Интересные уравнения и их системы

Несколько интересных уравнений попалось, давайте разберем вместе их решение.

Задание 1. Решить уравнение.

Раскрывать скобки сразу и все – нецелесообразно. Проверим, не раскладывается ли второе слагаемое на множители.

Тогда уравнение примет вид:

Выносим общий множитель за скобки:

Вот теперь раскроем скобки (внутри второй скобки):

У этого второго, полученного нами, сомножителя, положительный первый коэффициент и при этом отрицательный дискриминант, поэтому он никогда не принимает значение 0, он всегда больше 0. Тогда корень только один: .

Ответ: -5

Задание 2. Решить уравнение.

Здесь мы имеем дело с так называемым возвратным уравнением. Уравнение это, на самом-то деле, 4 степени. Возвратными называются уравнения, коэффициенты которых, одинаково удаленные от начала и конца, равны. Надо сделать замену переменной, вопрос – что будем заменять? В таких уравнениях, которые достаточно часто встречаются, нужно делать замену , или, если есть численные коэффициенты, не равные 1, то . У нас «простой» случай, замена будет . Да, но остается еще – что с ним делать? Эти слагаемые тоже надо заменить, только придется повозиться. Возведем в квадрат:

Или

Тогда, с учетом таких замен, получаем новое уравнение:

По Виету корни

Обратная замена:

или

Тогда

, или 

Или:

– все полученные корни не равны 0, если бы получился такой корень, он не подошел бы по ОДЗ.

Ответ: ,

Задание 3. Решить систему уравнений:

Присутствие модуля может напугать кого-то из вас, однако мы про него пока просто забудем, и будем решать эту систему так, как мы бы это делали в отсутствие знака модуля.

Нам желательно получить однородное уравнение, то есть такое, чтобы в правой части его был 0, поэтому мы домножим оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении или вычитании уравнений они сократились бы и правая часть стала бы равной 0. Первое уравнение домножаем на 5, а второе – на 2.

Вычитаем из первого уравнения второе:

Убедимся в том, что не является корнем системы, для этого подставим 0 вместо y  и проверим, получается ли верное равенство – убеждаемся в том, что 0 – не корень. Тогда разделим все уравнение на :

Сокращаем:

Введем новую переменную:

Сумма коэффициентов равна 0, поэтому первый корень 1, а второй – c/a:

Обратная замена: ,

Теперь, когда мы выразили одну переменную через другую, подставим в исходное уравнение, например, во второе:

Вот теперь самое время вспомнить о модуле.

Тогда ,  

Так как , то у не может принимать отрицательные значения, то есть решение отпадает.

Второй корень – здесь у может принимать только отрицательные значения. Снова произведем подстановку:

Тогда , и, следовательно,

Ответ: