Интересная планиметрическая задача с окружностью

Рассмотрим наш треугольник и заметим, что он прямоугольный, так как подчиняется теореме Пифагора (угол $C$ – прямой):

Рисунок 1

Проведем $OF \parallel AC$. Тогда треугольник $ODF$ подобен треугольнику $ADC$  с коэффициентом $1:4$ (по условию $OD=\frac{1}{4}AD$).

Рисунок 2

Тогда

$$\frac{DF}{DC}=\frac{1}{4}$$

$$DF=1$$

$$FC=3$$

Проведем $OI \perp AC$.

$$\frac{IC}{AC}=\frac{1}{4}$$

$$IC=2,25$$

Проведем радиусы $OC, OH, OG$.

Рисунок 3

Треугольник $COG$ – равнобедренный. Кроме того, $OF$ – его высота, а следовательно, и медиана, поэтому

$$FC=FG=3$$

Тогда

$$CG=6$$

Треугольник $HOC$ – равнобедренный. Проведем $OI \perp AC$. Тогда $OI$ –  также и медиана, поэтому

$$HI=IC=2,25$$

А

$$HC=4,5$$

Мы получили, что точка $G$ – середина $BC$, а точка $H$ – середина $AC$. Таким образом, $GH=7,5$ – средняя линия треугольника $ABC$ и диаметр окружности. Радиус окружности будет равен $R=3,75$.

Окружность пересекает $AB$ дважды, поэтому нам придется искать два расстояния – $CJ$ и $CL$.

Проведем радиусы $OJ$ и $OL$. Треугольник $JOL$ – равнобедренный. Длина отрезка $OK$ равна половине высоты треугольника $ABC$, проведенной из прямого угла. Определим длину $OK$.

Рисунок 4

Удвоенная площадь треугольника $ABS$ равна

$$2S=AC\cdot BC=AB\cdot h$$

$$h=\frac{ AC\cdot BC }{AB}=\frac{ 9\cdot 12 }{15}=7,2$$

Тогда $OK=3,6$, а

$$JK=KL=\sqrt{R^2-OK^2}=\sqrt{3,75^2-3,6^2}=1,05$$

$$JL=2,1$$

Через точку $H$ проведем прямую, перпендикулярную $AB$, и рассмотрим прямоугольную трапецию $OKAH$. Найдем ее нижнее основание $AK$.

$$AK=AN+NK=AN+R$$

Так как $NH=OK$, то

$$AN=\sqrt{AH^2-HN^2}=\sqrt{4,5^2-3,6^2}=2,7$$

Кстати, я нашла длину отрезка $AN$, заметив, что треугольник $ANH$ – подобен $ABC$ и является египетским.

Таким образом,

$$AK=AN+NK=AN+R=2,7+3,75=6,45$$

Длина отрезка $AJ=AK-JK=5,4$, длина отрезка $BL=AB-AK-KL=7,5$.

Таким образом, $L$ – середина $AB$, а $CL$ – медиана треугольника $ABC$ и равна $CL=7,5$.

Определим теперь расстояние от точки $C$ до второй точки пересечения окружности с $AB$ – $J$. Расстояние $CJ$ легко определить по теореме косинусов:

$$CJ^2=AJ^2+AC^2-2AJ\cdotAC\cdot \cos{\angle A}$$

$$\cos{\angle A}=\frac{AC}{AB}=\frac{9}{15}=0,6$$

$$CJ=\sqrt{ AJ^2+AC^2-2AJ\cdotAC\cdot \cos{\angle A}}=\sqrt{ 5,4^2+9^2-2\cdot5,4\cdot9\cdot 0,6}=7,2$$

Ответ: $CJ=7,2$, $CL=7,5$.