Интересные способы решения некоторых уравнений

В этой статье предложены интересные уравнения и еще более интересные методы их решения.

Задача 1. Решить уравнение.

Сразу возникает мысль о замене. Какую замену ввести, чтобы максимально упростить уравнение? Давайте введем такую:

Тогда

Тогда – такая точка, сумма расстояний от которой до точки (1) и точки (-2) равна 7. Отметим точки (1) и (-2) на прямой. Между ними расстояние 3. Тогда – это удвоенное расстояние от искомых  точек  до (1) и (-2). То есть, иными словами, необходимо отступить на вправо от точки (1), и на столько же влево от точки (-2), и мы найдем , , .

Делаем обратную замену:

У этого уравнения корней нет.

– это уравнение тоже не имеет корней.

Ответ: .

Задача 2. Решить уравнение:

Снова подумаем, как нам максимально упростить уравнение, введя оптимальную замену. На этот раз ()

Тогда уравнение преобразуется к виду:

Возводим в квадрат:

Отрицательный корень – посторонний, так как – неотрицательно.

Обратная замена:

Ответ:

Задача 3. Решите систему уравнений:

Сложение –вычитание уравнений ничего не дает, выделение полных квадратов тоже не проходит. Давайте решим оба уравнения как квадратные относительно .

Первое:

Тогда

Или, упрощая и выделяя полный квадрат под корнем,

Модуль можно заменить скобкой: здесь реализуются оба знака.

Таким образом

Попробуем проделать то же самое, но с применением теоремы Виета. Тогда коэффициент – это произведение корней:

А их сумма равна ! То есть корни – вам не кажется, что так быстрее?

Решаем второе уравнение:

– сумма корней, – произведение корней. То есть корни

Теперь нам надо решить систему из двух совокупностей:

Решаем первое с третьим:

Тогда ,

Решаем первое с четвертым:

Решений нет.

Решаем второе с третьим:

Тогда ,

Наконец, второе с четвертым:

Тогда ,

Ответ: (-2;0), (-4; 2), (-3;3).

Задача 4. Решите систему уравнений:

В этом случае, в противовес предыдущему, сложение уравнений как раз даст результат:

Перепишем по-другому:

Сумма двух неотрицательных выражений равна 0 – следовательно, каждое из них равно 0, откуда

Ответ: , .