Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (12 (С1))

Интересное тригонометрическое уравнение

[latexpage]

Сегодня – интересное тригонометрическое уравнение. Нашла в группе ВК, на которую я подписана.

Задача. Решить уравнение.

$$\sin x=\operatorname{tg}12^{\circ}\cdot \operatorname{tg}48^{\circ} \cdot  \operatorname{tg}54^{\circ} \cdot  \operatorname{tg}72^{\circ}$$

Решение. [spoiler]

Известна формула тангенса суммы:

$$\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{tg} \beta }$$

Для двух равных углов

$$\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}$$

Воспользуемся этой формулой, чтобы получить тангенс $3\alpha$:

$$\operatorname{tg}(\alpha+2\alpha)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg} 2\alpha}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{tg} 2\alpha }=\frac{\operatorname{tg}\alpha +\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}}{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}}$$

 

$$\operatorname{tg}(3\alpha)=\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg^3}\alpha+2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}\div \frac{1-\operatorname{tg^2}\alpha-2\operatorname{tg^2}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}=\frac{3\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg^3}\alpha }{1-3\operatorname{tg^2}\alpha}}$$

 

$$\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \frac{3-\operatorname{tg^2}\alpha }{1-3\operatorname{tg^2}\alpha}}$$

Теперь можно воспользоваться формулой разности квадратов:

$$\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \frac{(\sqrt{3}-\operatorname{tg}\alpha)( \sqrt{3}+\operatorname{tg}\alpha )}{(1-\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha)(1+\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha)}$$

$$\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}-\operatorname{tg}\alpha}{1+\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha}}\cdot \frac{  \sqrt{3}+\operatorname{tg}\alpha }{ 1-\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha}}$$

Получили произведение тангенса самого угла на сумму тангенсов данного угла и угла в $60^{\circ}$, а также на разность тангенсов данного угла и угла в $60^{\circ}$

$$\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}(\alpha+60^{\circ})\cdot \operatorname{tg}(\alpha -60^{\circ})$$

То есть, возвращаясь к уравнению,

$$\operatorname{tg}12^{\circ}\cdot \operatorname{tg}48^{\circ} \cdot  \operatorname{tg}72^{\circ}=\operatorname{tg}12^{\circ}\cdot \operatorname{tg}(60^{\circ}-12^{\circ}) \cdot  \operatorname{tg}(60^{\circ}+12^{\circ})=\operatorname{tg}36^{\circ}$$

И

$$\sin x=\operatorname{tg}36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}54^{\circ} $$

$$\sin x=1$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z$$

Ответ: $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z$

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *