Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 18 (С5)

Интересная задача с параметром про окружности.

Здравствуйте, дорогие читатели! Сегодня мне попалась красивая задача с параметром, и хотелось бы поделиться с вами решением.

Задача такая: найти положительное значение параметра a, такое, чтобы система имела единственное  решение.

 Сразу можно заметить, что оба уравнения – это уравнения окружностей. У первой радиус равен трем, у второй – a. Интересно, что в уравнении первой окружности присутствует модуль х. То есть на самом-то деле это не одна, а две окружности, симметрично расположенные относительно оси у и имеющие центры в точках (5, 4) и (-5, 4) и радиус три. В этом и есть маленькая хитрость этой задачи, поскольку, если честно, задача-то совсем простая. Осталось догадаться, что вторая окружность радиуса a с центром в точке (-2, 0) может иметь одну точку касания с обеими этими окружностями, только эта точка должна быть единственной по условию задачи. Посмотрим на рисунок:

 

Видим, что решений два: либо красная окружность касается левой синей “внутри”, либо красная окружность имеет такой радиус, чтобы касаться правой синей “снаружи”. Любая другая точка касания не будет единственной: в других случаях красная окружность обязательно заденет или пересечет обе синие окружности, а это не соответствует условию задачи.

Найдем радиусы красных окружностей, в этом нам поможет теорема Пифагора (зеленые треугольники). Тогда расстояние между центрами малой  красной окружности и синей (левой):

 

 

 

Чтобы найти искомый радиус, надо вычесть из данного расстояния 3:

Рассмотрим теперь второй треугольник и найдем расстояние между центрами большей красной окружности и синей (правой):

Не забудем, что к этому расстоянию надо добавить радиус синей окружности:

Итак, ответ:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *