Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая оптика, Олимпиадная физика

Использование графиков при решении задач с линзами – 2

Тема этой и предыдущей статей – использование графиков при решении задач на оптику, а именно – задач с линзами. Конспект занятий Пенкина М.А.

Сначала давайте построим график, использование которого сильно облегчит решение задач.

Собирающая линза. Для нее известно, что если расстояние от предмета до линзы меньше, чем фокусное, то формула линзы

    \[d<F\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{F-d}\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{F-d}\]

Если расстояние от предмета до линзы больше, чем фокусное, то формула линзы

    \[d>F\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{ d - F }\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{ d - F }\]

Тогда график зависимости \Gamma(d) имеет вид

Как видно, увеличение \Gamma=1 в точках d=0 и d=2F. Обе ветви симметричны относительно асимптоты d=F. И одно и то же увеличение может быть получено при двух расстояниях предмета от линзы – d_1 и d_2.

Рассеивающая линза.

Для нее формула линзы

    \[-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{F+d}\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{F+d}\]

График зависимости \Gamma(d) будет выглядеть так

Пользуясь этими графиками, давайте решим несколько задач.

Задача 1. Тонкая линза создаёт изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением. Оказалось, что для получения изображения с двукратным увеличением предмет нужно передвинуть либо к линзе на x, либо от линзы на 2x. С каким увеличением изображался предмет вначале?

Отметим на графике двойное увеличение. Тогда вначале, вероятно, предмет находился на расстоянии d_0, которому соответствует точка O – она ближе к d_1 и дальше от d_2.

К задаче 1

Тогда, во-первых

    \[2=\frac{F}{F-d_1}\]

    \[d_1=F-\frac{F}{2}=\frac{F}{2}\]

А во-вторых

    \[2=\frac{F}{ d_2- F }\]

    \[d_2=F+\frac{F}{2}=\frac{3F}{2}\]

Тогда

    \[\begin{Bmatrix}{ d_0-x=\frac{F}{2}}\\{ d_0+2x=\frac{3F}{2}}\end{matrix}\]

Так как расстояние x нам не интересно, избавляемся от него:

    \[3d_0=\frac{5F}{2}\]

    \[d_0=\frac{5F}{6}\]

Определяем увеличение

    \[\Gamma_0=\frac{F}{F-d_0}=\frac{F}{F-\frac{5F}{6}}=6\]

Ответ: 6

 

Задача 2. С помощью тонкой линзы с фокусным расстоянием F получено действительное изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси линзы. Если вплотную к данной линзе приложить рассеивающую линзу с фокусным расстоянием 2F, то размер изображения в системе не изменится по сравнению с первоначальным. На каком расстоянии от линзы находится предмет?

Линза собирающая – так как изображение действительное. Если две линзы расположены вплотную, то, как известно, их оптические силы складываются.

    \[D_{ekv}=D_1+D_2=\frac{1}{F}-\frac{1}{2F}=\frac{1}{2F}>0\]

Таким образом, эквивалентная линза – собирающая с двойным фокусным расстоянием. Тогда для новой линзы (эквивалентной) график покажем синим цветом:

К задаче 2

    \[\Gamma=\frac{F}{d-F}\]

    \[d=F+\frac{F}{\Gamma}\]

    \[\Gamma=\frac{ F_{ekv}}{ F_{ekv}-d}\]

    \[d= F_{ekv}-\frac{ F_{ekv}}{\Gamma}\]

Следовательно,

    \[F+\frac{F}{\Gamma}= 2F-\frac{2F}{\Gamma}\]

    \[\frac{3F}{\Gamma}=F\]

    \[\Gamma=3\]

    \[d=F+\frac{F}{3}=\frac{4F}{3}\]

Ответ: d=\frac{4F}{3}.

 

Задача 3. Плоское зеркало вплотную прижато к собирающей линзе с фокусным расстоянием F. Эта система создаёт действительное изображение предмета с увеличением \Gamma. Предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси линзы. Если, не меняя взаимного расположения линзы и предмета, убрать зеркало, то линза создаёт мнимое изображение предмета с увеличением 2\Gamma. Определите расстояние от предмета до линзы.

С точки зрения увеличения собирающая линза с прижатым к ней зеркалом эквивалентна двум собирающим линзам с фокусным расстоянием F – так как свет, отраженный от зеркала, вторично проходит через линзу. Но две линзы рядом друг с другом могут быть заменены одной с эквивалентным фокусным расстоянием F_{ekv}=\frac{F}{2}.

К задаче 3

Тогда для действительного изображения

    \[\Gamma=\frac{ F_{ekv}}{d- F_{ekv}}=\frac{\frac{F}{2}}{d-\frac{F}{2}}=\frac{F}{2d-F}\]

А для мнимого

    \[2\Gamma=\frac{ F}{ F-d}\]

Приравниваем:

    \[\frac{2F}{2d-F}=\frac{F}{F-d}\]

    \[2F-2d=2d-F\]

    \[3F=4d\]

    \[d=\frac{3F}{4}\]

Это расстояние принадлежит заштрихованному промежутку.

Ответ: d=\frac{3F}{4}.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *