Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Относительность движения

Катера и лодочники

Сегодняшняя статья посвящена двум задачам на относительность движения. Первая задача оказалась довольно простой, но вторая значительно сложнее. Предлагаю вам их решение.

Задача 1. Два лодочника должны переплыть реку из пункта А в пункт В. Один из них направляет лодку по прямой АВ и, достигнув противоположного берега, оказывается в пункте С. Для того, чтобы попасть в пункт В он движется против течения от пункта С к пункту В. Второй лодочник направляет лодку так, что сразу, достигнув противоположного берега, оказывается в точке В. Кто из них попадет в пункт В быстрее и во сколько раз? Скорость лодки относительно воды в обоих случаях одинакова и равна 5,2 м/с, скорость течения реки равна 1,2 м/с.

Решение.

К задаче 1

Первого лодочника река сносит, поэтому он и оказывается в пункте С. Если он направляет лодку перпендикулярно руслу, то в пункте С он окажется через время

    \[t_1=\frac{H}{\upsilon}\]

Где Н – ширина русла, \upsilon – скорость лодки.

Тогда расстояние ВС равно

    \[BC=u \cdot t_1 =\frac{uH}{\upsilon}\]

Из пункта С в пункт В лодочник будет плыть со скоростью \upsilon-u – против течения. Поэтому время, нужное ему на этот отрезок, равно

    \[t_2=\frac{BC}{\upsilon-u }=\frac{uH}{\upsilon(\upsilon-u )}\]

Общее время первого лодочника в пути равно

    \[t_1+t_2=\frac{H}{\upsilon}+\frac{uH}{\upsilon(\upsilon-u )}= \frac{H}{\upsilon}\left(1+\frac{u}{\upsilon-u }\right)= \frac{H}{\upsilon}\cdot\frac{\upsilon}{\upsilon-u }=\frac{H}{\upsilon-u }\]

Теперь второй лодочник. Он правит слегка против течения, так, что горизонтальная составляющая его скорости полностью компенсирует снос рекой и равна u. Тогда вертикальная составляющая, перпендикулярная руслу, будет равна

    \[\upsilon_{2perp}=\sqrt{\upsilon^2-u^2}\]

И время его движения равно

    \[t_3=\frac{H}{\sqrt{\upsilon^2-u^2}}\]

Определим отношение времен, чтобы определить, кто из лодочников доберется быстрее:

    \[\frac{t_1+t_2}{t_3}=\frac{H}{\upsilon-u }\cdot\frac{\sqrt{\upsilon^2-u^2}}{H}=\sqrt{\frac{\upsilon+u }{\upsilon-u }}=\sqrt{\frac{6,4}{4}}=1,26\]

Ответ: второй доберется быстрее в 1,26 раза.

Задача 2. Два катера вышли одновременно из пунктов А и В, находящихся на противоположных берегах реки, и двигались по прямой АВ, длина которой l=1 км. Прямая АВ образует угол \alpha=60^{\circ} с направлением скорости течения, которая равна u=2 м/с. Скорости движения катеров относительно воды одинаковы. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча катеров, если они встретились через t=3 минуты после отхода от причалов?

Сделаем и рассмотрим картинку.

К задаче 2

Лодочники должны направлять катера так, чтобы после сноса течением оказываться на линии АВ:

К задаче 2 – векторы скоростей

Их скорости относительно воды одинаковы и равны x, их обоих сносит одно и то же течение, и их фактические скорости движения вдоль прямой АВ оказываются равными \upsilon_1 и \upsilon_2.

Рассмотрим треугольник KBT. В нем можно записать теорему синусов:

    \[\frac{u}{\sin \beta}=\frac{x}{\sin 120^{\circ}}\]

Теперь запишем теорему синусов для треугольника AKT:

    \[\frac{u}{\sin \alpha}=\frac{x}{\sin 60^{\circ}}\]

Но синусы 60^{\circ} и 120^{\circ} равны, следовательно,

    \[\frac{u}{\sin \beta}=\frac{u}{\sin \alpha}\]

То есть равны углы \alpha и \beta!

Пусть теперь AG – проекция скорости первого лодочника на горизонталь, а HB – проекция скорости второго. Тогда они преодолевают горизонтальную проекцию расстояния АВ вместе за три минуты, или можно записать:

    \[\frac{l}{2}=(AG+HB)t=(x\cos(60^{\circ}-\beta)+ x\cos(60^{\circ}+\beta))t\]

Раскрываем косинусы сумм-разностей:

    \[\frac{l}{2t}=2x\cos60^{\circ}\cos \beta\]

Или, упрощая,

    \[\frac{l}{2t}=x\cos \beta\]

Откуда

    \[x=\frac{l}{2t\cdot \cos \beta }\]

Подставим это в уравнение по теореме синусов для треугольника KBT:

    \[\frac{u}{\sin \beta}=\frac{l}{2t\cdot \cos \beta \sin 120^{\circ}}\]

Тогда

    \[\operatorname {ctg}\beta= \frac{l}{2ut\cdot \sin 120^{\circ}}= \frac{1000}{2\cdot 2\cdot 180\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1000}{360\sqrt{3}}=1,6\]

    \[\beta=32^{\circ}\]

Тогда можно найти скорости катеров относительно воды:

    \[x=\frac{u\sin 120^{\circ}}{\sin \beta}=3,27\]

Снова составляем теорему синусов для треугольника AKT с тем, чтобы определить скорость \upsilon_1 первого катера вдоль прямой АВ (недостающий угол определили по сумме углов треугольника):

    \[\frac{\upsilon_1}{\sin 88^{\circ}}=\frac{x}{\sin 60^{\circ}}\]

Откуда \upsilon_1=3,77 м/с.

Теперь опять понадобится теорема синусов для треугольника KBT, снова угол нашли по теореме о сумме углов:

    \[\frac{\upsilon_2}{\sin 28^{\circ}}=\frac{x}{\sin 120^{\circ}}\]

Откуда \upsilon_2=1,77 м/с.

Следовательно, катера встретятся на расстоянии S=\upsilon_2 t=1,77\cdot 180=320 м от пункта В.

Ответ: 320 м.

Один комментарий

  • Виктор
    |

    Анна Валерьевна! В первой задаче нужно внести два исправления: во второй формуле у t нужно добавить индекс 1, а в ответе вместо слова “быстрее” слово “медленнее”.

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *