Кинематические связи. Часть 1

[latexpage]

Стартовые задачи по кинематическим связям. Закон палочки.

Задача 1.  Скорость точки А твердого тела равна $\upsilon$ и образует угол в $45^{\circ}$ с направлением прямой АВ. Скорость точки В этого тела равна $u$. Определить проекцию скорости точки В на направление АВ.

К задаче 1

Так как длина палочки (в данном случае – расстояние между точками A и B) – величина неизменная, то понятно, что точка А не может приближаться к точке В или удаляться от нее. То есть проекции скоростей точек на направление АВ одинаковы – это и есть закон палочки.

$$AB=const$$

Искомая проекция:

$$\upsilon\cos \alpha=u\cos\beta$$

Можно найти и угол через его тригонометрическую функцию:

$$\cos\beta=\frac{\upsilon\cos \alpha }{u}$$

Ответ:  проекция скорости точки В на направление АВ равна $\upsilon\cos \alpha$.

Задача 2. Скорости точек А и В твердого тела равны $\upsilon$. Скорость точки С, находящейся в плоскости прямой АВ и вектора $\upsilon$, равна $u$, $u>\upsilon$.  Найдите проекцию скорости точки С на ось, перпендикулярную указанной плоскости.

К задаче 2

Проекция скорости точки С  на направление, параллельное $\upsilon$, равно $u_{\parallel}=\upsilon$.Проекция скорости на перпендикулярное данному направление равна

$$u_{\perp}=\sqrt{u^2- u_{\parallel}^2}$$

$$u_{\perp}=\sqrt{u^2- \upsilon^2}$$

Ответ: $u_{\perp}=\sqrt{u^2- \upsilon^2}$

Задача 3. Веревку, привязанную к лодке, тянут за свободный конец таким образом, чтобы она не провисала. Лодка движется с постоянной скоростью $\upsilon$, образующей в некоторый момент времени угол $\alpha$ с отрезком веревки, находящимся между столбом и лодкой. С какой скоростью нужно тянуть в этот момент времени свободный конец веревки?

К задаче 3

Если веревка не провисает, то

$$u=\upsilon\cos\alpha$$

И так как все точки веревки обладают одной и той же скоростью, то тянуть веревку надо именно со скоростью $u$.

Ответ: $u=\upsilon\cos\alpha$

Задача 4. Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец стержня поднимают со скоростью $\upsilon$. Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца.  Длина стержня $L$. По какой траектории движется центр стержня? За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец стержня находится в вершине угла.

К задаче 4

Координата верхнего конца может быть найдена как

$$y=\upsilon t$$

Проекции скоростей обоих концов на направление стержня равны:

$$\upsilon \cos\alpha=u\cos(90^{\circ}-\alpha)$$

$$\upsilon \cos\alpha=u\sin\alpha$$

$$u=\upsilon \operatorname{ctg}\alpha=\upsilon\frac{y}{x}$$

По теореме Пифагора

$$x^2+y^2=L^2$$

$$x=\sqrt{L^2-y^2}=\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}$$

Так как скорость $u$ направлена против оси $x$, то

$$x’=-u$$

$$u=-\frac{\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot (-\upsilon^2)}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$

$$u=\frac{t\cdot \upsilon^2}{\sqrt{L^2-\upsilon^2t^2}}$$

Если соединить центр стержня с вершиной прямого угла, то этот отрезок будет медианой прямоугольного треугольника и равен будет половине длины гипотенузы. Получается, что центр стержня движется по окружности с центром в точке О.