Задача. Дан треугольник
со сторонами
и
. На стороне
взята точка
, а на отрезке
— точка
, причем
и
. Окружность с центром
проходит через точку
. Найдите расстояние от точки
до точки пересечения этой окружности с прямой
.
Решение.
Показать
Рассмотрим наш треугольник и заметим, что он прямоугольный, так как подчиняется теореме Пифагора (угол
– прямой):

Рисунок 1
Проведем
. Тогда треугольник
подобен треугольнику
с коэффициентом
(по условию
).

Рисунок 2
Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{DF}{DC}=\frac{1}{4}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90cad11cc7fc6b06b41641d200eed11e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[DF=1\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e519568d8e839d3d283f04383574089e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[FC=3\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e6258feac2afc2381f2fb1f168a3de97_l3.png)
Проведем
.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{IC}{AC}=\frac{1}{4}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bbd120272e330e6379ae8ea56e4cb415_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[IC=2,25\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-257a322caac16081b18d400990a33ed7_l3.png)
Проведем радиусы
.

Рисунок 3
Треугольник
– равнобедренный. Кроме того,
– его высота, а следовательно, и медиана, поэтому
![Rendered by QuickLaTeX.com \[FC=FG=3\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4785deec70e1213da8f2fa1715312da8_l3.png)
Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[CG=6\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4985bb49a61291d6e951af1089c5ad4f_l3.png)
Треугольник
– равнобедренный. Проведем
. Тогда
– также и медиана, поэтому
![Rendered by QuickLaTeX.com \[HI=IC=2,25\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-096d3225741c5049400d091428f6dfe5_l3.png)
А
![Rendered by QuickLaTeX.com \[HC=4,5\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a52fbf6d40f74554b1dbf6fe4ba7a061_l3.png)
Мы получили, что точка
– середина
, а точка
– середина
. Таким образом,
– средняя линия треугольника
и диаметр окружности. Радиус окружности будет равен
.
Окружность пересекает
дважды, поэтому нам придется искать два расстояния –
и
.
Проведем радиусы
и
. Треугольник
– равнобедренный. Длина отрезка
равна половине высоты треугольника
, проведенной из прямого угла. Определим длину
.

Рисунок 4
Удвоенная площадь треугольника
равна
![Rendered by QuickLaTeX.com \[2S=AC\cdot BC=AB\cdot h\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1aee0227198916013c94a7d0487ea89f_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[h=\frac{ AC\cdot BC }{AB}=\frac{ 9\cdot 12 }{15}=7,2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92efd0af8240df79f2796f2e41aef990_l3.png)
Тогда
, а
![Rendered by QuickLaTeX.com \[JK=KL=\sqrt{R^2-OK^2}=\sqrt{3,75^2-3,6^2}=1,05\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2e6a7a8c8df24b76c1ed0bb1329f4e13_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[JL=2,1\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-849178ef7b96ff36ce9fd432093ad5e3_l3.png)
Через точку
проведем прямую, перпендикулярную
, и рассмотрим прямоугольную трапецию
. Найдем ее нижнее основание
.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AK=AN+NK=AN+R\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3de4b154a8d330ceb78a3126835d24b_l3.png)
Так как
, то
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AN=\sqrt{AH^2-HN^2}=\sqrt{4,5^2-3,6^2}=2,7\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00cfe38d523ff33c110ef7df0e86eb67_l3.png)
Кстати, я нашла длину отрезка
, заметив, что треугольник
– подобен
и является египетским.
Таким образом,
![Rendered by QuickLaTeX.com \[AK=AN+NK=AN+R=2,7+3,75=6,45\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3af994552f3f2ee4affaf27fb1b91398_l3.png)
Длина отрезка
, длина отрезка
.
Таким образом,
– середина
, а
– медиана треугольника
и равна
.
Определим теперь расстояние от точки
до второй точки пересечения окружности с
–
. Расстояние
легко определить по теореме косинусов:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[CJ^2=AJ^2+AC^2-2AJ\cdotAC\cdot \cos{\angle A}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4467ae70a42bba3485e65a528fe1144e_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\cos{\angle A}=\frac{AC}{AB}=\frac{9}{15}=0,6\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cf489c7f1c28f61e5c6484ec12c114e7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[CJ=\sqrt{ AJ^2+AC^2-2AJ\cdotAC\cdot \cos{\angle A}}=\sqrt{ 5,4^2+9^2-2\cdot5,4\cdot9\cdot 0,6}=7,2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b840f9a867176921deb72a4e20c807d7_l3.png)
Ответ:
,
.
Анна, спасибо за хороший подбор задач по теме: Горизонтальный бросок, а самое...
Эта потеря есть для обоих лучей. Ведь каждый в итоге отразился от...
Доброго времени суток! Разве во второй задаче не надо учесть потерю половины...
...
[latexpage] $$\Delta l_1=\frac{(m_A+M)g}{k_1}$$ $$\Delta l_2=\frac{Mg}{k_2}$$ $$\Delta l_1+\Delta...