Изготовление деталей А и В на двух фабриках

[latexpage]

Решаем задачи на оптимальный выбор. Эти – с изюминкой.

Задача 1.  На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работают 40 человек, и один рабочий за смену изготавливает 15 деталей А или 5 деталей В. На втором комбинате работают 160 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 15 деталей В.

Оба эти комбината поставляют детали на завод, где собирают изделие, для изготовления которого нужны 2 детали А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько таких изделий может собрать завод за смену?

Решение. Рассмотрим первый комбинат. Пусть детали А изготавливает $x$ человек, тогда они изготовят $15x$ деталей. А детали B будут изготавливать $40-x$ человек, и они сделают этих деталей $(40-x)\cdot 5$.

Теперь второй комбинат – на нем $y$ человек будут заняты изготовлением деталей A и сделают их $5y$ штук. А $160-y$ человек будут делать детали B и изготовят таких деталей $(160-y)\cdot 15$ штук.

Всего деталей А получится в сумме $15x+5y$.

А деталей В выйдет $200-5x+2400-15y$. Отношение числа деталей А к числу деталей B должно быть 2:1

$$\frac{15x+5y }{200-5x+2400-15y }=\frac{2}{1}$$

$$5200-10x-30y=15x+5y$$

$$5200-35y=25x$$

$$208-\frac{7}{5}y=x$$

Нам в итоге нужно получить максимальное количество изделий, а изделий в два раза меньше, чем деталей А, поэтому надо увеличить максимально число деталей А (но можно аналогично устремить к максимуму число деталей B):

$$15x+5y \longrightarrow max$$

Подставим полученное значение $x$:

$$15\cdot (208-\frac{7}{5}y )+5y \longrightarrow max$$

$$3120-21y+5y \longrightarrow max$$

$$3120-16y \longrightarrow max$$

То есть, по идее, чтобы функция приняла максимальное значение, $y=0$, а $x \longrightarrow max$. Но в этом случае получим чрезмерное количество деталей B. Тогда возьмем максимально возможное число $x$  – $x=40$. Следовательно,

$$208-\frac{7}{5}y=40$$

$$y=120$$

Следовательно, на первом комбинате делаем детали A, и сделаем их 600 штук. А на втором комбинате будут делать детали А 120 человек, и сделают их тоже 600 штук – итого 1200. А детали B делаем только на втором комбинате – их делает 40 человек, и они изготовят 600 штук, что как раз в 2 раза меньше числа деталей А. Всего изделий получится – по числу деталей В – 600 штук.

Ответ: 600.

Задача 2.  На каждой из двух фабрик изготавливают детали А и В. На первой фабрике работает 300 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 10 деталей В. На второй фабрике работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 10 деталей А или 5 деталей В.  Обе фабрики поставляют детали на комбинат, на котором собирают изделие, для изготовления которых нужно 2 детали А и 1 деталь В. При этом фабрики договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы на комбинате можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий за смену может собрать комбинат при таких условиях?

Решение. Рассмотрим первую фабрику. Пусть детали А изготавливает $x$ человек, тогда они изготовят $5x$ деталей. А детали B будут изготавливать $300-x$ человек, и они сделают этих деталей $(300-x)\cdot 10$.

Теперь вторая фабрика – на ней $y$ человек будут заняты изготовлением деталей A и сделают их $10y$ штук. А $100-y$ человек будут делать детали B и изготовят таких деталей $(100-y)\cdot 5$ штук.

Всего деталей А получится в сумме $5x+10y$.

А деталей В выйдет $3000-10x+500-5y$. Отношение числа деталей А к числу деталей B должно быть 2:1. Составляем уравнение

$$\frac{5x+10y }{3500-10x-5y }=\frac{2}{1}$$

$$5x+10y=6000-20x+1000-10y$$

$$25x+20y=7000$$

$$5x+4y=1400$$

$$y=350-\frac{5}{4}x$$

Число изделий совпадает с числом деталей В, поэтому

$$3500-10x-5y \longrightarrow max$$

$$3500-10x-5\cdot(350-\frac{5}{4}x) \longrightarrow max $$

$$3500-1750-10x+\frac{25}{4}x \longrightarrow max $$

$$1750-3,75x\longrightarrow max $$

То есть функция принимает максимальное значение при минимальном $x$, или, иными словами, при максимальном $y$. А максимальное значение $y=100$. Тогда $x=200$.

Значит, на второй фабрике детали B не изготавливают, а деталей А будет сделано 1000. На первой фабрике 200 человек изготовят 1000 деталей А, а 100 человек – 1000 деталей B и получится в итоге 1000 изделий.

Ответ: 1000.

Задача 3.  На каждой из двух фабрик изготавливают детали А н В. На первой фабрике работает 400 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 15 деталей В. На второй фабрике работает 100 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 деталей А или 5 деталей В.

Обе фабрики поставляют детали на комбинат, на котором собирают изделие, для изготовления которого нужны 1 деталь А и 2 детали В. При этом фабрики договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы на комбинате можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий за смену может собрать комбинат при таких условиях?

Решение. Рассмотрим первую фабрику. Пусть детали А изготавливает $x$ человек, тогда они изготовят $5x$ деталей. А детали B будут изготавливать $400-x$ человек, и они сделают этих деталей $(400-x)\cdot 15$.

Теперь вторая фабрика – на ней $y$ человек будут заняты изготовлением деталей A и сделают их $15y$ штук. А $100-y$ человек будут делать детали B и изготовят таких деталей $(100-y)\cdot 5$ штук.

Всего деталей А получится в сумме $5x+15y$.

А деталей В выйдет $(400-x)\cdot 15+(100-y)5$. Отношение числа деталей А к числу деталей B должно быть 1:2. Составляем уравнение

$$\frac{5x+15y }{6000-15x+500-5y }=\frac{1}{2}$$

$$10x+30y=6000-15x+500-5y$$

$$25x+35y=6500$$

$$5x+7y=1300$$

$$y=\frac{1300-5x}{7}$$

Число изделий совпадает с числом деталей А, поэтому

$$5x+15y\longrightarrow max $$

$$5x+15\cdot \frac{1300-5x}{7}\longrightarrow max $$

$$5x+\frac{1300\cdot15}{7}-\frac{75x}{7}\longrightarrow max $$

$$\frac{1300\cdot15}{7}-\frac{40x}{7}\longrightarrow max $$

То есть функция принимает максимальное значение при минимальном $x$, или, иными словами, при максимальном $y$. А максимальное значение $y=100$. Тогда $x=120$.

Значит, на второй фабрике детали B не изготавливают, а деталей А будет сделано 1500. На первой фабрике 120 человек изготовят 600 деталей А, а 280 человек – 4200 деталей B и получится в итоге 2100 изделий.

Ответ: 2100.