Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса

Импульс системы тел 4


Задача 1. На краю стола высотой h лежит маленький шарик массой m_1. В него попадает пуля массой m_2, движущаяся горизонтально со скоростью \upsilon, направленной в центр шарика. Пуля застревает в нем. На каком расстоянии от стола по горизонтали упадет шарик на землю?


 

Шарик падает со стола

Запишем закон сохранения импульса:

    \[m_2\upsilon=(m_1+m_2)u\]

Тогда скорость шарика с пулей равна

    \[u=\frac{ m_2\upsilon }{m_1+m_2}\]

Приобретя такую горизонтально направленную скорость, шарик соскальзывает со стола и начинает падать. Время его падения определяется только высотой стола и не зависит ни  от его массы, ни от скорости. Так как вертикальной составляющей скорость шарика не имеет, то для свободного падения запишем:

    \[\frac{gt^2}{2}=h\]

    \[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

За это время, пока шарик будет падать, он пролетит по горизонтали расстояние, равное

    \[S=ut=\frac{ m_2\upsilon }{m_1+m_2}\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

 

Задача 2. Ящик с песком, имеющий массу M, подвешен на тросе длиной l. Длина троса значительно больше линейных размеров ящика. Пуля, масса которой m, летит в горизонтальном направлении и попадает в ящик, застревая в нем. Трос после попадания пули отклоняется от вертикали на угол \alpha.  Определите скорость пули.


 

Ящик на нити

Запишем закон сохранения импульса:

    \[m\upsilon=(m+M)u\]

Тогда скорость ящика с пулей равна

    \[u=\frac{ m\upsilon }{m+M}\]

Ящик, таким образом, приобретает кинетическую энергию, равную \frac{(M+m)u^2}{2}.

Эта энергия переходит в потенциальную, когда ящик достигает наивысшего положения:

    \[\frac{(M+m)u^2}{2}=(M+m)gh\]

    \[u^2=2gh\]

    \[u=\sqrt{2gh}\]

Теперь осталось разобраться, на какую же высоту все-таки поднимется наш ящик. Для этого рассмотрим картинку. Из нее видно, что h=l-b, а b – катет прямоугольного треугольника с острым углом \alpha и гипотенузой l. Тогда b=l\cos{\alpha}

    \[h=l-l\cos{\alpha}\]

Подставляем в формулу скорости ящика:

    \[u=\sqrt{2gl(1-\cos{\alpha})}\]

Осталось определить скорость пули:

    \[u=\frac{ m\upsilon }{m+M}=\sqrt{2gl(1-\cos{\alpha})}\]

    \[\upsilon =\frac{ m+M }{m}\sqrt{2gl(1-\cos{\alpha})}\]

 

Задача 3. С высоты H падает шар. Когда он пролетал мимо окна, находящегося на высоте \frac{H}{2}, в него попала пуля, вылетевшая из ружья в горизонтальном направлении. Пуля застряла в центре шара. С какой скоростью шар упадет на землю? Пуля имеет массу, в 10 раз меньшую, чем масса шара. Ее скорость в момент попадания в шар равна \upsilon.


 

Шар и пуля

Запишем закон сохранения импульса:

    \[m\upsilon=(m+M)u\]

    \[m\upsilon=11mu\]

    \[u=\frac{\upsilon}{11}\]

Эта скорость направлена горизонтально. Также, падая, шар набирает вертикальную составляющую скорости, которая, кстати, совершенно не зависит от того, на какой высоте в шар попала пуля. С равным успехом пуля могла бы попасть в шар и в начале его полета, и в середине, и в конце, и во всех трех случаях конечная скорость шара вычислялась бы по теореме Пифагора и равнялась бы одной и той же величине.

Падая с высоты H, шар приобретет вертикальную составляющую скорости, равную

    \[\upsilon_{vert}=\sqrt{2gH}\]

Тогда шар упадет со скоростью

    \[\upsilon_{pad}=\sqrt{u^2+{\upsilon_{vert}}^2}=\sqrt{\frac{\upsilon^2}{121}+2gH}\]

    \[\upsilon_{pad}=\sqrt{\frac{\upsilon^2+242gH}{121}}=\frac {\sqrt {\upsilon^2+242gH}}{11}\]

 

Задача 4. Снаряд, выпущенный из пушки, установленной под углом \alpha=45^{\circ} к горизонту на плоской горизонтальной равнине, разрывается в верхней точке своей траектории на два осколка одинаковой массы. Первый осколок падает прямо под точкой разрыва снаряда спустя 20 с после разрыва. На каком расстоянии упадет второй осколок, если разрыв произошел на высоте 2 км? Сопротивлением воздуха пренебречь.


 

Раз известна высота разрыва снаряда, значит, во-первых, мы можем определить скорость, с которой был выпущен снаряд (ведь пока нам известен только угол), и еще мы можем ответить на вопрос,  какой начальной скоростью обладал тот осколок, который упал под местом разрыва.

Разрыв снаряда в высшей точке

Определяем начальную скорость выпущенного снаряда.

Вертикальная составляющая его скорости равна \upsilon \sin{\alpha}, и, так как снаряд поднялся в наивысшую точку, значит, эта составляющая убыла до нуля:

    \[\upsilon \sin{\alpha}-gt=0\]

Откуда время полета снаряда до наивысшей точки:

    \[t=\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}\]

За это время снаряд пролетел по вертикали расстояние 2000 м, которое также можно определить по формуле:

    \[\upsilon \sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}=2000\]

Теперь есть возможность найти скорость снаряда при вылете из пушки \upsilon. Подставим в предыдущую формулу t:

    \[\upsilon \sin{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}-\frac{{\upsilon \sin{\alpha}}^2}{2g}=2000\]

    \[\frac{\upsilon^2 \sin{\alpha}^2}{2g}=2000\]

    \[\upsilon^2 =80000\]

    \[\upsilon=\sqrt{80000}\]

Определим, какую начальную скорость при разрыве снаряда приобрел осколок, который упал вертикально вниз. Он падал известное нам время – 20 с. Если он обладал начальной скоростью \upsilon_0, найдем ее:

    \[\upsilon_0t+\frac{gt^2}{2}=2000\]

Подставляем время:

    \[20\upsilon_0+\frac{400g}{2}=2000\]

    \[20\upsilon_0=0\]

Итак, этот осколок падал свободно, без начальной скорости.

Теперь можем записать закон сохранения импульса для этой системы: импульс снаряда в точке разрыва равен сумме импульсов кусков. В этой точке снаряд уже не обладал вертикальной составляющей скорости, а только горизонтальной: \upsilon \cos{\alpha}. Тогда:

    \[m \upsilon \cos{\alpha}=\frac{m}{2}\cdot 0 +\frac{m}{2} u\]

    \[u=2 \upsilon \cos{\alpha}\]

Наконец, можем определить как далеко с такой скоростью наш осколок улетит. Его полет по горизонтали происходит с постоянной найденной нами скоростью u, а продолжается такое же время t, какое понадобилось снаряду до разрыва, чтобы достигнуть высшей точки: t=\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}

Тогда он пролетит расстояние, равное:

    \[S=ut=2 \upsilon \cos{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{g}\]

    \[S=\frac{\upsilon^2}{g}=\frac{80000}{10}=8000\]

Ответ: 8000 м от точки разрыва.

 

Задача 5. Снаряд, выпущенный  под углом \alpha=45^{\circ} к горизонту из пушки, установленной на плоской горизонтальной равнине, разрывается в верхней точке своей траектории на два осколка одинаковой массы. Первый осколок падает спустя t_0=15 с прямо под точкой разрыва. На каком расстоянии от пушки упадет второй осколок, если разрыв снаряда произошел через 15 с после выстрела? Сопротивлением воздуха пренебречь.


 

Как и в предыдущей задаче, нам неизвестно, с какой скоростью был выпущен снаряд, и какой начальной скоростью обладали осколки. Но нам известно, что снаряд достиг наивысшей точки своего полета, и произошло это за 15 с.

Определяем начальную скорость выпущенного снаряда.

Вертикальная составляющая его скорости равна \upsilon \sin{\alpha}, и, так как снаряд поднялся в наивысшую точку, значит, эта составляющая убыла до нуля:

    \[\upsilon \sin{\alpha}-gt=0\]

Откуда время полета снаряда до наивысшей точки:

    \[t=\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}=15\]

    \[\upsilon =\frac{15g}{\sin{\alpha}}=150\sqrt{2}\]

Горизонтальная составляющая скорости снаряда равна:

    \[\upsilon \cos{\alpha}=150\]

От пушки до точки разрыва расстояние будет равно:

    \[S_1=\upsilon \cos{\alpha}t=2250\]

Определим расстояние, которое снаряд пролетел по вертикали до точки разрыва, по формуле:

    \[h=\upsilon \sin{\alpha}t-\frac{gt^2}{2}=150\cdot 15-\frac{10\cdot15^2}{2}=1125\]

Теперь определим начальную скорость \upsilon_0 осколка, упавшего вертикально вниз:

    \[\upsilon_0t_0+\frac{gt_0^2}{2}=1125\]

Подставляем известное время:

    \[15\upsilon_0+\frac{225g}{2}=1125\]

    \[15\upsilon_0=0\]

    \[\upsilon_0=0\]

Величину скорости второго осколка найдем из закона сохранения импульса:

    \[\vec{m \upsilon \cos{\alpha}}=\vec{\frac{m}{2} u}\]

    \[u=2\upsilon \cos{\alpha}=300\]

Осталось посчитать, на какое расстояние улетит осколок по горизонтали, пока будет падать с высоты, равной h метров.

Он будет падать время, равное 15 секундам:

    \[t_1=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{225}=15\]

За это время он улетит по горизонтали на расстояние S_1, равное

    \[S_2= u t_1=300\cdot 15=4500\]

Итак, «собираем» расстояния.

    \[L=S_1+S_2=2250+4500=6750\]

Ответ: от места выстрела осколок улетит на 6,8 км, а от места разрыва снаряда на 4,5 км.

 

Задача 6. Ракета, поднимающаяся вертикально вверх со скоростью \upsilon=100 м/с, разрывается на три части. Две части по 0,5 кг каждая разлетаются горизонтально – одна на восток, другая на запад.  Чему равна скорость третьей части, масса которой равна 1 кг?


Разрыв ракеты в горизонтальной плоскости

Так как два осколка разлетаются в противоположные стороны, их массы и скорости равны, то суммарный их импульс равен 0. Поэтому импульс ракеты весь будет передан последнему, третьему осколку массой 1 кг.

    \[m \upsilon =\frac{m}{2}u\]

    \[u=2 \upsilon =200\]

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *