Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Закон сохранения импульса

Импульс системы тел 4


Задача 1. На краю стола высотой лежит маленький шарик массой . В него попадает пуля массой , движущаяся горизонтально со скоростью , направленной в центр шарика. Пуля застревает в нем. На каком расстоянии от стола по горизонтали упадет шарик на землю?


 

Шарик падает со стола

Запишем закон сохранения импульса:

   

Тогда скорость шарика с пулей равна

   

Приобретя такую горизонтально направленную скорость, шарик соскальзывает со стола и начинает падать. Время его падения определяется только высотой стола и не зависит ни  от его массы, ни от скорости. Так как вертикальной составляющей скорость шарика не имеет, то для свободного падения запишем:

   

   

За это время, пока шарик будет падать, он пролетит по горизонтали расстояние, равное

   

 

Задача 2. Ящик с песком, имеющий массу , подвешен на тросе длиной . Длина троса значительно больше линейных размеров ящика. Пуля, масса которой , летит в горизонтальном направлении и попадает в ящик, застревая в нем. Трос после попадания пули отклоняется от вертикали на угол .  Определите скорость пули.


 

Ящик на нити

Запишем закон сохранения импульса:

   

Тогда скорость ящика с пулей равна

   

Ящик, таким образом, приобретает кинетическую энергию, равную .

Эта энергия переходит в потенциальную, когда ящик достигает наивысшего положения:

   

   

   

Теперь осталось разобраться, на какую же высоту все-таки поднимется наш ящик. Для этого рассмотрим картинку. Из нее видно, что , а – катет прямоугольного треугольника с острым углом и гипотенузой . Тогда

   

Подставляем в формулу скорости ящика:

   

Осталось определить скорость пули:

   

   

 

Задача 3. С высоты падает шар. Когда он пролетал мимо окна, находящегося на высоте , в него попала пуля, вылетевшая из ружья в горизонтальном направлении. Пуля застряла в центре шара. С какой скоростью шар упадет на землю? Пуля имеет массу, в 10 раз меньшую, чем масса шара. Ее скорость в момент попадания в шар равна .


 

Шар и пуля

Запишем закон сохранения импульса:

   

   

   

Эта скорость направлена горизонтально. Также, падая, шар набирает вертикальную составляющую скорости, которая, кстати, совершенно не зависит от того, на какой высоте в шар попала пуля. С равным успехом пуля могла бы попасть в шар и в начале его полета, и в середине, и в конце, и во всех трех случаях конечная скорость шара вычислялась бы по теореме Пифагора и равнялась бы одной и той же величине.

Падая с высоты , шар приобретет вертикальную составляющую скорости, равную

   

Тогда шар упадет со скоростью

   

   

 

Задача 4. Снаряд, выпущенный из пушки, установленной под углом к горизонту на плоской горизонтальной равнине, разрывается в верхней точке своей траектории на два осколка одинаковой массы. Первый осколок падает прямо под точкой разрыва снаряда спустя 20 с после разрыва. На каком расстоянии упадет второй осколок, если разрыв произошел на высоте 2 км? Сопротивлением воздуха пренебречь.


 

Раз известна высота разрыва снаряда, значит, во-первых, мы можем определить скорость, с которой был выпущен снаряд (ведь пока нам известен только угол), и еще мы можем ответить на вопрос,  какой начальной скоростью обладал тот осколок, который упал под местом разрыва.

Разрыв снаряда в высшей точке

Определяем начальную скорость выпущенного снаряда.

Вертикальная составляющая его скорости равна , и, так как снаряд поднялся в наивысшую точку, значит, эта составляющая убыла до нуля:

   

Откуда время полета снаряда до наивысшей точки:

   

За это время снаряд пролетел по вертикали расстояние 2000 м, которое также можно определить по формуле:

   

Теперь есть возможность найти скорость снаряда при вылете из пушки . Подставим в предыдущую формулу :

   

   

   

   

Определим, какую начальную скорость при разрыве снаряда приобрел осколок, который упал вертикально вниз. Он падал известное нам время – 20 с. Если он обладал начальной скоростью , найдем ее:

   

Подставляем время:

   

   

Итак, этот осколок падал свободно, без начальной скорости.

Теперь можем записать закон сохранения импульса для этой системы: импульс снаряда в точке разрыва равен сумме импульсов кусков. В этой точке снаряд уже не обладал вертикальной составляющей скорости, а только горизонтальной: . Тогда:

   

   

Наконец, можем определить как далеко с такой скоростью наш осколок улетит. Его полет по горизонтали происходит с постоянной найденной нами скоростью , а продолжается такое же время , какое понадобилось снаряду до разрыва, чтобы достигнуть высшей точки:

Тогда он пролетит расстояние, равное:

   

   

Ответ: 8000 м от точки разрыва.

 

Задача 5. Снаряд, выпущенный  под углом к горизонту из пушки, установленной на плоской горизонтальной равнине, разрывается в верхней точке своей траектории на два осколка одинаковой массы. Первый осколок падает спустя с прямо под точкой разрыва. На каком расстоянии от пушки упадет второй осколок, если разрыв снаряда произошел через 15 с после выстрела? Сопротивлением воздуха пренебречь.


 

Как и в предыдущей задаче, нам неизвестно, с какой скоростью был выпущен снаряд, и какой начальной скоростью обладали осколки. Но нам известно, что снаряд достиг наивысшей точки своего полета, и произошло это за 15 с.

Определяем начальную скорость выпущенного снаряда.

Вертикальная составляющая его скорости равна , и, так как снаряд поднялся в наивысшую точку, значит, эта составляющая убыла до нуля:

   

Откуда время полета снаряда до наивысшей точки:

   

   

Горизонтальная составляющая скорости снаряда равна:

   

От пушки до точки разрыва расстояние будет равно:

   

Определим расстояние, которое снаряд пролетел по вертикали до точки разрыва, по формуле:

   

Теперь определим начальную скорость осколка, упавшего вертикально вниз:

   

Подставляем известное время:

   

   

   

Величину скорости второго осколка найдем из закона сохранения импульса:

   

   

Осталось посчитать, на какое расстояние улетит осколок по горизонтали, пока будет падать с высоты, равной метров.

Он будет падать время, равное 15 секундам:

   

За это время он улетит по горизонтали на расстояние , равное

   

Итак, «собираем» расстояния.

   

Ответ: от места выстрела осколок улетит на 6,8 км, а от места разрыва снаряда на 4,5 км.

 

Задача 6. Ракета, поднимающаяся вертикально вверх со скоростью м/с, разрывается на три части. Две части по 0,5 кг каждая разлетаются горизонтально – одна на восток, другая на запад.  Чему равна скорость третьей части, масса которой равна 1 кг?


Разрыв ракеты в горизонтальной плоскости

Так как два осколка разлетаются в противоположные стороны, их массы и скорости равны, то суммарный их импульс равен . Поэтому импульс ракеты весь будет передан последнему, третьему осколку массой 1 кг.

   

   

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *