Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (13 (С1))

Интересные способы решения некоторых уравнений

В этой статье предложены интересные уравнения и еще более интересные методы их решения.

Задача 1. Решить уравнение.

    \[\mid 2\sqrt{x}+1-x \mid +\mid x-2\sqrt{x}+2 \mid=7\]

Сразу возникает мысль о замене. Какую замену ввести, чтобы максимально упростить уравнение? Давайте введем такую:

    \[x-2\sqrt{x}=t\]

Тогда

    \[\mid 1-t \mid +\mid t+2 \mid=7\]

Тогда t – такая точка, сумма расстояний от которой до точки (1) и точки (-2) равна 7. Отметим точки (1) и (-2) на прямой. Между ними расстояние 3. Тогда 7-3=4 – это удвоенное расстояние от искомых  точек  t до (1) и (-2). То есть, иными словами, необходимо отступить на \frac{4}{2} вправо от точки (1), и на столько же влево от точки (-2), и мы найдем t, t_1=-4, t_2=3.

Делаем обратную замену:

    \[x-2\sqrt{x}=-4\]

У этого уравнения корней нет.

    \[x-2\sqrt{x}=3\]

\sqrt{x}=-1 – это уравнение тоже не имеет корней.

    \[\sqrt{x}=3\]

    \[x=9\]

Ответ: x=9.

 

Задача 2. Решить уравнение:

    \[\sqrt{2x^2-8x+25}-\sqrt{x^2-4x+13}=2\]

Снова подумаем, как нам максимально упростить уравнение, введя оптимальную замену. На этот раз (t\geqslant 0)

    \[t=\sqrt{x^2-4x+13}\]

    \[t^2= x^2-4x+13\]

    \[2t^2=2 x^2-8x+26\]

Тогда уравнение преобразуется к виду:

    \[\sqrt{2t^2-1}=t+2\]

Возводим в квадрат:

    \[2t^2-1=t^2+4t+4\]

    \[t^2-4t-5=0\]

    \[t_1=-1; t_2=5\]

Отрицательный корень – посторонний, так как t – неотрицательно.

Обратная замена:

    \[\sqrt{x^2-4x+13}=5\]

    \[x^2-4x+13=25\]

    \[x^2-4x-12=0\]

    \[x_1=6; x_2=-2\]

Ответ: x_1=6; x_2=-2

Задача 3. Решите систему уравнений:

    \[\begin{Bmatrix}{x^2+xy-2y^2+8x+10y+12=0}\\{ x^2+3xy+2y^2-x+y-6=0}\end{matrix}\]

Сложение –вычитание уравнений ничего не дает, выделение полных квадратов тоже не проходит. Давайте решим оба уравнения как квадратные относительно x.

Первое:

    \[x^2+x(y+8)-2y^2+10y+12=0\]

Тогда

    \[x=\frac{-(y+8) \pm \sqrt{y^2+16y+64+8y^2-40y-48}}{2}\]

Или, упрощая и выделяя полный квадрат под корнем,

    \[x=\frac{-(y+8) \pm \sqrt{9y^2-24y+16}}{2}\]

    \[x=\frac{-(y+8) \pm \sqrt{(3y-4)^2}}{2}\]

    \[x=\frac{-y-8 \pm \mid 3y-4\mid}{2}\]

Модуль можно заменить скобкой: здесь реализуются оба знака.

Таким образом

    \[x_1=-2y-2; x_2=y-6\]

Попробуем проделать то же самое, но с применением теоремы Виета. Тогда коэффициент c – это произведение корней:

    \[c=-2y^2+10y+12=-2(y^2-5y-6)=-2(y+1)(y-6)\]

А их сумма равна -y-8! То есть корни x_1=-2y-2; x_2=y-6 – вам не кажется, что так быстрее?

Решаем второе уравнение:

    \[x^2+x(3y-1)+2y^2+y-6=0\]

3y-1 – сумма корней, 2y^2+y-6=(y+2)(2y-3) – произведение корней. То есть корни x_3=-y-2; x_4=-2y+3

Теперь нам надо решить систему из двух совокупностей:

    \[\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{ x=-2y-2}\\{ x=y-6}\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}{ x=-y-2}\\{ x=-2y+3}\end{matrix}}\end{matrix}\]

Решаем первое с третьим:

    \[-2y-2=-y-2\]

Тогда y=0, x=-2

Решаем первое с четвертым:

    \[-2y-2=--2y+3\]

Решений нет.

Решаем второе с третьим:

    \[y-6=-y-2\]

Тогда y=2, x=-4

Наконец, второе с четвертым:

    \[y-6=-2y+3\]

Тогда y=3, x=-3

Ответ: (-2;0), (-4; 2), (-3;3).

Задача 4. Решите систему уравнений:

    \[\begin{Bmatrix}{x^2-4x+4y+27=0}\\{ y^2+2x+8y+10=0}\end{matrix}\]

В этом случае, в противовес предыдущему, сложение уравнений как раз даст результат:

    \[x^2-4x+4y+27+ y^2+2x+8y+10=0\]

Перепишем по-другому:

    \[x^2-2x+1+ y^2+12y+36=0\]

    \[(x-1)^2+(y+6)^2=0\]

Сумма двух неотрицательных выражений равна 0 – следовательно, каждое из них равно 0, откуда

Ответ: x=1, y=-6.

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *