Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Геометрическая оптика, Олимпиадная физика

Использование графиков при решении задач с линзами – 2

Тема этой и предыдущей статей – использование графиков при решении задач на оптику, а именно – задач с линзами.

Сначала давайте построим график, использование которого сильно облегчит решение задач.

Собирающая линза. Для нее известно, что если расстояние от предмета до линзы меньше, чем фокусное, то формула линзы

    \[d<F\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{F-d}\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{F-d}\]

Если расстояние от предмета до линзы больше, чем фокусное, то формула линзы

    \[d>F\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{ d - F }\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{ d - F }\]

Тогда график зависимости \Gamma(d) имеет вид

Как видно, увеличение \Gamma=1 в точках d=0 и d=2F. Обе ветви симметричны относительно асимптоты d=F. И одно и то же увеличение может быть получено при двух расстояниях предмета от линзы – d_1 и d_2.

Рассеивающая линза.

Для нее формула линзы

    \[-\frac{1}{F}=\frac{1}{d}-\frac{1}{f}\]

    \[f=\frac{dF}{F+d}\]

А линейное увеличение

    \[\Gamma=\frac{f}{d}=\frac{F}{F+d}\]

График зависимости \Gamma(d) будет выглядеть так

Пользуясь этими графиками, давайте решим несколько задач.

Задача 1. Тонкая линза создаёт изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением. Оказалось, что для получения изображения с двукратным увеличением предмет нужно передвинуть либо к линзе на x, либо от линзы на 2x. С каким увеличением изображался предмет вначале?

Отметим на графике двойное увеличение. Тогда вначале, вероятно, предмет находился на расстоянии d_0, которому соответствует точка O – она ближе к d_1 и дальше от d_2.

К задаче 1

Тогда, во-первых

    \[2=\frac{F}{F-d_1}\]

    \[d_1=F-\frac{F}{2}=\frac{F}{2}\]

А во-вторых

    \[2=\frac{F}{ d_2- F }\]

    \[d_2=F+\frac{F}{2}=\frac{3F}{2}\]

Тогда

    \[\begin{Bmatrix}{ d_0-x=\frac{F}{2}}\\{ d_0+2x=\frac{3F}{2}}\end{matrix}\]

Так как расстояние x нам не интересно, избавляемся от него:

    \[3d_0=\frac{5F}{2}\]

    \[d_0=\frac{5F}{6}\]

Определяем увеличение

    \[\Gamma_0=\frac{F}{F-d_0}=\frac{F}{F-\frac{5F}{6}}=6\]

Ответ: 6

 

Задача 2. С помощью тонкой линзы с фокусным расстоянием F получено действительное изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси линзы. Если вплотную к данной линзе приложить рассеивающую линзу с фокусным расстоянием 2F, то размер изображения в системе не изменится по сравнению с первоначальным. На каком расстоянии от линзы находится предмет?

Линза собирающая – так как изображение действительное. Если две линзы расположены вплотную, то, как известно, их оптические силы складываются.

    \[D_{ekv}=D_1+D_2=\frac{1}{F}-\frac{1}{2F}=\frac{1}{2F}>0\]

Таким образом, эквивалентная линза – собирающая с двойным фокусным расстоянием. Тогда для новой линзы (эквивалентной) график покажем синим цветом:

К задаче 2

    \[\Gamma=\frac{F}{d-F}\]

    \[d=F+\frac{F}{\Gamma}\]

    \[\Gamma=\frac{ F_{ekv}}{ F_{ekv}-d}\]

    \[d= F_{ekv}-\frac{ F_{ekv}}{\Gamma}\]

Следовательно,

    \[F+\frac{F}{\Gamma}= 2F-\frac{2F}{\Gamma}\]

    \[\frac{3F}{\Gamma}=F\]

    \[\Gamma=3\]

    \[d=F+\frac{F}{3}=\frac{4F}{3}\]

Ответ: d=\frac{4F}{3}.

 

Задача 3. Плоское зеркало вплотную прижато к собирающей линзе с фокусным расстоянием F. Эта система создаёт действительное изображение предмета с увеличением \Gamma. Предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси линзы. Если, не меняя взаимного расположения линзы и предмета, убрать зеркало, то линза создаёт мнимое изображение предмета с увеличением 2\Gamma. Определите расстояние от предмета до линзы.

С точки зрения увеличения собирающая линза с прижатым к ней зеркалом эквивалентна двум собирающим линзам с фокусным расстоянием F – так как свет, отраженный от зеркала, вторично проходит через линзу. Но две линзы рядом друг с другом могут быть заменены одной с эквивалентным фокусным расстоянием F_{ekv}=\frac{F}{2}.

К задаче 3

Тогда для действительного изображения

    \[\Gamma=\frac{ F_{ekv}}{d- F_{ekv}}=\frac{\frac{F}{2}}{d-\frac{F}{2}}=\frac{F}{2d-F}\]

А для мнимого

    \[2\Gamma=\frac{ F}{ F-d}\]

Приравниваем:

    \[\frac{2F}{2d-F}=\frac{F}{F-d}\]

    \[2F-2d=2d-F\]

    \[3F=4d\]

    \[d=\frac{3F}{4}\]

Это расстояние принадлежит заштрихованному промежутку.

Ответ: d=\frac{3F}{4}.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *