Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Магнитный поток

Изменение потока через контур

[latexpage]

Задачи связаны с изменением потока через контур. Это может быть связано как с изменением площади контура (например, поворотом или изменением формы), так и с изменением индукции.

Задача 1. Проволочный контур в виде квадрата со стороной $a = 10$ см расположен в однородном магнитном поле так, `что плоскость квадрата перпендикулярна линиям индукции магнитного поля. Индукция магнитного поля $B = 2$ Тл. На какой угол надо повернуть плоскость контура, чтобы изменение магнитного потока через контур составило $\Delta \Phi =  10$ мВб?

Поток сначала был равен максимальному значению:

$$\Phi_1=BS_1=a^2B$$

Когда контур повернули, площадь, пронизываемая потоком, стала меньше, поэтому и поток стал меньше:

$$\Phi_2=BS_2=a^2B\cos{\alpha}$$

Изменение потока (вычтем из большего меньшее, так удобнее, но будем помнить, что поток уменьшается)

$$\Delta \Phi=\Phi_1-\Phi_2= a^2B (1-\cos{\alpha})$$

$$1-\cos{\alpha}=\frac{\Delta \Phi }{a^2B}$$

$$\cos{\alpha}=1-\frac{\Delta \Phi }{a^2B}=1-\frac{10^{-2}}{0,1^2\cdot 2}=0,5$$

$$\alpha=60^{\circ}$$

Ответ: $\alpha=60^{\circ}$.

Задача 2. Виток находится в однородном магнитном поле так, что индукция направлена перпендикулярно его плоскости. На сколько изменится магнитный поток, пронизывающий виток, если его повернуть на $180^{\circ}$? Индукция магнитного поля $B= 0,3$ Тл, радиус витка $R =0, 2$ м.

Поток сначала был равен максимальному значению:

$$\Phi_1=BS=\pi R^2B$$

После поворота поток по модулю остался тем же, но направлен в противоположную сторону:

$$\Phi_2=-BS=-\pi R^2B$$

Изменение потока

$$\Delta \Phi=\Phi_2-\Phi_1= -2\pi R^2B=-2\cdot 3,14\cdot 0,2^2\cdot 0,3=-75\cdot10^{-3} $$

Ответ: $\Delta \Phi=75$ мВб, уменьшается.

Задача 3. Катушка помещена в однородное магнитное поле с индукцией $B=5$ мТл так, что ось катушки составляет угол $\alpha=60^{\circ}$ с вектором магнитной индукции. Радиус катушки $R=20$ см. На сколько нужно изменить число витков катушки, чтобы поток через нее изменился на $\Delta \Phi=0,1$ Вб?

Поток сначала был равен значению:

$$\Phi_1=BS n_1 \cos{\alpha}$$

А потом, после изменения числа витков,

$$\Phi_1=BS n_2 \cos{\alpha}$$

Изменение потока

$$\Delta \Phi=\Phi_2-\Phi_1= BS \cos{\alpha}( n_2-n_1)= BS \cos{\alpha} \Delta n$$

Откуда

$$\Delta n=\frac{\Delta \Phi }{ BS \cos{\alpha} }=\frac{\Delta \Phi }{ B \pi R^2 \cos{\alpha} }=\frac{0,1}{5\cdot10^{-3}\cdot \pi \cdot 0,2^2\cdot \frac{1}{2}}=318$$

Ответ: 318 витков.

Задача 4. Кольцевой виток находится в постоянном магнитном поле с индукцией $B$. Виток, не перекручивая, превратили в восьмерку из двух равных колец. Во сколько раз $n$ изменили магнитный поток, пронизывающий плоскость витка?

Поток в данном случае изменяется в связи с изменением площади. Посмотрим, как изменилась площадь. Первоначально площадь витка равна $S_1=\pi R^2$, длина витка $L=2 \pi R$. После изменения формы, так как колец два, то длина каждого из них $l=\pi R=2 \pi r$. То есть $r=\frac{R}{2}$. Тогда площадь такого витка

$$S_2=\pi r^2=\pi \frac{R^2}{4}=\frac{S_1}{4}$$

Так как витка два, то их площадь суммарно равна $2S_2=\frac{S_1}{2}$, следовательно, первоначальная площадь изменилась вдвое, и поток тогда тоже изменился вдвое.

Ответ: поток станет вдвое меньше.

Задача 5. Кольцевой виток находится в постоянном магнитном поле с индукцией $B$, направленной перпендикулярно плоскости витка. Виток превратили в квадрат и повернули его так, что плоскость витка составляет угол $\alpha=30^{\circ}$ с линиями магнитной индукции. Во сколько раз при этом изменится магнитный поток, пронизывающий контур?

Здесь также изменение потока связано с изменением площади контура. Во-первых, изменили его форму, во-вторых, повернули на $60^{\circ}$ (если между плоскостью витка и линиями индукции угол $30^{\circ}$, то между нормалью и линиями $60^{\circ}$).

Пусть радиус витка первоначально был равен $R$. Тогда площадь витка

$$S_1=\pi R^2$$

Длина витка $2 \pi R$, эту длину нужно разделить на 4 – чтобы определить длину стороны получившегося квадрата.

$$l=\frac{\pi R }{2}$$

Площадь квадрата равна

$$S_2=l^2=\frac{\pi^2 R^2}{4}$$

Теперь повернем этот квадрат так, как указано, площадь станет меньше:

$$S_3=S_2\cos{\alpha}=\frac{\pi^2 R^2}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi^2 R^2}{8}$$

Найдем, во сколько раз изменится поток:

$$n=\frac{\Phi_2}{\Phi_1}=\frac{BS_3}{BS_1}=\frac{\pi}{8}$$

Ответ: изменится в $\frac{\pi}{8}$ раза.

Задача 6. В магнитное поле, изменяющееся вдоль оси ОХ по закону $B =B_0-kx$, где $k= 2$ мТл/м, помещен круглый проволочный виток диаметром $d = 2$ м так, что его плоскость перпендикулярна линиям индукции магнитного поля. Определить изменение магнитного потока через виток при его перемещении из точки с координатой $x_1 = 3$ м в точку с координатой $x_2 = 8$ м.

Запишем поток в начале и в конце:

$$\Phi_1=B_1S= (B_0-kx_1)S$$

$$\Phi_2=B_2S= (B_0-kx_2)S$$

Изменение потока

$$\Delta \Phi=\Phi_2-\Phi_1= (B_2-B_1)S=( kx_1- kx_2)S=k(x_1-x_2)\frac{\pi d^2}{4}=2\cdot10^{-3}(3-8) \frac{\pi 2^2}{4}=-\pi\cdot1-^{-2}=-0,0314$$

Ответ: $\Delta \Phi=-31,4$ мВб.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *