Интересные неравенства типа заданий 15 профильного ЕГЭ

1.Решить неравенство.

ОДЗ:

Обозначим , тогда

Решение этого неравенства представлено на рисунке:

Решение неравенства

Теперь производим обратную замену:

И

И

С учетом ОДЗ:

Решение и ОДЗ неравенства

Ответ:

2.Решить неравенство.

ОДЗ:

В итоге, объединив все условия, получили следующую ОДЗ:

ОДЗ неравенства

Решение неравенства:

Рассмотрим два случая: а) когда основание логарифма больше 0, но меньше 1, и б) когда оно больше 1.

а) Основание логарифма .

Тогда ,  ,  .

ОДЗ

Наше неравенство при приобретет вид (раскрываем модуль):

Решение

Расставив знаки интервалов, получаем решение (при !): – ни одна часть решения не проходит либо по ОДЗ, либо из-за того, что не принадлежит нужному интервалу.

Теперь раскроем модуль при , неравенство приобретет вид:

Так как числитель всегда положителен, то неравенство можно записать:

Неравенство стало строгим, так как точки – полюса функции (корни знаменателя).

Решение этого неравенства , но, так как сейчас наложено условие , то решение будет . Теперь вспоминаем про ОДЗ и накладываем и его условия:

Решение

б) Основание логарифма .

Тогда ,  ,  .

Второй случай

Раскрываем модуль.

Неравенство при приобретет вид:

Решение неравенства

Расставив знаки интервалов, получаем решение (при !): – это решение полностью удовлетворяет ОДЗ.

Неравенство при приобретет вид:

Так как числитель всегда положителен, то неравенство можно записать:

Неравенство стало строгим, так как точки – полюса функции (корни знаменателя).

Решение

Решение этого неравенства , но, так как сейчас наложено условие , то решений не будет.

Подводим итог: