Интересная планиметрическая задача с окружностью

Рассмотрим наш треугольник и заметим, что он прямоугольный, так как подчиняется теореме Пифагора (угол – прямой):

Рисунок 1

Проведем . Тогда треугольник подобен треугольнику   с коэффициентом (по условию ).

Рисунок 2

Тогда

Проведем .

Проведем радиусы .

Рисунок 3

Треугольник – равнобедренный. Кроме того, – его высота, а следовательно, и медиана, поэтому

Тогда

Треугольник – равнобедренный. Проведем . Тогда –  также и медиана, поэтому

А

Мы получили, что точка – середина , а точка – середина . Таким образом, – средняя линия треугольника и диаметр окружности. Радиус окружности будет равен .

Окружность пересекает дважды, поэтому нам придется искать два расстояния – и .

Проведем радиусы и . Треугольник – равнобедренный. Длина отрезка равна половине высоты треугольника , проведенной из прямого угла. Определим длину .

Рисунок 4

Удвоенная площадь треугольника равна

Тогда , а

Через точку проведем прямую, перпендикулярную , и рассмотрим прямоугольную трапецию . Найдем ее нижнее основание .

Так как , то

Кстати, я нашла длину отрезка , заметив, что треугольник – подобен и является египетским.

Таким образом,

Длина отрезка , длина отрезка .

Таким образом, – середина , а – медиана треугольника и равна .

Определим теперь расстояние от точки до второй точки пересечения окружности с – . Расстояние легко определить по теореме косинусов:

Ответ: , .