Изопроцессы. Текстовые задачи

Изо- – значит, неизменный, равный. Изопроцесс – это такой процесс, который производят с газом либо при неизменной температуре, либо при неизменном давлении, либо при неизменном объеме. При этом газ подчиняется уравнению состояния идеального газа, которое превращается в каждом процессе либо в закон Бойля-Мариотта, либо в закон Гей-Люссака, либо в закон Шарля, в зависимости от того, какая величина сохраняет свое значение.

Задача 1. Во сколько раз изменится давление газа в цилиндре, если его объем уменьшить, продвинув поршень на $\frac{1}{3}$ высоты цилиндра? Температура газа не меняется.

Так как температура неизменна, то запишем закон Бойля-Мариотта:

$p_1V_1=p_2V_2$

Объем газа уменьшился:

$V_2=V_1-\frac{1}{3}V_1=\frac{2}{3}V_1$

Тогда:

$\frac{p_1}{p_2}=\frac{V_2}{V_1}$

$\frac{p_1}{p_2}=\frac{\frac{2}{3}V_1}{V_1}=\frac{2}{3}$

Тогда $\frac{p_2}{p_1}=\frac{3}{2}=1,5$

Ответ: давление возрастет в 1,5 раза.

Задача 2. Идеальный газ расширяют изотермически так, что объем газа изменяется в $n=1,4$ раза, а давление – на $\Delta p=2$ атм. Найти начальное давление газа.

Так как температура не меняется, то запишем закон Бойля-Мариотта:

$p_1V_1=p_2V_2$

Объем газа увеличивается:

$V_2=nV_1$

Если объем увеличивается, то давление, очевидно, падает:

$p_2=p_1-\Delta p$

Тогда

$p_1V_1= (p_1-\Delta p )nV_1$

$p_1= (p_1-\Delta p)n$

$p_1-np_1=-n\Delta p$

$p_1(1-n)=-n\Delta p$

$p_1(n-1)=n\Delta p$

$p_1=\frac {n\Delta p}{n-1}$

Подставим числа:

$p_1=\frac {1,4\cdot 2 \cdot 10^5}{0,4} =7 \cdot 10^5$

Ответ: 7 атм.

Задача 3. Выходное отверстие велосипедного насоса диаметром $d=4$ мм зажато пальцем. Найти силу давления воздуха на палец в тот момент, когда поршень, сжимая воздух, не доходит до конца насоса на 2 см. Длина насоса 42 см. Процесс считать изотермическим.

Так как температура не меняется, то запишем закон Бойля-Мариотта:

$p_1V_1=p_2V_2$

Объем газа уменьшается:

$V_1=S\cdot l_1$

$V_2=S\cdot l_2$

$S=\frac{\pi d^2}{4}$

И закон можно переписать:

$p_1 S\cdot l_1=p_2 S\cdot l_2$

$p_1 \cdot l_1=p_2 \cdot l_2$

$p_2=\frac{p_1 \cdot l_1}{ l_2}$

Сила давления воздуха на палец равна:

$F=p_2S=\frac{p_1 \cdot l_1}{ l_2}S=\frac{p_1 \cdot l_1\pi d^2}{ 4l_2}$

Подставляем числа, учитывая, что сначала давление воздуха в насосе равно атмосферному:

$F=\frac{10^5 \cdot 0,42\pi (0,04)^2}{ 4\cdot0,02}=26,4$

Ответ: 26б4 Н

Задача 4. При давлении $p=2 \cdot 10^6$ Па идеальный газ занимает объем $V=5$ л. В результате изотермического расширения его объем увеличился на $\Delta V=1$ л, а концентрация молекул стала равной $n=3,62 \cdot 10^{26}$ м $^{-3}$ , При какой температуре протекал этот процесс?

$p_1V_1=p_2V_2$

$p_2=\frac{ p_1V_1}{ V_2}$

Объем газа увеличивается:

$V_2=V_1+\Delta V$

$p_2=\frac{ p_1V_1}{ V_1+\Delta V }$

Согласно уравнению состояния идеального газа $p=nkT$ можем записать:

$p_2=nkT$

$\frac{ p_1V_1}{ V_1+\Delta V }=nkT$

$T=\frac{ p_1V_1}{ nk(V_1+\Delta V) }$

Подставим числа:

$T=\frac{ 2\cdot 10^6 \cdot5\cdot 10^{-3}}{ 3,62\cdot10^26\cdot1,38 \cdot10^{-23}\cdot 5\cdot 10^{-3}}=333,6^{\circ}$

Или, выражая в градусах Цельсия, $t=333,6^{\circ}-273^{\circ}=60,6^{\circ}$ C.

Ответ: $60^{\circ}$ C.

Задача 5. Электрическая лампа наполнена азотом при давлении $p_1=600$ мм.рт.ст. Объем лампы 500 см $^3$ . Какая масса воды войдет в лампу, если у нее отломить кончик под водой при давлении $p_2=760$ мм.рт.ст.?

По закону Бойля-Мариотта

$p_1V_1=p_2V_2$

Так как давление снаружи больше, то очевидно, что газ будет сжат, когда сосуд станет сообщаться с внешней средой:

$V_2=V_1-\Delta V$

Разница в объемах газа

$\Delta V =V_1-V_2$

Объем $V_2$ :

$V_2=\frac{ p_1V_1}{p_2}$

Тогда

$\Delta V =V_1-\frac{ p_1V_1}{p_2}$

Масса воды такого объема:

$m=\rho \Delta V=\rho V_1\left(1-\frac{ p_1}{p_2}\right)$

$m=10^3\cdot 500 \cdot 10^{-6}\left(1-\frac{600}{760}\right)=0,105$

Здесь я позволила себе не переводить давление в Па из мм.рт.ст., понимая, что отношение все равно останется таким же. Тем не менее, так лучше не делать в классе или на экзамене: не давайте повода придраться к себе.

Ответ: 105 г

Задача 6. Газ в трубе плавильной печи охлаждается от температуры $t_1=1150^{\circ}$ С до $t_2=200^{\circ}$ С. Во сколько раз увеличивается плотность газа при этом? Давление газа не меняется.

По закону Гей-Люссака

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

Или

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1}{T_2}$

Перейдем к абсолютной температуре:

$T_1=t_1+273=1423$

$T_2=t_2+273=473$

Масса газа: $m=\rho_1 V_1=\rho_2 V_2$ , откуда

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}$

То есть

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}=3$

Ответ: плотность вырастет в три раза.

Задача 7. Температура воздуха в горизонтальном цилиндре с поршнем $t_1=7^{\circ}$ С. На какое расстояние переместится поршень при нагревании воздуха на $\Delta T=20$ К, если вначале он находился на расстоянии $l=14$ см от торца цилиндра?

Так как в данном процессе объем изменяется, делаем вывод, что давление газа постоянно. Тогда по закону Гей-Люссака

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

Или, если записать объем через площадь сечения и высоту цилиндра, то

$\frac{Sl}{T_1}=\frac{S(l+\Delta l)}{T_2}$

$\frac{l}{T_1}=\frac{(l+\Delta l)}{T_2}$

$l+\Delta l=\frac{lT_2}{T_1}$

$\Delta l=\frac{lT_2}{T_1}-l=\frac{(T_2-T_1)l}{T_1}=\frac{l \Delta T}{T_1}$

$\Delta l=\frac{0,14\cdot 20}{7+273}=0,01$

Ответ: поршень сдвинется на 1 см.

Задача 8. При нагревании некоторой массы идеального газа на 1 градус при постоянном давлении его объем увеличился на $\frac{1}{350}$ часть. Найти первоначальную температуру газа.

При постоянном давлении по закону Гей-Люссака

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

Выразим $T_1$ :

$T_1=\frac{V_1T_2}{V_2}$

Объем изменился:

$V_2=V_1+\Delta V$

$V_2=V_1+\frac{V_1}{350}=\frac{351V_1}{350}$

Подставляем:

$T_1=\frac{V_1T_2}{V_2}=\frac{V_1(T_1+\Delta T)}{\frac{351V_1}{350}}=\frac{350(T_1+\Delta T)}{351}$

Откуда $T_1=350$ К.

Ответ: 350 $^{\circ}$ К, или 77 $^{\circ} C$ .

Задача 9. Объем сосуда $V_1=300$ см $^3$ , объем цилиндра разрежающего насоса $V_2=200$ см $^3$ , После $n=6$ ходов поршня в сосуде установилось давление $p=35$ мм. рт. ст. Каково было первоначальное давление газа в сосуде? Изменением температуры пренебречь.

Разрежающий насос увеличивает объем газа каждый раз на $V_2=200$ см $^3$ . Процесс изотермический и подчиняется закону Бойля-Мариотта:

$p_1V_1=p_2V_2$

Или

$p_1V_1=p_2(V_1+V)$

Тогда

$p_1=\frac{p_2(V_1+V)}{V_1}$

Это мы записали, как изменится давление газа за один ход поршня. Такие же равенства можно записать и для каждого хода поршня, при этом получим равенство:

$p_2V_2=p_3V_3$

Или

$p_2V_2=p_3(V_2+V)$

Тогда

$p_2=\frac{p_3(V_2+V)}{V_2}$

$p_1=\frac{p_3(V_2+V)}{V_2}\frac{V_1+V}{V_1}$

Но $V_1=V_2$ , тогда

$p_1=\frac{p_3(V_1+V)}{V_1}\frac{V_1+V}{V_1}=p_3\left(\frac{V_1+V}{V_1}\right)^2$

Понятно, что можно, не расписывая каждый ход поршня, сразу записать:

$p_1=p_6\left(\frac{V_1+V}{V_1}\right)^6= 35\left(\frac{300+200}{300}\right)^6=750$

Здесь также допущена «вольность» – объем не переведен в м $^3$ , так как при делении все равно получится то же самое отношение объемов.

Ответ: начальное давление равно нормальному – 750 мм.рт.ст.

Задача 10. Когда объем, занимаемый газом, уменьшили на $\eta_1=10$ %, а температуру увеличили на $\Delta T=16$ К, его давление возросло на $\eta_2=20$ %. Какова начальная температура газа $T_1$ ?