Интересные неравенства типа заданий 15 профильного ЕГЭ

1.Решить неравенство.

$\frac{ 4\log_{0,3} x+1}{ \log_{0,3} x+1}\leqslant\log_{0,3} x+1$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x+1\neq 0}\\{x>0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x\neq -1}\\{x>0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x\neq \log_{0,3} {\frac{10}{3}}}\\{x>0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{ x\neq {\frac{10}{3}}}\\{x>0}\end{matrix}$

Обозначим $\log_{0,3} x=a$ , тогда

$\frac{ 4a+1}{a+1}\leqslant {a+1}$

$\frac{ 4a+1-(a+1)^2}{a+1}\leqslant 0$

$\frac{-a^2+2a}{a+1}\leqslant 0$

$\frac{a(2-a)}{a+1}\leqslant 0$

Решение этого неравенства представлено на рисунке:

Решение неравенства

Теперь производим обратную замену:

$\log_{0,3} x \leqslant 0$

$\log_{0,3} x \leqslant \log_{0,3} 1$

$x \geqslant 1$

$\log_{0,3} x \geqslant 2$

$\log_{0,3} x \geqslant \log_{0,3} {0,09}$

$x \leqslant 0,09$

$\log_{0,3} x > -1$

$\log_{0,3} x > \log_{0,3} {\frac{10}{3}}$

$x \leqslant \frac{10}{3}$

С учетом ОДЗ:

Решение и ОДЗ неравенства

Ответ: $x \in (0; 0,09] \cup [1; \frac{10}{3})$

2.Решить неравенство.

$\log_{\frac{1}{x^2}} \frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)} \geqslant \frac{1}{2}$

ОДЗ:

$\begin{Bmatrix}{ x\neq 0}\\{\frac{1}{x^2} \neq 1}\\{\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}>0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{ x\neq 0}\\{x \neq \pm 1}\\{x>-1}\\{x<2}\\{x>5}\end{matrix}$

В итоге, объединив все условия, получили следующую ОДЗ:

$x \in (-1;0) \cup (0;1) \cup (1;2) \cup (5; +\infty)$

ОДЗ неравенства

Решение неравенства:

$\log_{\frac{1}{x^2}} {\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}\geqslant \log_{\frac{1}{x^2}} {\sqrt{\frac{1}{x^2}}}$

$\log_{\frac{1}{x^2}} {\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}\geqslant \log_{\frac{1}{x^2}} {\left|\frac{1}{x}\right|}}$

Рассмотрим два случая: а) когда основание логарифма больше 0, но меньше 1, и б) когда оно больше 1.

а) Основание логарифма $\frac{1}{x^2}<1$ .

Тогда $\frac{1-x^2}{x^2}<0$ , $\frac{(1-x)(1+x)}{x^2}<0$ , $x \in (-\infty;-1) \cup (1; +\infty)$ .

ОДЗ

$\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}\leqslant\left|\frac{1}{x}\right|$

Наше неравенство при $x<0$ приобретет вид (раскрываем модуль):

$\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}+\frac{1}{x} \leqslant 0$

$\frac{2x(x-2)- (x+1)(x-5)}{x(x+1)(x-5)}} \leqslant 0$

$\frac{3x^2-8x-5}{x(x+1)(x-5)} \leqslant 0$

$\frac{3(x-\frac{4-\sqrt{31}}{3})(x+\frac{4+\sqrt{31}}{3})}{x(x+1)(x-5)} \leqslant 0$

Решение

Расставив знаки интервалов, получаем решение (при $x< 0$ !): $x \in (-\infty;-1)\cup [\frac{4-\sqrt{31}}{3};0)$ – ни одна часть решения не проходит либо по ОДЗ, либо из-за того, что не принадлежит нужному интервалу.

Теперь раскроем модуль при $x>0$ , неравенство приобретет вид:

$\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}-\frac{1}{x} \leqslant 0$

$\frac{2x(x-2)- (x+1)(x-5)}{x(x+1)(x-5)}} \leqslant 0$

$\frac{x^2+5}{x(x+1)(x-5)} \leqslant 0$

Так как числитель всегда положителен, то неравенство можно записать:

$x(x+1)(x-5) < 0$

Неравенство стало строгим, так как точки – полюса функции (корни знаменателя).

Решение этого неравенства $x \in (-\infty;-1) \cup (0;5)$ , но, так как сейчас наложено условие $x>1$ , то решение будет $x \in (1;5)$ . Теперь вспоминаем про ОДЗ и накладываем и его условия: $x \in (1;2)$