна, а верхняя имеет скорость \vec{u}=\vec{\upsilon_1}-\vec{\upsilon_2}.

Точка A будет мгновенным центром скоростей.

 

Точка C будет иметь скорость

    \[\upsilon_{C_{otn}}=\omega R\]

Скорость точки B

    \[\upsilon_{B_{otn}}=u=\omega(R+r)\]

Таким образом,

    \[\omega=\frac{ u}{ R+r }\]

    \[\upsilon_{C_{otn}}=\frac{ u R}{ R+r }=\frac{ R}{ R+r }(\upsilon_1-\upsilon_2)\]

Не забудем вернуться в лабораторную систему отсчета:

    \[\upsilon_C=\upsilon_{C_{otn}}+\upsilon_2\]

    \[\upsilon_C=\frac{ R}{ R+r }(\upsilon_1-\upsilon_2)+\upsilon_2\]

Задача 3. Нить, намотанную на ось катушки, тянут  со скоростью \upsilon под углом к горизонту. Катушка катится по горизонтальной поверхности без проскальзывания. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах \alpha ось движется вправо? Влево? Нить так длинна, что угол не меняется при движении.

К задаче 3

Перейдем в ИСО центра катушки.

Скорость \upsilon является суммой относительной скорости и скорости центра:

К задаче 3

    \[\vec{\upsilon}=\vec{\upsilon_{otn}}+\vec{\upsilon_C}\]

В силу нерастяжимости нити

    \[\upsilon_{otn_x}=\upsilon_{B_x}\]

    \[\upsilon_{otn_x}=\omega r\]

    \[\vec{\upsilon_{otn}}=\vec{\upsilon}-\vec{\upsilon_C}\]

    \[\upsilon_x-\upsilon_{Cx}=\omega r\]

    \[-\upsilon+\upsilon_C\cos\alpha=\omega r\]

Условие отсутствия проскальзывания

    \[\upsilon_C=\omega R\]

    \[-\upsilon+\omega R\cos\alpha=\omega r\]

    \[\omega=\frac{\upsilon }{ R\cos\alpha - r}\]

    \[\upsilon_C=\frac{\upsilon R}{ R\cos\alpha - r}\]

Получаем, что, если R\cos\alpha>r, то ось движется вправо, а если R\cos\alpha<r, то влево.

 

Задача 4. Кривошип OA, вращаясь с угловой скоростью \omega, приводит в движение колесо радиуса r, катящееся по неподвижному колесу радиуса 3r. Найдите скорость точки B.

К задаче 4

Если проскальзывания нет, то скорость точки D равна нулю. Скорость точки A

    \[\upsilon_A=\omega_2\cdot r\]

Точка D – мгновенный центр скоростей для малого колеса. \omega_2 – угловая скорость малого колеса.

    \[\upsilon_A=\omega\cdot 4r\]

    \[\omega_2=4\omega\]

    \[\upsilon_B=\omega_2\cdot 2r=8\omega\cdot r\]

Ответ: \upsilon_B=8\omega\cdot r.

Задача 5. Вагон А движется по закруглению радиуса OA=R, а вагон В – прямолинейно. Расстояние AB=R, скорость каждого вагона равна \upsilon. Найдите скорость вагона А относительно вагона В, и скорость вагона В относительно вагона А.

К задаче 5

    \[\vec{\upsilon_B}=\vec{\upsilon_{B_{otn}}}+\vec{\upsilon_{per}}\]

Нам нужно найти значение переносной скорости \vec{\upsilon_{per}} для точки В.

Возьмем мысленно диск, вращающийся со скоростью \omega=\frac{\upsilon}{R}, и поставим на него вагон А. В точке, где находился бы вагон B, скорость точек диска равна уже \omega\cdot 2R. Это переносная скорость.

    \[\upsilon_{per}=\omega\cdot 2R=2\upsilon\]

Тогда

    \[\upsilon=\upsilon_{B_{otn}}+2\upsilon\]

    \[\upsilon_{B_{otn}}=-\upsilon\]

    \[\vec{\upsilon_A}=\vec{\upsilon_{A_{otn}}}+\vec{\upsilon_{per}}\]

    \[\upsilon=\vec{\upsilon_{A_{otn}}}+\upsilon\]

    \[\vec{\upsilon_{A_{otn}}}=\vec{0}\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *