Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (13 (С1))

Интересное тригонометрическое уравнение

Сегодня – интересное тригонометрическое уравнение. Нашла в группе ВК, на которую я подписана.

Задача. Решить уравнение.

    \[\sin x=\operatorname{tg}12^{\circ}\cdot \operatorname{tg}48^{\circ} \cdot  \operatorname{tg}54^{\circ} \cdot  \operatorname{tg}72^{\circ}\]

Решение. [spoiler]

Известна формула тангенса суммы:

    \[\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg} \beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{tg} \beta }\]

Для двух равных углов

    \[\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}\]

Воспользуемся этой формулой, чтобы получить тангенс 3\alpha:

    \[\operatorname{tg}(\alpha+2\alpha)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg} 2\alpha}{1-\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{tg} 2\alpha }=\frac{\operatorname{tg}\alpha +\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}}{1-\operatorname{tg}\alpha \cdot\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}}\]

 

    \[\operatorname{tg}(3\alpha)=\frac{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg^3}\alpha+2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}\div \frac{1-\operatorname{tg^2}\alpha-2\operatorname{tg^2}\alpha}{1-\operatorname{tg^2}\alpha}=\frac{3\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg^3}\alpha }{1-3\operatorname{tg^2}\alpha}}\]

 

    \[\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \frac{3-\operatorname{tg^2}\alpha }{1-3\operatorname{tg^2}\alpha}}\]

Теперь можно воспользоваться формулой разности квадратов:

    \[\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \frac{(\sqrt{3}-\operatorname{tg}\alpha)( \sqrt{3}+\operatorname{tg}\alpha )}{(1-\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha)(1+\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha)}\]

    \[\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}-\operatorname{tg}\alpha}{1+\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha}}\cdot \frac{  \sqrt{3}+\operatorname{tg}\alpha }{ 1-\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha}}\]

Получили произведение тангенса самого угла на сумму тангенсов данного угла и угла в 60^{\circ}, а также на разность тангенсов данного угла и угла в 60^{\circ}

    \[\operatorname{tg}(3\alpha)= \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}(\alpha+60^{\circ})\cdot \operatorname{tg}(\alpha -60^{\circ})\]

То есть, возвращаясь к уравнению,

    \[\operatorname{tg}12^{\circ}\cdot \operatorname{tg}48^{\circ} \cdot  \operatorname{tg}72^{\circ}=\operatorname{tg}12^{\circ}\cdot \operatorname{tg}(60^{\circ}-12^{\circ}) \cdot  \operatorname{tg}(60^{\circ}+12^{\circ})=\operatorname{tg}36^{\circ}\]

И

    \[\sin x=\operatorname{tg}36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}54^{\circ}\]

    \[\sin x=1\]

    \[x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z\]

Ответ: x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *