Интересные способы решения некоторых уравнений

[latexpage]

В этой статье предложены интересные уравнения и еще более интересные методы их решения.

Задача 1. Решить уравнение.

$$\mid 2\sqrt{x}+1-x \mid +\mid x-2\sqrt{x}+2 \mid=7$$

Сразу возникает мысль о замене. Какую замену ввести, чтобы максимально упростить уравнение? Давайте введем такую:

$$ x-2\sqrt{x}=t$$

Тогда

$$\mid 1-t \mid +\mid t+2 \mid=7$$

Тогда $t$ – такая точка, сумма расстояний от которой до точки (1) и точки (-2) равна 7. Отметим точки (1) и (-2) на прямой. Между ними расстояние 3. Тогда $7-3=4$ – это удвоенное расстояние от искомых  точек  $t$ до (1) и (-2). То есть, иными словами, необходимо отступить на $\frac{4}{2}$ вправо от точки (1), и на столько же влево от точки (-2), и мы найдем $t$, $t_1=-4$, $t_2=3$.

Делаем обратную замену:

$$ x-2\sqrt{x}=-4$$

У этого уравнения корней нет.

$$ x-2\sqrt{x}=3$$

$\sqrt{x}=-1$ – это уравнение тоже не имеет корней.

$$\sqrt{x}=3$$

$$x=9$$

Ответ: $x=9$.

Задача 2. Решить уравнение:

$$\sqrt{2x^2-8x+25}-\sqrt{x^2-4x+13}=2$$

Снова подумаем, как нам максимально упростить уравнение, введя оптимальную замену. На этот раз ($t\geqslant 0$)

$$t=\sqrt{x^2-4x+13}$$

$$t^2= x^2-4x+13$$

$$2t^2=2 x^2-8x+26$$

Тогда уравнение преобразуется к виду:

$$\sqrt{2t^2-1}=t+2$$

Возводим в квадрат:

$$2t^2-1=t^2+4t+4$$

$$t^2-4t-5=0$$

$$t_1=-1; t_2=5$$

Отрицательный корень – посторонний, так как $t$ – неотрицательно.

Обратная замена:

$$\sqrt{x^2-4x+13}=5$$

$$ x^2-4x+13=25$$

$$ x^2-4x-12=0$$

$$x_1=6; x_2=-2$$

Ответ: $x_1=6; x_2=-2$

Задача 3. Решите систему уравнений:

$$\begin{Bmatrix}{x^2+xy-2y^2+8x+10y+12=0}\\{ x^2+3xy+2y^2-x+y-6=0}\end{matrix}$$

Сложение –вычитание уравнений ничего не дает, выделение полных квадратов тоже не проходит. Давайте решим оба уравнения как квадратные относительно $x$.

Первое:

$$ x^2+x(y+8)-2y^2+10y+12=0$$

Тогда

$$x=\frac{-(y+8) \pm \sqrt{y^2+16y+64+8y^2-40y-48}}{2}$$

Или, упрощая и выделяя полный квадрат под корнем,

$$x=\frac{-(y+8) \pm \sqrt{9y^2-24y+16}}{2}$$

$$x=\frac{-(y+8) \pm \sqrt{(3y-4)^2}}{2}$$

$$x=\frac{-y-8 \pm \mid 3y-4\mid}{2}$$

Модуль можно заменить скобкой: здесь реализуются оба знака.

Таким образом

$$x_1=-2y-2; x_2=y-6$$

Попробуем проделать то же самое, но с применением теоремы Виета. Тогда коэффициент $c$ – это произведение корней:

$$c=-2y^2+10y+12=-2(y^2-5y-6)=-2(y+1)(y-6)$$

А их сумма равна $-y-8$! То есть корни $x_1=-2y-2; x_2=y-6$ – вам не кажется, что так быстрее?

Решаем второе уравнение:

$$ x^2+x(3y-1)+2y^2+y-6=0$$

$3y-1$ – сумма корней, $2y^2+y-6=(y+2)(2y-3)$ – произведение корней. То есть корни $x_3=-y-2; x_4=-2y+3$

Теперь нам надо решить систему из двух совокупностей:

$$\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{ x=-2y-2}\\{ x=y-6}\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}{ x=-y-2}\\{ x=-2y+3}\end{matrix}}\end{matrix}$$

Решаем первое с третьим:

$$-2y-2=-y-2$$

Тогда $y=0$, $x=-2$

Решаем первое с четвертым:

$$-2y-2=–2y+3$$

Решений нет.

Решаем второе с третьим:

$$y-6=-y-2$$

Тогда $y=2$, $x=-4$

Наконец, второе с четвертым:

$$y-6=-2y+3$$

Тогда $y=3$, $x=-3$

Ответ: (-2;0), (-4; 2), (-3;3).

Задача 4. Решите систему уравнений:

$$\begin{Bmatrix}{x^2-4x+4y+27=0}\\{ y^2+2x+8y+10=0}\end{matrix}$$

В этом случае, в противовес предыдущему, сложение уравнений как раз даст результат:

$$x^2-4x+4y+27+ y^2+2x+8y+10=0$$

Перепишем по-другому:

$$x^2-2x+1+ y^2+12y+36=0$$

$$(x-1)^2+(y+6)^2=0$$

Сумма двух неотрицательных выражений равна 0 – следовательно, каждое из них равно 0, откуда

Ответ: $x=1$, $y=-6$.