Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 13 (С1), 9 класс, Математика, ОГЭ 21 (ГИА С1)

Интересные уравнения и их системы



Несколько интересных уравнений попалось, давайте разберем вместе их решение.

Задание 1. Решить уравнение.

(x^2-25)^2+(x^2+3x-10)^2=0

Раскрывать скобки сразу и все – нецелесообразно. Проверим, не раскладывается ли второе слагаемое на множители. D=b^2-4ac=3^2-4*(-10)=49

x_{1,2}={-b pm sqrt{D}}/{2a}={-3 pm sqrt{49}}/2

x_1=2, x_2=-5

Тогда уравнение примет вид:

(x-5)^2*(x+5)^2+(x-2)^2*(x+5)^2=0

Выносим общий множитель за скобки:

(x+5)^2((x-5)^2+(x-2)^2)=0

Вот теперь раскроем скобки (внутри второй скобки):

(x+5)^2*(2x^2+6x+29)=0

У этого второго, полученного нами, сомножителя, положительный первый коэффициент и при этом отрицательный дискриминант, поэтому он никогда не принимает значение 0, он всегда больше 0. Тогда корень только один: x=-5.

Ответ: -5

 

Задание 2. Решить уравнение.

x^2+x+1/x+1/{x^2}=4

Здесь мы имеем дело с так называемым возвратным уравнением. Уравнение это, на самом-то деле, 4 степени. Возвратными называются уравнения, коэффициенты которых, одинаково удаленные от начала и конца, равны. Надо сделать замену переменной, вопрос – что будем заменять? В таких уравнениях, которые достаточно часто встречаются, нужно делать замену x+1/x=t, или, если есть численные коэффициенты, не равные 1, то a(x+1/x)=t. У нас «простой» случай, замена будет x+1/x=t. Да, но остается еще x^2+1/{x^2} – что с ним делать? Эти слагаемые тоже надо заменить, только придется повозиться. Возведем x+1/x=t в квадрат:

(x+1/x)^2=t^2

x^2+2x*{1/x}+1/{x^2}=t^2

x^2+2+1/{x^2}=t^2

Или x^2+1/{x^2}=t^2-2

Тогда, с учетом таких замен, получаем новое уравнение:

t^2-2+t=4

t^2+t-6=0

По Виету корни t_1=2, t_2=-3

Обратная замена:

x+1/x=2 или x+1/x=-3

Тогда x+1/x-2=0

x^2+1-2x=0

(x-1)^2=0, или x=1

Или:

x^2+1+3x=0

D=b^2-4ac=3^2-4=5

x_{2,3}={-b pm sqrt{D}}/{2a}={-3 pm sqrt{5}}/2 – все полученные корни не равны 0, если бы получился такой корень, он не подошел бы по ОДЗ.

Ответ: x_1=1, x_{2,3}={-3 pm sqrt{5}}/2

 



Задание 3. Решить систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2+4{delim{|}{x}{|}}y-3y^2=2} {x^2-{delim{|}{x}{|}}y+5y^2=5}}}{ }

Присутствие модуля может напугать кого-то из вас, однако мы про него пока просто забудем, и будем решать эту систему так, как мы бы это делали в отсутствие знака модуля.

Нам желательно получить однородное уравнение, то есть такое, чтобы в правой части его был 0, поэтому мы домножим оба уравнения на такие числа, чтобы при сложении или вычитании уравнений они сократились бы и правая часть стала бы равной 0. Первое уравнение домножаем на 5, а второе – на 2.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{5x^2+20{delim{|}{x}{|}}y-15y^2=10} {2x^2- 2{delim{|}{x}{|}}y+10y^2=10}}}{ }

Вычитаем из первого уравнения второе:

3x^2+22{delim{|}{x}{|}}y-25y^2=0

Убедимся в том, что y=0 не является корнем системы, для этого подставим 0 вместо y  и проверим, получается ли верное равенство – убеждаемся в том, что 0 – не корень. Тогда разделим все уравнение на y^2:

{3x^2}/{y^2}+{22{delim{|}{x}{|}}y}/{y^2}-25{y^2}/{y^2}=0

Сокращаем:

{3x^2}/{y^2}+{22{delim{|}{x}{|}}}/y-25=0

Введем новую переменную: a={delim{|}{x}{|}}/y

3a^2+22a-25=0

Сумма коэффициентов равна 0, поэтому первый корень 1, а второй – c/a:

a_1=1, a_2=-25/3

Обратная замена: {delim{|}{x}{|}}/y=1, delim{|}{x}{|}=y

Теперь, когда мы выразили одну переменную через другую, подставим в исходное уравнение, например, во второе:

2x^2- 2{delim{|}{x}{|}}y+10y^2=10

2y^2- 2y^2+10y^2=10

y^2=1

y=1

Вот теперь самое время вспомнить о модуле.

Тогда delim{|}{x}{|}=1,  x_1=1, x_2=-1

Так как delim{|}{x}{|}=y, то у не может принимать отрицательные значения, то есть решение y=-1 отпадает.

Второй корень delim{|}{x}{|}/y=-25/3 – здесь у может принимать только отрицательные значения. Снова произведем подстановку:

2x^2- 2{delim{|}{x}{|}}y+10y^2=10

2(-25/3)^2y^2- 2(-25/3)y^2+10y^2=10

{1250/9}y^2+{50/3}y^2+10y^2=10

{1250/9}y^2+{150/9}y^2+{90/9}y^2=10

{1490/9}y^2=10

{149/9}y^2=1

y^2={9/149}

y=-3/{sqrt{149}}

Тогда delim{|}{x}{|}=-{25/3}y=-{25/3}*(-3/{sqrt{149}})=25/{sqrt{149}}, и, следовательно,

x= pm 25/{sqrt{149}}

Ответ: x=1, y=1

x=-1, y=1

x=25/{sqrt{149}}, y=-3/{sqrt{149}}

x=-25/{sqrt{149}}, y=-3/{sqrt{149}}



Комментариев - 2

  • |

    Кстати, задание 1 можно решить и логически. Изначально дана сумма квадратов двух выражений, при этом эта сумма равна 0. Это может произойти в том случае, если оба слагаемых одинаковы по модулю, но разные по знаку или оба одновременно равны 0. Отрицательным квадрат быть не может, значит в нашем распоряжении только один вариант – найти такой корень, при котором обе скобки одновременно превратятся в 0. Решаем квадратные уравнения в левой и правой скобке и выбираем общий для обоих скобок ответ. Это число -5.

    Ответить
    • Анна
      |

      Неплохо, но только и так и так – не множители раскладывать.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *