Несколько интересных уравнений попалось, давайте разберем вместе их решение.
Задание 1. Решить уравнение.
Раскрывать скобки сразу и все – нецелесообразно. Проверим, не раскладывается ли второе слагаемое на множители.
Тогда уравнение примет вид:
Выносим общий множитель за скобки:
Вот теперь раскроем скобки (внутри второй скобки):
У этого второго, полученного нами, сомножителя, положительный первый коэффициент и при этом отрицательный дискриминант, поэтому он никогда не принимает значение 0, он всегда больше 0. Тогда корень только один: .
Ответ: -5
Задание 2. Решить уравнение.
Здесь мы имеем дело с так называемым возвратным уравнением. Уравнение это, на самом-то деле, 4 степени. Возвратными называются уравнения, коэффициенты которых, одинаково удаленные от начала и конца, равны. Надо сделать замену переменной, вопрос – что будем заменять? В таких уравнениях, которые достаточно часто встречаются, нужно делать замену , или, если есть численные коэффициенты, не равные 1, то
. У нас «простой» случай, замена будет
. Да, но остается еще
– что с ним делать? Эти слагаемые тоже надо заменить, только придется повозиться. Возведем
в квадрат:
Или
Тогда, с учетом таких замен, получаем новое уравнение:
По Виету корни
Обратная замена:
или
Тогда
, или
Или:
– все полученные корни не равны 0, если бы получился такой корень, он не подошел бы по ОДЗ.
Ответ: ,
Задание 3. Решить систему уравнений:
Присутствие модуля может напугать кого-то из вас, однако мы про него пока просто забудем, и будем решать эту систему так, как мы бы это делали в отсутствие знака модуля.
Нам желательно получить однородное уравнение, то есть такое, чтобы в правой части его был 0, поэтому мы домножим оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении или вычитании уравнений они сократились бы и правая часть стала бы равной 0. Первое уравнение домножаем на 5, а второе – на 2.
Вычитаем из первого уравнения второе:
Убедимся в том, что не является корнем системы, для этого подставим 0 вместо y и проверим, получается ли верное равенство – убеждаемся в том, что 0 – не корень. Тогда разделим все уравнение на
:
Сокращаем:
Введем новую переменную:
Сумма коэффициентов равна 0, поэтому первый корень 1, а второй – c/a:
Обратная замена: ,
Теперь, когда мы выразили одну переменную через другую, подставим в исходное уравнение, например, во второе:
Вот теперь самое время вспомнить о модуле.
Тогда ,
Так как , то у не может принимать отрицательные значения, то есть решение
отпадает.
Второй корень – здесь у может принимать только отрицательные значения. Снова произведем подстановку:
Тогда , и, следовательно,
Ответ:
Комментариев - 2
Кстати, задание 1 можно решить и логически. Изначально дана сумма квадратов двух выражений, при этом эта сумма равна 0. Это может произойти в том случае, если оба слагаемых одинаковы по модулю, но разные по знаку или оба одновременно равны 0. Отрицательным квадрат быть не может, значит в нашем распоряжении только один вариант – найти такой корень, при котором обе скобки одновременно превратятся в 0. Решаем квадратные уравнения в левой и правой скобке и выбираем общий для обоих скобок ответ. Это число -5.
Неплохо, но только и так и так – не множители раскладывать.