Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Уравнения (13 (С1))

Интересные способы решения некоторых уравнений

В этой статье предложены интересные уравнения и еще более интересные методы их решения.

Задача 1. Решить уравнение.

   

Сразу возникает мысль о замене. Какую замену ввести, чтобы максимально упростить уравнение? Давайте введем такую:

   

Тогда

   

Тогда – такая точка, сумма расстояний от которой до точки (1) и точки (-2) равна 7. Отметим точки (1) и (-2) на прямой. Между ними расстояние 3. Тогда – это удвоенное расстояние от искомых  точек  до (1) и (-2). То есть, иными словами, необходимо отступить на вправо от точки (1), и на столько же влево от точки (-2), и мы найдем , , .

Делаем обратную замену:

   

У этого уравнения корней нет.

   

– это уравнение тоже не имеет корней.

   

   

Ответ: .

 

Задача 2. Решить уравнение:

   

Снова подумаем, как нам максимально упростить уравнение, введя оптимальную замену. На этот раз ()

   

   

   

Тогда уравнение преобразуется к виду:

   

Возводим в квадрат:

   

   

   

Отрицательный корень – посторонний, так как – неотрицательно.

Обратная замена:

   

   

   

   

Ответ:

Задача 3. Решите систему уравнений:

   

Сложение –вычитание уравнений ничего не дает, выделение полных квадратов тоже не проходит. Давайте решим оба уравнения как квадратные относительно .

Первое:

   

Тогда

   

Или, упрощая и выделяя полный квадрат под корнем,

   

   

   

Модуль можно заменить скобкой: здесь реализуются оба знака.

Таким образом

   

Попробуем проделать то же самое, но с применением теоремы Виета. Тогда коэффициент – это произведение корней:

   

А их сумма равна ! То есть корни – вам не кажется, что так быстрее?

Решаем второе уравнение:

   

– сумма корней, – произведение корней. То есть корни

Теперь нам надо решить систему из двух совокупностей:

   

Решаем первое с третьим:

   

Тогда ,

Решаем первое с четвертым:

   

Решений нет.

Решаем второе с третьим:

   

Тогда ,

Наконец, второе с четвертым:

   

Тогда ,

Ответ: (-2;0), (-4; 2), (-3;3).

Задача 4. Решите систему уравнений:

   

В этом случае, в противовес предыдущему, сложение уравнений как раз даст результат:

   

Перепишем по-другому:

   

   

Сумма двух неотрицательных выражений равна 0 – следовательно, каждое из них равно 0, откуда

Ответ: , .

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *