Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3))

Интересные неравенства типа заданий 15 профильного ЕГЭ


1.Решить неравенство.

    \[\frac{ 4\log_{0,3} x+1}{ \log_{0,3} x+1}\leqslant\log_{0,3} x+1\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x+1\neq 0}\\{x>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x\neq -1}\\{x>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x\neq \log_{0,3} {\frac{10}{3}}}\\{x>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ x\neq  {\frac{10}{3}}}\\{x>0}\end{matrix}\]

 

Обозначим \log_{0,3} x=a, тогда

    \[\frac{ 4a+1}{a+1}\leqslant {a+1}\]

    \[\frac{ 4a+1-(a+1)^2}{a+1}\leqslant 0\]

    \[\frac{-a^2+2a}{a+1}\leqslant 0\]

    \[\frac{a(2-a)}{a+1}\leqslant 0\]

Решение этого неравенства представлено на рисунке:

Решение неравенства

Теперь производим обратную замену:

    \[\log_{0,3} x \leqslant 0\]

    \[\log_{0,3} x \leqslant \log_{0,3} 1\]

    \[x \geqslant 1\]

И

    \[\log_{0,3} x \geqslant 2\]

    \[\log_{0,3} x \geqslant \log_{0,3} {0,09}\]

    \[x \leqslant 0,09\]

И

    \[\log_{0,3} x > -1\]

    \[\log_{0,3} x > \log_{0,3} {\frac{10}{3}}\]

    \[x \leqslant \frac{10}{3}\]

 

С учетом ОДЗ:

Решение и ОДЗ неравенства

Ответ: x \in (0; 0,09] \cup [1; \frac{10}{3})

 

2.Решить неравенство.

    \[\log_{\frac{1}{x^2}} \frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)} \geqslant \frac{1}{2}\]

ОДЗ:

    \[\begin{Bmatrix}{ x\neq 0}\\{\frac{1}{x^2} \neq 1}\\{\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}>0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{ x\neq 0}\\{x \neq \pm 1}\\{x>-1}\\{x<2}\\{x>5}\end{matrix}\]

В итоге, объединив все условия, получили следующую ОДЗ:

    \[x \in (-1;0) \cup (0;1) \cup (1;2) \cup (5; +\infty)\]

ОДЗ неравенства

Решение неравенства:

    \[\log_{\frac{1}{x^2}} {\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}\geqslant \log_{\frac{1}{x^2}} {\sqrt{\frac{1}{x^2}}}\]

    \[\log_{\frac{1}{x^2}} {\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}\geqslant \log_{\frac{1}{x^2}} {\left|\frac{1}{x}\right|}}\]

Рассмотрим два случая: а) когда основание логарифма больше 0, но меньше 1, и б) когда оно больше 1.

а) Основание логарифма \frac{1}{x^2}<1.

Тогда \frac{1-x^2}{x^2}<0\frac{(1-x)(1+x)}{x^2}<0x \in (-\infty;-1) \cup (1; +\infty).

ОДЗ

    \[\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}\leqslant\left|\frac{1}{x}\right|\]

Наше неравенство при x<0 приобретет вид (раскрываем модуль):

    \[\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}+\frac{1}{x} \leqslant 0\]

    \[\frac{2x(x-2)- (x+1)(x-5)}{x(x+1)(x-5)}} \leqslant 0\]

    \[\frac{3x^2-8x-5}{x(x+1)(x-5)} \leqslant 0\]

    \[\frac{3(x-\frac{4-\sqrt{31}}{3})(x+\frac{4+\sqrt{31}}{3})}{x(x+1)(x-5)} \leqslant 0\]

Решение

Расставив знаки интервалов, получаем решение (при x< 0!): x \in  (-\infty;-1)\cup [\frac{4-\sqrt{31}}{3};0) – ни одна часть решения не проходит либо по ОДЗ, либо из-за того, что не принадлежит нужному интервалу.

Теперь раскроем модуль при x>0, неравенство приобретет вид:

    \[\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}-\frac{1}{x} \leqslant 0\]

    \[\frac{2x(x-2)- (x+1)(x-5)}{x(x+1)(x-5)}} \leqslant 0\]

    \[\frac{x^2+5}{x(x+1)(x-5)} \leqslant 0\]

Так как числитель всегда положителен, то неравенство можно записать:

    \[x(x+1)(x-5) < 0\]

Неравенство стало строгим, так как точки – полюса функции (корни знаменателя).

Решение этого неравенства x \in  (-\infty;-1) \cup (0;5), но, так как сейчас наложено условие x>1, то решение будет x \in  (1;5). Теперь вспоминаем про ОДЗ и накладываем и его условия: x \in  (1;2)

Решение

б) Основание логарифма \frac{1}{x^2}>1.

Тогда \frac{1-x^2}{x^2}>0\frac{(1-x)(1+x)}{x^2}>0x \in (-1;0) \cup (0; 1).

Второй случай

    \[\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}\geqslant\left|\frac{1}{x}\right|\]

Раскрываем модуль.

Неравенство при -1<x<0 приобретет вид:

    \[\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}+\frac{1}{x} \geqslant 0\]

    \[\frac{2x(x-2)- (x+1)(x-5)}{x(x+1)(x-5)}} \geqslant 0\]

    \[\frac{3x^2-8x-5}{x(x+1)(x-5)} \geqslant 0\]

    \[\frac{3(x-\frac{4-\sqrt{31}}{3})(x+\frac{4+\sqrt{31}}{3})}{x(x+1)(x-5)} \geqslant 0\]

Решение неравенства

Расставив знаки интервалов, получаем решение (при -1<x<0!): x \in (-1; \frac{4-\sqrt{31}}{3}]– это решение полностью удовлетворяет ОДЗ.

Неравенство при 0<x<1 приобретет вид:

    \[\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}-\frac{1}{x} \geqslant 0\]

    \[\frac{2x(x-2)+ (x+1)(x-5)}{x(x+1)(x-5)}} \geqslant 0\]

    \[\frac{x^2+5}{x(x+1)(x-5)} \geqslant 0\]

Так как числитель всегда положителен, то неравенство можно записать:

    \[x(x+1)(x-5) > 0\]

Неравенство стало строгим, так как точки – полюса функции (корни знаменателя).

Решение

Решение этого неравенства x \in  (-1;0) \cup (5;+\infty), но, так как сейчас наложено условие 0<x<1, то решений не будет.

Подводим итог: x \in (-1; \frac{4-\sqrt{31}}{3}] \cup (1;2)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *