Интересная система с тригонометрическим уравнением

[latexpage]

Иногда на глаза попадаются такие вот не совсем уж банальные случаи – хотя случай-то простой – что хочется их решить и поделиться решением. Выглядит, да, пугающе. Но это только вид такой страшный – а уравнение совсем простое. Вот вам пример, когда не надо пугаться вида задания: “Ну, это я точно не решу!” – а просто взять и решить.

Задача. Решите систему относительно величины $s$:

$$\begin{Bmatrix}{1-s\geqslant0}\\{}\\{7\sqrt{2} \operatorname{tg}^2(\pi s)+\frac{-14+14\sqrt{2}}{\sin(\pi s+\frac{3 \pi}{2})}-28+7\sqrt{2}=0}\\{}\\{-2-s\leqslant0}\end{matrix}$$

Два неравенства, вошедших в систему, ограничивают величину $s$:

$$\begin{Bmatrix}{s\leqslant 1}\\{s\geqslant -2}\end{matrix}$$

То есть с помощью неравенств нам предлагается отобрать корни. Это мы сделаем в конце, а сейчас займемся упрощением уравнения. Во-первых, разделим все на 7:

$$\sqrt{2} \operatorname{tg}^2(\pi s)+\frac{-2+2\sqrt{2}}{\sin(\pi s+\frac{3 \pi}{2})}-4+\sqrt{2}=0$$

Представим функцию тангенса как $\operatorname{tg}(\pi s)=\frac{\sin(\pi s)}{\cos(\pi s)}$, кроме того, воспользуемся формулами приведения:

$$\sqrt{2} \frac{\sin^2(\pi s)}{ \cos^2(\pi s)}+\frac{-2+2\sqrt{2}}{\cos(\pi s)}-4+\sqrt{2}=0$$

Если подвести все под один знаменатель, то

$$\frac{\sqrt{2}\sin^2(\pi s)+(2-2\sqrt{2})\cos(\pi s)-(4-\sqrt{2}\cos^2(\pi s)}{\cos^2(\pi s)}=0$$

Дробь равна нулю, если числитель ее равен нулю:

$$\sqrt{2}\sin^2(\pi s)+(2-2\sqrt{2})\cos(\pi s)-(4-\sqrt{2}\cos^2(\pi s)=0$$

$$\sqrt{2}(1-\cos^2(\pi s))+(2-2\sqrt{2})\cos(\pi s)-(4-\sqrt{2}\cos^2(\pi s)=0$$

$$4\cos^2(\pi s)-(2-2\sqrt{2})\cos(\pi s)-\sqrt{2}=0$$

Решим квадратное уравнение относительно $\cos(\pi s)$:

$$D=(2-2\sqrt{2})^2-4\cdot4\cdot(-\sqrt{2})=12+8\sqrt{2}$$

Чтобы извлечь квадратный корень, представим дискриминант в виде:

$$D=4+8\sqrt{2}+8=(2+2\sqrt{2})^2$$

Тогда

$$\cos(\pi s)=\frac{2-2\sqrt{2} \pm (2+2\sqrt{2})}{8}$$

$$\begin{Bmatrix}{\cos(\pi s)=\frac{1}{2}}\\{}\\{ \cos(\pi s)=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\pi s=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi k}\\{}\\{ \pi s=\pm \frac{3 \pi}{4}+2 \pi n}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{s=\pm\frac{1}{3}+2k}\\{}\\{s=\pm\frac{3}{4}+2n}\end{matrix}$$

Теперь произведем отбор корней:

$$s= \pm \frac{1}{3}; \pm \frac{3}{4}; -\frac{5}{3}; -\frac{5}{4}$$

Ответ: $s= \pm \frac{1}{3}; \pm \frac{3}{4}; -\frac{5}{3}; -\frac{5}{4}$