[latexpage]
В этой статье предложены интересные уравнения и еще более интересные методы их решения.
Задача 1. Решить уравнение.
$$\mid 2\sqrt{x}+1-x \mid +\mid x-2\sqrt{x}+2 \mid=7$$
Сразу возникает мысль о замене. Какую замену ввести, чтобы максимально упростить уравнение? Давайте введем такую:
$$ x-2\sqrt{x}=t$$
Тогда
$$\mid 1-t \mid +\mid t+2 \mid=7$$
Тогда $t$ – такая точка, сумма расстояний от которой до точки (1) и точки (-2) равна 7. Отметим точки (1) и (-2) на прямой. Между ними расстояние 3. Тогда $7-3=4$ – это удвоенное расстояние от искомых точек $t$ до (1) и (-2). То есть, иными словами, необходимо отступить на $\frac{4}{2}$ вправо от точки (1), и на столько же влево от точки (-2), и мы найдем $t$, $t_1=-4$, $t_2=3$.
Делаем обратную замену:
$$ x-2\sqrt{x}=-4$$
У этого уравнения корней нет.
$$ x-2\sqrt{x}=3$$
$\sqrt{x}=-1$ – это уравнение тоже не имеет корней.
$$\sqrt{x}=3$$
$$x=9$$
Ответ: $x=9$.
Задача 2. Решить уравнение:
$$\sqrt{2x^2-8x+25}-\sqrt{x^2-4x+13}=2$$
Снова подумаем, как нам максимально упростить уравнение, введя оптимальную замену. На этот раз ($t\geqslant 0$)
$$t=\sqrt{x^2-4x+13}$$
$$t^2= x^2-4x+13$$
$$2t^2=2 x^2-8x+26$$
Тогда уравнение преобразуется к виду:
$$\sqrt{2t^2-1}=t+2$$
Возводим в квадрат:
$$2t^2-1=t^2+4t+4$$
$$t^2-4t-5=0$$
$$t_1=-1; t_2=5$$
Отрицательный корень – посторонний, так как $t$ – неотрицательно.
Обратная замена:
$$\sqrt{x^2-4x+13}=5$$
$$ x^2-4x+13=25$$
$$ x^2-4x-12=0$$
$$x_1=6; x_2=-2$$
Ответ: $x_1=6; x_2=-2$
Задача 3. Решите систему уравнений:
$$\begin{Bmatrix}{x^2+xy-2y^2+8x+10y+12=0}\\{ x^2+3xy+2y^2-x+y-6=0}\end{matrix}$$
Сложение –вычитание уравнений ничего не дает, выделение полных квадратов тоже не проходит. Давайте решим оба уравнения как квадратные относительно $x$.
Первое:
$$ x^2+x(y+8)-2y^2+10y+12=0$$
Тогда
$$x=\frac{-(y+8) \pm \sqrt{y^2+16y+64+8y^2-40y-48}}{2}$$
Или, упрощая и выделяя полный квадрат под корнем,
$$x=\frac{-(y+8) \pm \sqrt{9y^2-24y+16}}{2}$$
$$x=\frac{-(y+8) \pm \sqrt{(3y-4)^2}}{2}$$
$$x=\frac{-y-8 \pm \mid 3y-4\mid}{2}$$
Модуль можно заменить скобкой: здесь реализуются оба знака.
Таким образом
$$x_1=-2y-2; x_2=y-6$$
Попробуем проделать то же самое, но с применением теоремы Виета. Тогда коэффициент $c$ – это произведение корней:
$$c=-2y^2+10y+12=-2(y^2-5y-6)=-2(y+1)(y-6)$$
А их сумма равна $-y-8$! То есть корни $x_1=-2y-2; x_2=y-6$ – вам не кажется, что так быстрее?
Решаем второе уравнение:
$$ x^2+x(3y-1)+2y^2+y-6=0$$
$3y-1$ – сумма корней, $2y^2+y-6=(y+2)(2y-3)$ – произведение корней. То есть корни $x_3=-y-2; x_4=-2y+3$
Теперь нам надо решить систему из двух совокупностей:
$$\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{ x=-2y-2}\\{ x=y-6}\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}{ x=-y-2}\\{ x=-2y+3}\end{matrix}}\end{matrix}$$
Решаем первое с третьим:
$$-2y-2=-y-2$$
Тогда $y=0$, $x=-2$
Решаем первое с четвертым:
$$-2y-2=–2y+3$$
Решений нет.
Решаем второе с третьим:
$$y-6=-y-2$$
Тогда $y=2$, $x=-4$
Наконец, второе с четвертым:
$$y-6=-2y+3$$
Тогда $y=3$, $x=-3$
Ответ: (-2;0), (-4; 2), (-3;3).
Задача 4. Решите систему уравнений:
$$\begin{Bmatrix}{x^2-4x+4y+27=0}\\{ y^2+2x+8y+10=0}\end{matrix}$$
В этом случае, в противовес предыдущему, сложение уравнений как раз даст результат:
$$x^2-4x+4y+27+ y^2+2x+8y+10=0$$
Перепишем по-другому:
$$x^2-2x+1+ y^2+12y+36=0$$
$$(x-1)^2+(y+6)^2=0$$
Сумма двух неотрицательных выражений равна 0 – следовательно, каждое из них равно 0, откуда
Ответ: $x=1$, $y=-6$.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...