Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Кинематические связи

Кинематические связи. 9 класс

Давайте начнем погружение в разнообразную тему “Кинематические связи” с не очень сложных задач, предложенных в этой статье. Должно последовать продолжение, где я предложу еще целую большую подборку задач на эту тему.

Задача 1. Сила сопротивления воздуха, действующая на велосипедиста, пропорциональна квадрату скорости велосипедиста f=\alpha\cdot \upsilon^2. На горизонтальной дороге наибольшая скорость велосипедиста составляет примерно 20 м/с. Оцените коэффициент пропорциональности \alpha, если масса велосипедиста вместе с велосипедом 70 кг, а коэффициент трения между колесами и дорогой 0,4. Ответ выразите в кг/м, округлите до десятых. Ускорение свободного падения g=10 м/c^{2}.

Решение.

При равномерном движении по горизонтальной поверхности на велосипедиста действуют две  силы: сила трения покоя и сила сопротивления воздуха.

Так как скорость велосипедиста максимальна, то сила трения достигает своего максимального значения: \mu m g. Тогда

\alpha \upsilon^2=\mu m g,

откуда

\alpha=\frac{\mu m g}{\upsilon^2}=0,7 кг/м.

Ответ: 0,7 кг/м.

 

Задача 2. Плывущая по реке с постоянной скоростью баржа тянет под водой на тросах два шарообразных контейнера одинакового размера, но разного веса. Угол отклонения первого троса по вертикали 45^\circ, а второго 30^\circ. Когда скорость баржи уменьшилась, угол отклонения первого троса составил 30^\circ. Каков стал угол отклонения от вертикали второго троса? Ответ дать в градусах. Округлить до целых.

К задаче 2

Решение.

Запишем условие равенства сил, действующих на контейнер. Так мы сможем  получить выражение для величины силы сопротивления. Сила сопротивления направлена горизонтально, а сила тяжести – вертикально, поэтому они образуют прямоугольный треугольник и связаны соотношением:

F=mg\operatorname{tg}{\alpha}.

Сила сопротивления для контейнеров одинакова, ведь форма у них одна и та же и движение их осуществляется с одной и той же скоростью. Поэтому

m_1 g \operatorname{tg}{\alpha_1}=m_2 g \operatorname{tg}{\alpha_2.

Если баржа изменит скорость, то изменятся величины углов, они станут меньше:

m_1 g \operatorname{tg}{\varphi_1}=m_2 g \operatorname{tg}{\varphi_2.

Таким образом \operatorname{tg}{\varphi_2=\operatorname{tg}{\varphi_1}\cdot \frac{\operatorname{tg}{\alpha_2}}{\operatorname{tg}{\alpha_1}}.

Подставим условия \varphi_1=\alpha_2=30^\circ,~\alpha_1=45^\circ.

Поэтому искомый угол равен \varphi_2=\operatorname{arctg}{\frac{1}{3}}=18,40.

Ответ: 18^\circ.

 

Задача 3. Найдите ускорение груза массой m_1=1 кг после перерезания верхней левой нити. Нити и блок считать идеальными, m_2=6 кг. g=10 м/c^{2}. Ответ дать в м/c^{2}.

К задаче 3

 

Решение.

Выберем положительное направление оси вертикально вниз и запишем второй закон Ньютона для обоих тел:

T+m_1g=m_1a_1

m_2g- 2T=m_2a_2.

Нити и блок невесомы, поэтому не вошли в уравнения пока никак.

Для нахождения кинематической связи между a_1 и a_2 применим метод виртуальных перемещений. Длина нити может быть записана L=x_2+\pi R+(x_2-x_1), где x_1 — координата груза массой m_1, x_2— координата центра блока, R — его радиус. Длина нити при движении грузов не изменяется – нить нерастяжима. Тогда для перемещений грузов получим соотношение 2\Delta x_2-\Delta x_1=0, откуда 2\upsilon_2-\upsilon_1=0, 2a_2-a_1=0. Решая  систему уравнений, находим

    \[a_1=\frac{2g(2m_1+m_2)}{4m_1+m_2}=16.\]

Ответ: 16 м/c^{2}.

Задача 4. Четыре одинаковых брусочка, связанные нитями, движутся друг за другом поступательно с постоянным ускорением по гладкой горизонтальной поверхности под действием силы, приложенной к первому бруску. Найдите отношение сил натяжения первой и последней нити. Нити невесомы и идеальны.

К задаче 4

 

Решение.

Запишем 2 закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось для трех последних брусочков (они будут у нас пока одним единым телом) 3ma=T_1, T_1 – сила натяжения первой нити; и для последнего бруска ma=T_2. Искомое отношение сил натяжения нитей  – 3.

Ответ: 3.

Задача 5. Найдите ускорение призмы массой m_1=1 кг, находящейся на кубе массой m_2=3 кг. Угол \alpha=30^{\circ}. Трением пренебречь. g=10 м/c^{2}. Ответ дать в м/c^{2}.

К задаче 5

Решение.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела (в проекции на направление, совпадающее с соответствующим ускорением). Тогда для призмы получим:

m_1 g-N\sin\alpha=m_1a_1,

а для куба N\cos\alpha=m_2a_2.

По третьему закону Ньютона N_{12}=N_{21}=N.

У нас есть два уравнения, и  три неизвестных. Значит, необходимо еще одно уравнение. Куб и призма соприкасаются, скольжения при их движении нет, поэтому проекции ускорений на ось, перпендикулярную плоскости контакта, должны быть равны – это так называемое “правило палочки”,  – откуда:

a_2=a_1\operatorname{tg}{\alpha}.

Решая систему, находим

    \[a_1=g\frac{m_1}{m_1+m_2\operatorname{tg}^2{\alpha}}=5.\]

Ответ: 5 м/c^{2}

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *