Использование графиков при решении задач с линзами

Использование графиков при решении задач с линзами – 2

Тема этой и предыдущей статей – использование графиков при решении задач на оптику, а именно – задач с линзами.

Сначала давайте построим график, использование которого сильно облегчит решение задач.

Собирающая линза. Для нее известно, что если расстояние от предмета до линзы меньше, чем фокусное, то формула линзы

$d<F$

$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$

$f=\frac{dF}{F-d}$

А линейное увеличение

$\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{F-d}$

Если расстояние от предмета до линзы больше, чем фокусное, то формула линзы

$d>F$

$\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}$

$f=\frac{dF}{ d - F }$

А линейное увеличение

$\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{ d - F }$

Тогда график зависимости $\Gamma(d)$ имеет вид

линзы_графики1

Как видно, увеличение $\Gamma=1$ в точках $d=0$ и $d=2F$ . Обе ветви симметричны относительно асимптоты $d=F$ . И одно и то же увеличение может быть получено при двух расстояниях предмета от линзы – $d_1$ и $d_2$ .

Рассеивающая линза.

Для нее формула линзы

$-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}$

$f=\frac{dF}{F+d}$

А линейное увеличение

$\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{F+d}$

График зависимости $\Gamma(d)$ будет выглядеть так

линзы_графики2

Пользуясь этими графиками, давайте решим несколько задач.

Задача 1. Тонкая линза создаёт изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением. Оказалось, что для получения изображения с двукратным увеличением предмет нужно передвинуть либо к линзе на $x$ , либо от линзы на $2x$ . С каким увеличением изображался предмет вначале?

Отметим на графике двойное увеличение. Тогда вначале, вероятно, предмет находился на расстоянии $d_0$ , которому соответствует точка $O$ – она ближе к $d_1$ и дальше от $d_2$ .

К задаче 1

Тогда, во-первых

$2=\frac{F}{F-d_1}$

$d_1=F-\frac{F}{2}=\frac{F}{2}$

А во-вторых

$2=\frac{F}{ d_2- F }$

$d_2=F+\frac{F}{2}=\frac{3F}{2}$

Тогда

$\begin{Bmatrix}{ d_0-x=\frac{F}{2}}\\{ d_0+2x=\frac{3F}{2}}\end{matrix}$

Так как расстояние $x$ нам не интересно, избавляемся от него:

$3d_0=\frac{5F}{2}$

$d_0=\frac{5F}{6}$

Определяем увеличение

$\Gamma_0=\frac{F}{F-d_0}=\frac{F}{F-\frac{5F}{6}}=6$

Ответ: 6

Задача 2. С помощью тонкой линзы с фокусным расстоянием $F$ получено действительное изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси линзы. Если вплотную к данной линзе приложить рассеивающую линзу с фокусным расстоянием $2F$ , то размер изображения в системе не изменится по сравнению с первоначальным. На каком расстоянии от линзы находится предмет?

Линза собирающая – так как изображение действительное. Если две линзы расположены вплотную, то, как известно, их оптические силы складываются.

$D_{ekv}=D_1+D_2=\frac{1}{F}-\frac{1}{2F}=\frac{1}{2F}>0$

Таким образом, эквивалентная линза – собирающая с двойным фокусным расстоянием. Тогда для новой линзы (эквивалентной) график покажем синим цветом:

К задаче 2

$\Gamma=\frac{F}{d-F}$

$d=F+\frac{F}{\Gamma}$

$\Gamma=\frac{ F_{ekv}}{ F_{ekv}-d}$

$d= F_{ekv}-\frac{ F_{ekv}}{\Gamma}$

Следовательно,

$F+\frac{F}{\Gamma}= 2F-\frac{2F}{\Gamma}$

$\frac{3F}{\Gamma}=F$

$\Gamma=3$

$d=F+\frac{F}{3}=\frac{4F}{3}$

Ответ: $d=\frac{4F}{3}$ .

Задача 3. Плоское зеркало вплотную прижато к собирающей линзе с фокусным расстоянием $F$ . Эта система создаёт действительное изображение предмета с увеличением $\Gamma$ . Предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси линзы. Если, не меняя взаимного расположения линзы и предмета, убрать зеркало, то линза создаёт мнимое изображение предмета с увеличением $2\Gamma$ . Определите расстояние от предмета до линзы.

С точки зрения увеличения собирающая линза с прижатым к ней зеркалом эквивалентна двум собирающим линзам с фокусным расстоянием $F$ – так как свет, отраженный от зеркала, вторично проходит через линзу. Но две линзы рядом друг с другом могут быть заменены одной с эквивалентным фокусным расстоянием $F_{ekv}=\frac{F}{2}$ .