Изопроцессы и уравнение Менделеева-Клапейрона в олимпиадных задачах

[latexpage]

Задачи на изопроцессы и уравнение Менделеева-Клапейрона в сложных задачах МКТ, встречающихся на олимпиадах различного уровня.

Задача 1.  Вертикальный цилиндр на высоте $H$ от дна цилиндра перекрыт двумя тонкими массивными поршнями с малым зазором между ними, при этом система находится в равновесии. В нижнем поршне открыли отверстие, через которое медленно просачивается воздух. Когда нижний поршень опустился на дно, верхний поднялся до высоты $H_1$ от дна. На какой высоте $x$ был верхний поршень, когда нижний располагался точно посредине между верхним поршнем и дном? Температура и атмосферное давление неизменны, трения нет.

К задаче 1

Решение. Сначала оба поршня вверху, весь воздух под ними. Пусть давление в этом случае $p_1$. Когда нижний поршень опустится на дно, давление под верхним будет равно $p_2$. Так как процесс для воздуха изотермический, то
$$p_1HS=p_2H_1S$$

Или

$$p_1H=p_2H_1$$

В первоначальном состоянии

$$p_1=\frac{2mg}{S}+p_0$$

Когда нижний поршень посередине, то над нижним поршнем

$$p’=\frac{mg}{S}+p_0$$

А под ним

$$p’’=p’+\frac{mg}{S}=\frac{2mg}{S}+p_0$$

Таким образом, под поршнем давление равно $p_1$. Значит, над ним оно тоже постоянно и равно $p_2$.

Нижний поршень медленно опускается. То есть за малый промежуток времени проходит малый участок – то есть уравновешивается давлением под ним.

Для первоначального состояния запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$p_1V=\nu RT$$

$$p_1 HS=\nu RT$$

$\nu$ – общее количество воздуха. Когда нижний поршень окажется посередине, часть воздуха окажется над ним ($\nu_1$), а часть – под ним ($\nu_2$). Давление под нижним поршнем, очевидно, больше, чем над ним. $x$ – искомая высота.

Для газа над нижним поршнем:

$$p_2\frac{xS}{2}=\nu_1RT$$

Для газа под нижним поршнем:

$$p_1\frac{xS}{2}=\nu_2RT$$

Складываем уравнения:

$$\frac{xS}{2}(p_1+p_2)=\nu RT$$

$$\frac{xS}{2}\left(p_1+p_1\frac{H}{H_1}\right)=p_1HS$$

$$\frac{x}{2}\left(1+\frac{H}{H_1}\right)=H$$

$$x\cdot \frac{H+H_1}{H_1}=2H$$

$$x=\frac{2HH_1}{H+H_1}$$

Ответ: $x=\frac{2HH_1}{H+H_1}$

Задача 2.  Над одноатомным идеальным газом производят сложный процесс, показанный на рисунке, который состоит из шести простых процессов. У точки 1 координаты ($p, V, T$), а у точки 4 — ($Зp, ЗV, ЗT$). График каждого из простых процессов параллелен одной из координатных осей.

1. Среди простых процессов найдите все изотермические.
2. Определите в них изменение внутренней энергии газа.
3. Найдите все процессы, в которых $\Delta U = 0$.

К задаче 2

Решение. Составим таблицу, в которой покажем, какие давление и температура какой точке соответствуют.

При переходе от точки 1 к точке 2 меняется только давление, от точки 2 к точке 3 – только объем, от точки 3 к точке 4 – только температура и т.д. Поэтому изотермическими будут являться процессы 1-2, 2-3, 4-5, 5-6, в которых температура остается постоянной.

Ответим на второй вопрос:

$$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}(3pV-pV)=3pV$$

$$\Delta U_{23}=\frac{3}{2}(9pV-3pV)=9pV$$

$$\Delta U_{45}=\frac{3}{2}(3pV-9pV)=-9pV$$

$$\Delta U_{56}=\frac{3}{2}(pV-3pV)=-3pV$$

Ответим на третий вопрос:

$$\Delta U_{34}=\frac{3}{2}(9pV-9pV)=0$$

$$\Delta U_{61}=\frac{3}{2}(pV-pV)=0$$

Ответ: 1) процессы 1-2, 2-3, 4-5, 5-6;  2) $\pm 3pV; \pm 9pV$; 3) процессы 3-4 и 6-1.

Задача 3. В процессе 1-2-3 температура идеального газа изменяется от $T_1$ в точке 1 до $T_3$ в точке 3, принимая значение $T_2=\frac{T_1+T_3}{2}$ в точке 2, которой соответствует объем $V_2$. Найдите построением с помощью циркуля и линейки без делений положение точки 2 на графике.

К задаче 3

Решение. Температура $T_2\sim p_2V_2$, аналогично $ T_1\sim p_1V_1$, $T_3\sim p_3V_3$. То есть равенство из условия можно переписать

$$ p_2V_2=\frac{ p_1V_1+ p_3V_3}{2}$$

$$ p_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{ p_1V_1}{ V_2}+ \frac{p_3V_3}{ V_2}~~~~~~(1)$$

Поработаем с графиком. Проведем вертикаль, на которой любая точка имеет объем $V_2$. Теперь проведем горизонтали, отсекающие давления $p_1$ и $p_3$.

Работа с графиком

Образовались подобные треугольники: треугольник $ABC$ подобен $ADE$, треугольник $AFC$ подобен треугольнику $AKE$. Для них составим соотношение сходственных сторон:

$$\frac{p_1}{V_2}=\frac{x}{V_1}$$

$$x=\frac{p_1V_1}{V_2}$$

$$\frac{p_3}{V_2}=\frac{y}{V_3}$$

$$y=\frac{p_3V_3}{V_2}$$

То есть можно переписать (1) в виде:

$$ p_2=\frac{x+y}{2}$$

Так что точка расположена посередине между точками $L$ и $M$.

Нашли положение точки 2

Пусть $\angle BAC=\alpha$,

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{p_1}{V_2}$$

Пусть $\angle FAC=\beta$,

$$\operatorname{tg}\beta =\frac{p_3}{V_2}$$

Тогда $x=V_1\operatorname{tg}\alpha$, $y=V_3\operatorname{tg}\beta$.

Ответ: положение точки – на рисунке.