Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (13 (С1))

Интересная система с тригонометрическим уравнением

Иногда на глаза попадаются такие вот не совсем уж банальные случаи – хотя случай-то простой – что хочется их решить и поделиться решением. Выглядит, да, пугающе. Но это только вид такой страшный – а уравнение совсем простое. Вот вам пример, когда не надо пугаться вида задания: “Ну, это я точно не решу!” – а просто взять и решить.

Задача. Решите систему относительно величины s:

    \[\begin{Bmatrix}{1-s\geqslant0}\\{}\\{7\sqrt{2} \operatorname{tg}^2(\pi s)+\frac{-14+14\sqrt{2}}{\sin(\pi s+\frac{3 \pi}{2})}-28+7\sqrt{2}=0}\\{}\\{-2-s\leqslant0}\end{matrix}\]

Два неравенства, вошедших в систему, ограничивают величину s:

    \[\begin{Bmatrix}{s\leqslant 1}\\{s\geqslant -2}\end{matrix}\]

То есть с помощью неравенств нам предлагается отобрать корни. Это мы сделаем в конце, а сейчас займемся упрощением уравнения. Во-первых, разделим все на 7:

    \[\sqrt{2} \operatorname{tg}^2(\pi s)+\frac{-2+2\sqrt{2}}{\sin(\pi s+\frac{3 \pi}{2})}-4+\sqrt{2}=0\]

Представим функцию тангенса как \operatorname{tg}(\pi s)=\frac{\sin(\pi s)}{\cos(\pi s)}, кроме того, воспользуемся формулами приведения:

    \[\sqrt{2} \frac{\sin^2(\pi s)}{ \cos^2(\pi s)}+\frac{-2+2\sqrt{2}}{\cos(\pi s)}-4+\sqrt{2}=0\]

Если подвести все под один знаменатель, то

    \[\frac{\sqrt{2}\sin^2(\pi s)+(2-2\sqrt{2})\cos(\pi s)-(4-\sqrt{2}\cos^2(\pi s)}{\cos^2(\pi s)}=0\]

Дробь равна нулю, если числитель ее равен нулю:

    \[\sqrt{2}\sin^2(\pi s)+(2-2\sqrt{2})\cos(\pi s)-(4-\sqrt{2}\cos^2(\pi s)=0\]

    \[\sqrt{2}(1-\cos^2(\pi s))+(2-2\sqrt{2})\cos(\pi s)-(4-\sqrt{2}\cos^2(\pi s)=0\]

    \[4\cos^2(\pi s)-(2-2\sqrt{2})\cos(\pi s)-\sqrt{2}=0\]

Решим квадратное уравнение относительно \cos(\pi s):

    \[D=(2-2\sqrt{2})^2-4\cdot4\cdot(-\sqrt{2})=12+8\sqrt{2}\]

Чтобы извлечь квадратный корень, представим дискриминант в виде:

    \[D=4+8\sqrt{2}+8=(2+2\sqrt{2})^2\]

Тогда

    \[\cos(\pi s)=\frac{2-2\sqrt{2} \pm (2+2\sqrt{2})}{8}\]

    \[\begin{Bmatrix}{\cos(\pi s)=\frac{1}{2}}\\{}\\{ \cos(\pi s)=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{\pi s=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi k}\\{}\\{ \pi s=\pm \frac{3 \pi}{4}+2 \pi n}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{s=\pm\frac{1}{3}+2k}\\{}\\{s=\pm\frac{3}{4}+2n}\end{matrix}\]

Теперь произведем отбор корней:

    \[s= \pm \frac{1}{3}; \pm \frac{3}{4}; -\frac{5}{3}; -\frac{5}{4}\]

Ответ: s= \pm \frac{1}{3}; \pm \frac{3}{4}; -\frac{5}{3}; -\frac{5}{4}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *