Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Магнитный поток

Изменение потока через контур

Задачи связаны с изменением потока через контур. Это может быть связано как с изменением площади контура (например, поворотом или изменением формы), так и с изменением индукции.

Задача 1. Проволочный контур в виде квадрата со стороной a = 10 см расположен в однородном магнитном поле так, `что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля. Индукция магнитного поля B = 2 Тл. На какой угол надо повернуть плоскость контура, чтобы изменение магнитного потока через контур составило \Delta Phi =  10 мВб?

Поток сначала был равен максимальному значению:

    \[\Phi_1=BS_1=a^2B\]

Когда контур повернули, площадь, пронизываемая потоком, стала меньше, поэтому и поток стал меньше:

    \[\Phi_2=BS_2=a^2B\cos{\alpha}\]

Изменение потока (вычтем из большего меньшее, так удобнее, но будем помнить, что поток уменьшается)

    \[\Delta \Phi=\Phi_1-\Phi_2= a^2B (1-\cos{\alpha})\]

    \[1-\cos{\alpha}=\frac{\Delta \Phi }{a^2B}\]

    \[\cos{\alpha}=1-\frac{\Delta \Phi }{a^2B}=1-\frac{10^{-2}}{0,1^2\cdot 2}=0,5\]

    \[\alpha=60^{\circ}\]

Ответ: \alpha=60^{\circ}.

Задача 2. Виток находится в однородном магнитном поле так, что индукция направлена перпендикулярно его плоскости. На сколько изменится магнитный поток, пронизывающий виток, если его повернуть на 180^{\circ}? Индукция магнитного поля B= 0,3 Тл, радиус витка R =0, 2 м.

Поток сначала был равен максимальному значению:

    \[\Phi_1=BS=\pi R^2B\]

После поворота поток по модулю остался тем же, но направлен в противоположную сторону:

    \[\Phi_2=-BS=-\pi R^2B\]

Изменение потока

    \[\Delta \Phi=\Phi_2-\Phi_1= -2\pi R^2B=-2\cdot 3,14\cdot 0,2^2\cdot 0,3=-75\cdot10^{-3}\]

Ответ: \Delta \Phi=75 мВб, уменьшается.

Задача 3. Катушка помещена в однородное магнитное поле с индукцией B=5 мТл так, что ось катушки составляет угол \alpha=60^{\circ} с вектором магнитной индукции. Радиус катушки R=20 см. На сколько нужно изменить число витков катушки, чтобы поток через нее изменился на \Delta \Phi=0,1 Вб?

Поток сначала был равен значению:

    \[\Phi_1=BS n_1 \cos{\alpha}\]

А потом, после изменения числа витков,

    \[\Phi_1=BS n_2 \cos{\alpha}\]

Изменение потока

    \[\Delta \Phi=\Phi_2-\Phi_1= BS \cos{\alpha}( n_2-n_1)= BS \cos{\alpha} \Delta n\]

Откуда

    \[\Delta n=\frac{\Delta \Phi }{ BS \cos{\alpha} }=\frac{\Delta \Phi }{ B \pi R^2 \cos{\alpha} }=\frac{0,1}{5\cdot10^{-3}\cdot \pi \cdot 0,2^2\cdot \frac{1}{2}}=318\]

Ответ: 318 витков.

Задача 4. Кольцевой виток находится в постоянном магнитном поле с индукцией B. Виток, не перекручивая, превратили в восьмерку из двух равных колец. Во сколько раз n изменили магнитный поток, пронизывающий плоскость витка?

Поток в данном случае изменяется в связи с изменением площади. Посмотрим, как изменилась площадь. Первоначально площадь витка равна S_1=\pi R^2, длина витка L=2 \pi R. После изменения формы, так как колец два, то длина каждого из них l=\pi R=2 \pi r. То есть r=\frac{R}{2}. Тогда площадь такого витка

    \[S_2=\pi r^2=\pi \frac{R^2}{4}=\frac{S_1}{4}\]

Так как витка два, то их площадь суммарно равна 2S_2=\frac{S_1}{2}, следовательно, первоначальная площадь изменилась вдвое, и поток тогда тоже изменился вдвое.

Ответ: поток станет вдвое меньше.

Задача 5. Кольцевой виток находится в постоянном магнитном поле с индукцией B, направленной перпендикулярно плоскости витка. Виток превратили в квадрат и повернули его так, что плоскость витка составляет угол \alpha=30^{\circ} с линиями магнитной индукции. Во сколько раз при этом изменится магнитный поток, пронизывающий контур?

Здесь также изменение потока связано с изменением площади контура. Во-первых, изменили его форму, во-вторых, повернули на 60^{\circ} (если между плоскостью витка и линиями индукции угол 30^{\circ}, то между нормалью и линиями 60^{\circ}).

Пусть радиус витка первоначально был равен R. Тогда площадь витка

    \[S_1=\pi R^2\]

Длина витка 2 \pi R, эту длину нужно разделить на 4 – чтобы определить длину стороны получившегося квадрата.

    \[l=\frac{\pi R }{2}\]

Площадь квадрата равна

    \[S_2=l^2=\frac{\pi^2 R^2}{4}\]

Теперь повернем этот квадрат так, как указано, площадь станет меньше:

    \[S_3=S_2\cos{\alpha}=\frac{\pi^2 R^2}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi^2 R^2}{8}\]

Найдем, во сколько раз изменится поток:

    \[n=\frac{\Phi_2}{\Phi_1}=\frac{BS_3}{BS_1}=\frac{\pi}{8}\]

Ответ: изменится в \frac{\pi}{8} раза.

Задача 6. В магнитное поле, изменяющееся вдоль оси ОХ по закону B =B_0-kx, где k= 2 мТл/м, помещен круглый проволочный виток диаметром d = 2 м так, что его плоскость перпендикулярна линиям индукции магнитного поля. Определить изменение магнитного потока через виток при его перемещении из точки с координатой x_1 = 3 м в точку с координатой x_2 = 8 м.

Запишем поток в начале и в конце:

    \[\Phi_1=B_1S= (B_0-kx_1)S\]

    \[\Phi_2=B_2S= (B_0-kx_2)S\]

Изменение потока

    \[\Delta \Phi=\Phi_2-\Phi_1= (B_2-B_1)S=( kx_1- kx_2)S=k(x_1-x_2)\frac{\pi d^2}{4}=2\cdot10^{-3}(3-8) \frac{\pi 2^2}{4}=-\pi\cdot1-^{-2}=-0,0314\]

Ответ: \Delta \Phi=-31,4 мВб.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *