Интересная система с тригонометрическим уравнением

Иногда на глаза попадаются такие вот не совсем уж банальные случаи – хотя случай-то простой – что хочется их решить и поделиться решением. Выглядит, да, пугающе. Но это только вид такой страшный – а уравнение совсем простое. Вот вам пример, когда не надо пугаться вида задания: “Ну, это я точно не решу!” – а просто взять и решить.

Задача. Решите систему относительно величины :

Два неравенства, вошедших в систему, ограничивают величину :

То есть с помощью неравенств нам предлагается отобрать корни. Это мы сделаем в конце, а сейчас займемся упрощением уравнения. Во-первых, разделим все на 7:

Представим функцию тангенса как , кроме того, воспользуемся формулами приведения:

Если подвести все под один знаменатель, то

Дробь равна нулю, если числитель ее равен нулю:

Решим квадратное уравнение относительно :

Чтобы извлечь квадратный корень, представим дискриминант в виде:

Тогда

Теперь произведем отбор корней:

Ответ: