Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Изопроцессы

Изопроцессы. Текстовые задачи

Изо- – значит, неизменный, равный. Изопроцесс – это такой процесс, который производят с газом либо при неизменной температуре, либо при неизменном давлении, либо при неизменном объеме. При этом газ подчиняется уравнению состояния идеального газа, которое превращается в каждом процессе либо в закон Бойля-Мариотта, либо в закон Гей-Люссака, либо в закон Шарля, в зависимости от того, какая величина сохраняет свое значение.



Задача 1. Во сколько раз изменится давление газа в цилиндре, если его объем уменьшить, продвинув поршень на \frac{1}{3} высоты цилиндра? Температура газа не меняется.

Так как температура неизменна, то запишем закон Бойля-Мариотта:

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

Объем газа уменьшился:

    \[V_2=V_1-\frac{1}{3}V_1=\frac{2}{3}V_1\]

Тогда:

    \[\frac{p_1}{p_2}=\frac{V_2}{V_1}\]

    \[\frac{p_1}{p_2}=\frac{\frac{2}{3}V_1}{V_1}=\frac{2}{3}\]

Тогда \frac{p_2}{p_1}=\frac{3}{2}=1,5

Ответ: давление возрастет в 1,5 раза.

 

Задача 2. Идеальный газ расширяют изотермически так, что объем газа изменяется в n=1,4 раза, а давление  – на \Delta p=2 атм. Найти начальное давление газа.

Так как температура не меняется, то запишем закон Бойля-Мариотта:

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

Объем газа увеличивается:

    \[V_2=nV_1\]

Если объем увеличивается, то давление, очевидно, падает:

    \[p_2=p_1-\Delta p\]

Тогда

    \[p_1V_1= (p_1-\Delta p )nV_1\]

    \[p_1= (p_1-\Delta p)n\]

    \[p_1-np_1=-n\Delta p\]

    \[p_1(1-n)=-n\Delta p\]

    \[p_1(n-1)=n\Delta p\]

    \[p_1=\frac {n\Delta p}{n-1}\]

Подставим числа:

    \[p_1=\frac {1,4\cdot 2 \cdot 10^5}{0,4} =7 \cdot 10^5\]

Ответ: 7 атм.

 

Задача 3. Выходное отверстие велосипедного насоса диаметром d=4 мм  зажато пальцем. Найти силу давления воздуха на палец в тот момент, когда поршень,  сжимая воздух, не доходит до конца насоса на 2 см. Длина насоса 42 см. Процесс считать изотермическим.

Так как температура не меняется, то запишем закон Бойля-Мариотта:

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

Объем газа уменьшается:

    \[V_1=S\cdot l_1\]

    \[V_2=S\cdot l_2\]

    \[S=\frac{\pi d^2}{4}\]

И закон можно переписать:

    \[p_1 S\cdot l_1=p_2 S\cdot l_2\]

    \[p_1 \cdot l_1=p_2 \cdot l_2\]

    \[p_2=\frac{p_1 \cdot l_1}{ l_2}\]

Сила давления воздуха на палец равна:

    \[F=p_2S=\frac{p_1 \cdot l_1}{ l_2}S=\frac{p_1 \cdot l_1\pi d^2}{ 4l_2}\]

Подставляем числа, учитывая, что сначала давление воздуха в насосе равно атмосферному:

    \[F=\frac{10^5 \cdot 0,42\pi (0,04)^2}{ 4\cdot0,02}=26,4\]

Ответ: 26б4 Н

 

Задача 4. При давлении p=2 \cdot 10^6 Па идеальный газ занимает объем V=5 л. В результате изотермического расширения его объем увеличился на \Delta V=1 л, а концентрация молекул стала равной n=3,62 \cdot 10^{26} м^{-3}, При какой температуре протекал этот процесс?

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

    \[p_2=\frac{ p_1V_1}{ V_2}\]

Объем газа увеличивается:

    \[V_2=V_1+\Delta V\]

    \[p_2=\frac{ p_1V_1}{ V_1+\Delta V }\]

Согласно уравнению состояния идеального газа p=nkT можем записать:

    \[p_2=nkT\]

    \[\frac{ p_1V_1}{ V_1+\Delta V }=nkT\]

    \[T=\frac{ p_1V_1}{ nk(V_1+\Delta V) }\]

Подставим числа:

    \[T=\frac{ 2\cdot 10^6 \cdot5\cdot 10^{-3}}{ 3,62\cdot10^26\cdot1,38 \cdot10^{-23}\cdot 5\cdot 10^{-3}}=333,6^{\circ}\]

Или, выражая в градусах Цельсия, t=333,6^{\circ}-273^{\circ}=60,6^{\circ} C.

Ответ: 60^{\circ} C.

 

Задача 5. Электрическая лампа наполнена азотом при давлении p_1=600 мм.рт.ст.  Объем лампы 500 см^3. Какая масса воды войдет в лампу, если у нее отломить кончик под водой при давлении p_2=760 мм.рт.ст.?

По закону Бойля-Мариотта

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

Так как давление снаружи больше, то очевидно, что газ будет сжат, когда сосуд станет сообщаться с внешней средой:

    \[V_2=V_1-\Delta V\]

Разница в объемах газа

    \[\Delta V =V_1-V_2\]

Объем V_2:

    \[V_2=\frac{ p_1V_1}{p_2}\]

Тогда

    \[\Delta V =V_1-\frac{ p_1V_1}{p_2}\]

Масса воды такого объема:

    \[m=\rho \Delta V=\rho V_1\left(1-\frac{ p_1}{p_2}\right)\]

    \[m=10^3\cdot 500 \cdot 10^{-6}\left(1-\frac{600}{760}\right)=0,105\]

Здесь я позволила себе не переводить давление в Па из мм.рт.ст., понимая, что отношение все равно останется таким же. Тем не менее, так лучше не делать в классе или на экзамене: не давайте повода придраться к себе.

Ответ: 105 г

 



Задача 6. Газ в трубе плавильной печи охлаждается от температуры t_1=1150^{\circ}С до t_2=200^{\circ}С. Во сколько раз увеличивается плотность газа при этом? Давление газа не меняется.

По закону Гей-Люссака

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

Или

    \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1}{T_2}\]

Перейдем к абсолютной температуре:

    \[T_1=t_1+273=1423\]

    \[T_2=t_2+273=473\]

Масса газа: m=\rho_1 V_1=\rho_2 V_2, откуда

    \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}\]

То есть

    \[\frac{T_1}{T_2}=\frac{\rho_2}{\rho_1}=3\]

Ответ: плотность вырастет в три раза.

 

Задача 7. Температура воздуха в горизонтальном цилиндре с поршнем t_1=7^{\circ}С. На какое расстояние переместится поршень при нагревании воздуха на \Delta T=20 К, если вначале он находился на расстоянии l=14 см от торца цилиндра?

Так как в данном процессе объем изменяется, делаем вывод, что давление  газа постоянно. Тогда по закону Гей-Люссака

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

Или, если записать объем через площадь сечения и высоту цилиндра, то

    \[\frac{Sl}{T_1}=\frac{S(l+\Delta l)}{T_2}\]

    \[\frac{l}{T_1}=\frac{(l+\Delta l)}{T_2}\]

    \[l+\Delta l=\frac{lT_2}{T_1}\]

    \[\Delta l=\frac{lT_2}{T_1}-l=\frac{(T_2-T_1)l}{T_1}=\frac{l \Delta T}{T_1}\]

    \[\Delta l=\frac{0,14\cdot 20}{7+273}=0,01\]

Ответ: поршень сдвинется на 1 см.

 

Задача 8. При нагревании некоторой массы идеального газа на 1 градус при постоянном давлении его объем увеличился на \frac{1}{350} часть. Найти первоначальную температуру газа.

При постоянном давлении по закону Гей-Люссака

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

Выразим T_1:

    \[T_1=\frac{V_1T_2}{V_2}\]

 

Объем изменился:

    \[V_2=V_1+\Delta V\]

    \[V_2=V_1+\frac{V_1}{350}=\frac{351V_1}{350}\]

Подставляем:

    \[T_1=\frac{V_1T_2}{V_2}=\frac{V_1(T_1+\Delta T)}{\frac{351V_1}{350}}=\frac{350(T_1+\Delta T)}{351}\]

Откуда T_1=350 К.

Ответ: 350^{\circ} К, или  77^{\circ} C.

 

Задача 9. Объем сосуда V_1=300 см^3, объем цилиндра разрежающего насоса  V_2=200 см^3, После n=6 ходов поршня в сосуде установилось давление p=35 мм. рт. ст. Каково было первоначальное давление газа в сосуде? Изменением температуры пренебречь.

Разрежающий насос увеличивает объем газа каждый раз на V_2=200 см^3. Процесс изотермический и подчиняется закону Бойля-Мариотта:

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

Или

    \[p_1V_1=p_2(V_1+V)\]

Тогда

    \[p_1=\frac{p_2(V_1+V)}{V_1}\]

Это мы записали, как изменится давление газа за один ход поршня. Такие же равенства можно записать и для каждого хода поршня, при этом получим равенство:

    \[p_2V_2=p_3V_3\]

Или

    \[p_2V_2=p_3(V_2+V)\]

Тогда

    \[p_2=\frac{p_3(V_2+V)}{V_2}\]

    \[p_1=\frac{p_3(V_2+V)}{V_2}\frac{V_1+V}{V_1}\]

Но V_1=V_2, тогда

    \[p_1=\frac{p_3(V_1+V)}{V_1}\frac{V_1+V}{V_1}=p_3\left(\frac{V_1+V}{V_1}\right)^2\]

Понятно, что можно, не расписывая каждый ход поршня, сразу записать:

    \[p_1=p_6\left(\frac{V_1+V}{V_1}\right)^6= 35\left(\frac{300+200}{300}\right)^6=750\]

Здесь также допущена «вольность» – объем не переведен в м^3, так как при делении все равно получится то же самое отношение объемов.

Ответ: начальное давление равно нормальному – 750 мм.рт.ст.

 

Задача 10. Когда объем, занимаемый газом, уменьшили на \eta_1=10%, а температуру  увеличили на \Delta T=16 К, его давление возросло на \eta_2=20%. Какова начальная температура газа T_1?

Итак, можем записать:

    \[\frac{p_1 V_1}{T_1}=\frac{p_2 V_2}{T_2}\]

Причем V_2d=0,9V_1, T_2=T_1+16, p_2=1,2p_1.

Тогда

    \[\frac{p_1 V_1}{T_1}=\frac{1,2p_1\cdot0,9 V_1}{T_1+\Delta T}\]

    \[\frac{1}{T_1}=\frac{1,08}{T_1+\Delta T}\]

Иначе,

    \[T_1+\Delta T=1,08T_1\]

    \[T_1=\frac{\Delta T }{1,08-1}=200\]

Ответ: 200 К



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *