Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. Часть 1

Стартовые задачи по кинематическим связям. Закон палочки.

Задача 1.  Скорость точки А твердого тела равна \upsilon и образует угол в 45^{\circ} с направлением прямой АВ. Скорость точки В этого тела равна u. Определить проекцию скорости точки В на направление АВ.

К задаче 1

Так как длина палочки (в данном случае – расстояние между точками A и B) – величина неизменная, то понятно, что точка А не может приближаться к точке В или удаляться от нее. То есть проекции скоростей точек на направление АВ одинаковы – это и есть закон палочки.

    \[AB=const\]

Искомая проекция:

    \[\upsilon\cos \alpha=u\cos\beta\]

Можно найти и угол через его тригонометрическую функцию:

    \[\cos\beta=\frac{\upsilon\cos \alpha }{u}\]

Ответ:  проекция скорости точки В на направление АВ равна \upsilon\cos \alpha.

 

Задача 2. Скорости точек А и В твердого тела равны \upsilon. Скорость точки С, находящейся в плоскости прямой АВ и вектора \upsilon, равна u, u>\upsilon.  Найдите проекцию скорости точки С на ось, перпендикулярную указанной плоскости.

К задаче 2

Проекция скорости точки С  на направление, параллельное \upsilon, равно u_{\parallel}=\upsilon.Проекция скорости на перпендикулярное данному направление равна

    \[u_{\perp}=\sqrt{u^2- u_{\parallel}^2}\]

    \[u_{\perp}=\sqrt{u^2- \upsilon^2}\]

Ответ: u_{\perp}=\sqrt{u^2- \upsilon^2}

 

Задача 3. Веревку, привязанную к лодке, тянут за свободный конец таким образом, чтобы она не провисала. Лодка движется с постоянной скоростью \upsilon, образующей в некоторый момент времени угол \alpha с отрезком веревки, находящимся между столбом и лодкой. С какой скоростью нужно тянуть в этот момент времени свободный конец веревки?

К задаче 3

Если веревка не провисает, то

    \[u=\upsilon\cos\alpha\]

И так как все точки веревки обладают одной и той же скоростью, то тянуть веревку надо именно со скоростью u.

Ответ: u=\upsilon\cos\alpha

 

Задача 4. Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец стержня поднимают со скоростью \upsilon. Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца.  Длина стержня L. По какой траектории движется центр стержня? За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец стержня находится в вершине угла.

К задаче 4

Координата верхнего конца может быть найдена как

    \[y=\upsilon t\]

Проекции скоростей обоих концов на направление стержня равны:

    \[\upsilon \cos\alpha=u\cos(90^{\circ}-\alpha)\]

    \[\upsilon \cos\alpha=u\sin\alpha\]

    \[u=\upsilon \operatorname{ctg}\alpha=\upsilon\frac{y}{x}\]

По теореме Пифагора

    \[x^2+y^2=L^2\]

    \[x=\sqrt{L^2-y^2}=\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}\]

Так как скорость u направлена против оси x, то

    \[x'=-u\]

    \[u=-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (-\upsilon^2)}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}\]

    \[u=\frac{t\cdot \upsilon^2}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}\]

 

Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке О.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *