Интересные способы решения некоторых уравнений

В этой статье предложены интересные уравнения и еще более интересные методы их решения.

Задача 1. Решить уравнение.

$\mid 2\sqrt{x}+1-x \mid +\mid x-2\sqrt{x}+2 \mid=7$

Сразу возникает мысль о замене. Какую замену ввести, чтобы максимально упростить уравнение? Давайте введем такую:

$x-2\sqrt{x}=t$

Тогда

$\mid 1-t \mid +\mid t+2 \mid=7$

Тогда $t$ – такая точка, сумма расстояний от которой до точки (1) и точки (-2) равна 7. Отметим точки (1) и (-2) на прямой. Между ними расстояние 3. Тогда $7-3=4$ – это удвоенное расстояние от искомых точек $t$ до (1) и (-2). То есть, иными словами, необходимо отступить на $\frac{4}{2}$ вправо от точки (1), и на столько же влево от точки (-2), и мы найдем $t$ , $t_1=-4$ , $t_2=3$ .

Делаем обратную замену:

$x-2\sqrt{x}=-4$

У этого уравнения корней нет.

$x-2\sqrt{x}=3$

$\sqrt{x}=-1$ – это уравнение тоже не имеет корней.

$\sqrt{x}=3$

$x=9$

Ответ: $x=9$ .

Задача 2. Решить уравнение:

$\sqrt{2x^2-8x+25}-\sqrt{x^2-4x+13}=2$

Снова подумаем, как нам максимально упростить уравнение, введя оптимальную замену. На этот раз ( $t\geqslant 0$ )

$t=\sqrt{x^2-4x+13}$

$t^2= x^2-4x+13$

$2t^2=2 x^2-8x+26$

Тогда уравнение преобразуется к виду:

$\sqrt{2t^2-1}=t+2$

Возводим в квадрат:

$2t^2-1=t^2+4t+4$

$t^2-4t-5=0$

$t_1=-1; t_2=5$

Отрицательный корень – посторонний, так как $t$ – неотрицательно.

Обратная замена:

$\sqrt{x^2-4x+13}=5$

$x^2-4x+13=25$

$x^2-4x-12=0$

$x_1=6; x_2=-2$

Ответ: $x_1=6; x_2=-2$

Задача 3. Решите систему уравнений:

$\begin{Bmatrix}{x^2+xy-2y^2+8x+10y+12=0}\\{ x^2+3xy+2y^2-x+y-6=0}\end{matrix}$

Сложение –вычитание уравнений ничего не дает, выделение полных квадратов тоже не проходит. Давайте решим оба уравнения как квадратные относительно $x$ .