Изопроцессы. Текстовые задачи

Изо- – значит, неизменный, равный. Изопроцесс – это такой процесс, который производят с газом либо при неизменной температуре, либо при неизменном давлении, либо при неизменном объеме. При этом газ подчиняется уравнению состояния идеального газа, которое превращается в каждом процессе либо в закон Бойля-Мариотта, либо в закон Гей-Люссака, либо в закон Шарля, в зависимости от того, какая величина сохраняет свое значение.
[latexpage]

Задача 1. Во сколько раз изменится давление газа в цилиндре, если его объем уменьшить, продвинув поршень на $\frac{1}{3}$ высоты цилиндра? Температура газа не меняется.

Так как температура неизменна, то запишем закон Бойля-Мариотта:

$$p_1V_1=p_2V_2$$

Объем газа уменьшился:

$$V_2=V_1-\frac{1}{3}V_1=\frac{2}{3}V_1$$

Тогда:

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{V_2}{V_1}$$

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{\frac{2}{3}V_1}{V_1}=\frac{2}{3}$$

Тогда $\frac{p_2}{p_1}=\frac{3}{2}=1,5$

Ответ: давление возрастет в 1,5 раза.

 

Задача 2. Идеальный газ расширяют изотермически так, что объем газа изменяется в $n=1,4$ раза, а давление  – на $\Delta p=2$ атм. Найти начальное давление газа.

Так как температура не меняется, то запишем закон Бойля-Мариотта:

$$p_1V_1=p_2V_2$$

Объем газа увеличивается:

$$V_2=nV_1$$

Если объем увеличивается, то давление, очевидно, падает:

$$p_2=p_1-\Delta p$$

Тогда

$$p_1V_1= (p_1-\Delta p )nV_1$$

$$p_1= (p_1-\Delta p)n$$

$$p_1-np_1=-n\Delta p $$

$$p_1(1-n)=-n\Delta p $$

$$p_1(n-1)=n\Delta p $$

$$p_1=\frac {n\Delta p}{n-1} $$

Подставим числа:

$$p_1=\frac {1,4\cdot 2 \cdot 10^5}{0,4} =7 \cdot 10^5$$

Ответ: 7 атм.

 

Задача 3. Выходное отверстие велосипедного насоса диаметром $d=4$ мм  зажато пальцем. Найти силу давления воздуха на палец в тот момент, когда поршень,  сжимая воздух, не доходит до конца насоса на 2 см. Длина насоса 42 см. Процесс считать изотермическим.

Так как температура не меняется, то запишем закон Бойля-Мариотта:

$$p_1V_1=p_2V_2$$

Объем газа уменьшается:

$$V_1=S\cdot l_1$$

$$V_2=S\cdot l_2$$

$$S=\frac{\pi d^2}{4}$$

И закон можно переписать:

$$p_1 S\cdot l_1=p_2 S\cdot l_2$$

$$p_1 \cdot l_1=p_2 \cdot l_2$$

$$ p_2=\frac{p_1 \cdot l_1}{ l_2}$$

Сила давления воздуха на палец равна:

$$F=p_2S=\frac{p_1 \cdot l_1}{ l_2}S=\frac{p_1 \cdot l_1\pi d^2}{ 4l_2}$$

Подставляем числа, учитывая, что сначала давление воздуха в насосе равно атмосферному:

$$F=\frac{10^5 \cdot 0,42\pi (0,04)^2}{ 4\cdot0,02}=26,4$$

Ответ: 26б4 Н

 

Задача 4. При давлении $p=2 \cdot 10^6$ Па идеальный газ занимает объем $V=5$ л. В результате изотермического расширения его объем увеличился на $\Delta V=1$ л, а концентрация молекул стала равной $n=3,62 \cdot 10^{26}$ м$^{-3}$, При какой температуре протекал этот процесс?

$$p_1V_1=p_2V_2$$

$$p_2=\frac{ p_1V_1}{ V_2}$$

Объем газа увеличивается:

$$V_2=V_1+\Delta V $$

$$p_2=\frac{ p_1V_1}{ V_1+\Delta V }$$

Согласно уравнению состояния идеального газа $p=nkT$ можем записать:

$$p_2=nkT$$

$$\frac{ p_1V_1}{ V_1+\Delta V }=nkT$$

$$T=\frac{ p_1V_1}{ nk(V_1+\Delta V) }$$

Подставим числа:

$$T=\frac{ 2\cdot 10^6 \cdot5\cdot 10^{-3}}{ 3,62\cdot10^26\cdot1,38 \cdot10^{-23}\cdot 5\cdot 10^{-3}}=333,6^{\circ}$$

Или, выражая в градусах Цельсия, $t=333,6^{\circ}-273^{\circ}=60,6^{\circ}$ C.

Ответ: $60^{\circ}$ C.

 

Задача 5. Электрическая лампа наполнена азотом при давлении $p_1=600$ мм.рт.ст.  Объем лампы 500 см$^3$. Какая масса воды войдет в лампу, если у нее отломить кончик под водой при давлении $p_2=760$ мм.рт.ст.?

По закону Бойля-Мариотта

$$p_1V_1=p_2V_2$$

Так как давление снаружи больше, то очевидно, что газ будет сжат, когда сосуд станет сообщаться с внешней средой:

$$V_2=V_1-\Delta V$$

Разница в объемах газа

$$\Delta V =V_1-V_2 $$

Объем $V_2$:

$$V_2=\frac{ p_1V_1}{p_2}$$

Тогда

$$\Delta V =V_1-\frac{ p_1V_1}{p_2}$$

Масса воды такого объема:

$$m=\rho \Delta V=\rho V_1\left(1-\frac{ p_1}{p_2}\right)$$

$$m=10^3\cdot 500 \cdot 10^{-6}\left(1-\frac{600}{760}\right)=0,105$$

Здесь я позволила себе не переводить давление в Па из мм.рт.ст., понимая, что отношение все равно останется таким же. Тем не менее, так лучше не делать в классе или на экзамене: не давайте повода придраться к себе.

Ответ: 105 г

 

Задача 6. Газ в трубе плавильной печи охлаждается от температуры $t_1=1150^{\circ}$С до $t_2=200^{\circ}$С. Во сколько раз увеличивается плотность газа при этом? Давление газа не меняется.

По закону Гей-Люссака

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

Или

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1}{T_2}$$

Перейдем к абсолютной температуре:

$$T_1=t_1+273=1423$$

$$T_2=t_2+273=473$$

Масса газа: $m=\rho_1 V_1=\rho_2 V_2$, откуда

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}$$

То есть

$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}=3$$

Ответ: плотность вырастет в три раза.

 

Задача 7. Температура воздуха в горизонтальном цилиндре с поршнем $t_1=7^{\circ}$С. На какое расстояние переместится поршень при нагревании воздуха на $\Delta T=20$ К, если вначале он находился на расстоянии $l=14$ см от торца цилиндра?

Так как в данном процессе объем изменяется, делаем вывод, что давление  газа постоянно. Тогда по закону Гей-Люссака

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

Или, если записать объем через площадь сечения и высоту цилиндра, то

$$\frac{Sl}{T_1}=\frac{S(l+\Delta l)}{T_2}$$

$$\frac{l}{T_1}=\frac{(l+\Delta l)}{T_2}$$

$$l+\Delta l=\frac{lT_2}{T_1}$$

$$\Delta l=\frac{lT_2}{T_1}-l=\frac{(T_2-T_1)l}{T_1}=\frac{l \Delta T}{T_1}$$

$$\Delta l=\frac{0,14\cdot 20}{7+273}=0,01$$

Ответ: поршень сдвинется на 1 см.

 

Задача 8. При нагревании некоторой массы идеального газа на 1 градус при постоянном давлении его объем увеличился на $\frac{1}{350}$ часть. Найти первоначальную температуру газа.

При постоянном давлении по закону Гей-Люссака

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

Выразим $T_1$:

$$T_1=\frac{V_1T_2}{V_2}$$

 

Объем изменился:

$$V_2=V_1+\Delta V$$

$$V_2=V_1+\frac{V_1}{350}=\frac{351V_1}{350}$$

Подставляем:

$$T_1=\frac{V_1T_2}{V_2}=\frac{V_1(T_1+\Delta T)}{\frac{351V_1}{350}}=\frac{350(T_1+\Delta T)}{351}$$

Откуда $T_1=350$ К.

Ответ: 350$^{\circ}$ К, или  77$^{\circ} C$.

 

Задача 9. Объем сосуда $V_1=300$ см$^3$, объем цилиндра разрежающего насоса  $V_2=200$ см$^3$, После $n=6$ ходов поршня в сосуде установилось давление $p=35$ мм. рт. ст. Каково было первоначальное давление газа в сосуде? Изменением температуры пренебречь.

Разрежающий насос увеличивает объем газа каждый раз на $V_2=200$ см$^3$. Процесс изотермический и подчиняется закону Бойля-Мариотта:

$$p_1V_1=p_2V_2$$

Или

$$p_1V_1=p_2(V_1+V)$$

Тогда

$$p_1=\frac{p_2(V_1+V)}{V_1}$$

Это мы записали, как изменится давление газа за один ход поршня. Такие же равенства можно записать и для каждого хода поршня, при этом получим равенство:

$$p_2V_2=p_3V_3$$

Или

$$p_2V_2=p_3(V_2+V)$$

Тогда

$$p_2=\frac{p_3(V_2+V)}{V_2}$$

$$p_1=\frac{p_3(V_2+V)}{V_2}\frac{V_1+V}{V_1}$$

Но $V_1=V_2$, тогда

$$p_1=\frac{p_3(V_1+V)}{V_1}\frac{V_1+V}{V_1}=p_3\left(\frac{V_1+V}{V_1}\right)^2$$

Понятно, что можно, не расписывая каждый ход поршня, сразу записать:

$$p_1=p_6\left(\frac{V_1+V}{V_1}\right)^6= 35\left(\frac{300+200}{300}\right)^6=750$$

Здесь также допущена «вольность» – объем не переведен в м$^3$, так как при делении все равно получится то же самое отношение объемов.

Ответ: начальное давление равно нормальному – 750 мм.рт.ст.

 

Задача 10. Когда объем, занимаемый газом, уменьшили на $\eta_1=10$%, а температуру  увеличили на $\Delta T=16$ К, его давление возросло на $\eta_2=20$%. Какова начальная температура газа $T_1$?

Итак, можем записать:

$$\frac{p_1 V_1}{T_1}=\frac{p_2 V_2}{T_2}$$

Причем $V_2d=0,9V_1$, $T_2=T_1+16$, $p_2=1,2p_1$.

Тогда

$$\frac{p_1 V_1}{T_1}=\frac{1,2p_1\cdot0,9 V_1}{T_1+\Delta T}$$

$$\frac{1}{T_1}=\frac{1,08}{T_1+\Delta T}$$

Иначе,

$$ T_1+\Delta T=1,08T_1$$

$$T_1=\frac{\Delta T }{1,08-1}=200$$

Ответ: 200 К