Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии

Импульс системы тел 3



Задача 1. Артиллерист стреляет из пушки ядром массой m так, что оно может упасть в неприятельском лагере на расстоянии L  от пушки. Однако в момент выстрела на ядро садится барон Мюнгхаузен, масса которого M=5m. Какую часть пути s до неприятельского лагеря ему придется идти пешком?


 

По закону сохранения импульса m\upsilon_0=(M+m)\upsilon_1

    \[\upsilon_1=\frac{ m\upsilon_0}{M+m}=\frac{\upsilon_0}{6}\]

Ядро с Мюнгхаузеным летит в 6 раз медленнее. Время, необходимое для достижения наивысшей точки в первом случае:

    \[\upsilon_0 t_0=\frac{g{t_0}^2}{2}\]

    \[t_0=  \frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}\]

Тогда во втором случае (с Мюнгхаузеным)

    \[\upsilon_1 t_1=\frac{g{t_1}^2}{2}\]

    \[t_1=  \frac{2\upsilon_1 \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon_0 \sin{\alpha}}{3g}\]

В первом случае ядро долетает до лагеря:

    \[L=\upsilon_0 \cos{\alpha}t_0=\upsilon_0 \cos{\alpha}\cdot \frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{g}\]

    \[L=\frac{2{\upsilon_0}^2 \cos{\alpha}\sin{\alpha}}{g}\]

Путь, который пролетит ядро с бароном:

    \[L_1=\upsilon_1 \cos{\alpha}t_1= \frac{\upsilon_0}{6}\cos{\alpha}\cdot \frac{2\upsilon_0 \sin{\alpha}}{3g}\]

    \[L_1=\frac{{\upsilon_0}^2 \cos{\alpha}\sin{\alpha}}{9g}\]

Тогда барону придется идти пешком часть пути, равную:

    \[\frac{L-L_1}{L}=\frac{35}{36}\]

Ответ: придется пройти \frac{35}{36} пути пешком.

 

Задача 2. На корме и на носу лодки на расстоянии l=3,4 м друг от друга сидят рыболовы, массы которых m_1=90 кг и m_2=60 кг. Рыболовы меняются местами. Каково при этом перемещение лодки, если ее масса M=50 кг? Может ли перемещение лодки быть больше ее длины?


 

Составим закон сохранения импульса для такой системы тел. Рыболовы перемещаются одновременно, то есть с одной скоростью, но в разных направлениях, поэтому импульсы их будут иметь разные направления. Направим ось x вдоль лодки так, что первый рыболов идет по ней в положительном направлении. Тогда:

    \[m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_1+(m_1+m_2+M)\upsilon_2=0\]

Здесь для рыболовов мы знаем направления их импульсов и ставим соответствующие знаки, а для лодки пока ставим «плюс» – а потом выяснится, были мы правы или нет. Справа в уравнении стоит ноль, потому что суммарный импульс системы был нулевым до того, как рыболовы начали движение. Тогда:

    \[\upsilon_2=\frac m_1\upsilon_1-m_2\upsilon_1}{-(m_1+m_2+M)}=\frac{30\upsilon_1}{200}\]

    \[\upsilon_2=\frac{3\upsilon_1}{20}\]

Скорость перемещения рыболова равна \upsilon_1=\frac{l}{t}, или t =\frac{l}{ \upsilon_1}

Перемещение лодки происходит за то же время:

    \[l_1=\upsilon_2t=\frac{3\upsilon_1}{20}\frac{l}{ \upsilon_1}=0,15l=0,51\]

Ответ: лодка переместится на 0,51 метра. Перемещение лодки никогда не может быть больше ее длины, так как масса лодки с рыболовами всегда больше массы рыболовов.

 

Задача 3. Лягушка массой m_ сидит на конце доски массой M и длиной l. Доска плавает на поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом \alpha к горизонту вдоль доски. Какой должна быть скорость лягушки \upsilon, чтобы она оказалась на другом конце доски?


 

Горизонтальная составляющая скорости лягушки равна:

    \[\upsilon_{gor}=\upsilon \cos{\alpha}\]

Тогда закон сохранения импульса системы тел запишется:

    \[m\upsilon \cos{\alpha}=M\upsilon_M\]

Откуда

    \[\upsilon_M=\frac{ m\upsilon \cos{\alpha}}{M}\]

Вертикальная составляющая скорости лягушки \upsilon \sin{\alpha}. Она равна нулю в наивысшей точке полета лягушки, поэтому

    \[\upsilon \sin{\alpha}=\frac{gt}{2}\]

Откуда время:

    \[t=\frac{2\upsilon \sin{\alpha}}{g}\]

Так как, очевидно, при прыжке лягушки вперед доска начнет плыть в противоположном направлении, то необходимо, чтобы за время t суммарная скорость доски и лягушки (скорость сближения) обеспечила попадание лягушки в противоположный конец доски, то есть:

    \[(\upsilon_{gor}+\upsilon_M)t=l\]

    \[\left(\upsilon \cos{\alpha}+\frac{ m\upsilon \cos{\alpha}}{M}\right) \frac{2\upsilon \sin{\alpha}}{g}=l\]

Перепишем:

    \[\frac{\upsilon^2 \cdot 2 \cos{\alpha}\sin{\alpha}}{g}\left(1+\frac{m}{M}\right)=l\]

    \[\frac{\upsilon^2 \cdot \sin{2\alpha}}{g}\left(1+\frac{m}{M}\right)=l\]

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{lg}{\sin{2\alpha}\left(1+\frac{m}{M}\right)}}\]

 



Задача 4. Струя воды ударяет в стенку и стекает по ней. Оценить давление струи на стенку, если скорость течения воды в струе \upsilon=10 м/с?


 

Так как струя стекает, а не отскакивает, то удар не является упругим. Тогда изменение импульса струи: \Delta p=F \Delta t

    \[m \Delta \upsilon= F \Delta t\]

Масса воды в струе длиной l и площадью сечения S: m=\rho V=\rho \cdot l \cdot S

    \[\rho \cdot l \cdot S \Delta \upsilon= F \Delta t\]

Время можно определить как \Delta t=\frac{l}{\Delta \upsilon}

    \[\rho \cdot l \cdot S \Delta \upsilon= F \frac{l}{\Delta \upsilon}\]

    \[\rho  \cdot S \Delta \upsilon= F \frac{1}{\Delta \upsilon}\]

    \[F=\rho  \cdot S {\Delta \upsilon}^2}\]

Давление – это сила, приходящаяся на единицу площади:

    \[P=\frac{F}{S}=\rho{\Delta \upsilon}^2}=10^3 \cdot 10^2=10^5\]

Ответ: P=10^5 Па

 

Задача 5. Найти минимальную силу трения между колесами автомобиля и дорогой, чтобы он мог двигаться со скоростью \upsilon=30 м/с под дождем в безветренную погоду. Масса дождевой капли m=0,1 г. Считать, что на каждый см^2 за одну секунду падают две капли дождя. Площадь поверхности автомобиля, на которую падают капли дождя, S=5 м^2.


 

Задача совсем несложная. Давайте определим массу воды, падающую на автомобиль в секунду. Для этого перемножим массу капли, количество капель на см^2 за одну секунду и площадь поверхности автомобиля, не забыв все величины представить в единицах СИ:

    \[\Delta{m}=2\cdot m \cdotS=2\cdot 10^{-4} \cdot 5 \cdot 10^4=10\]

Получили 10 кг (в секунду).

То есть импульс автомобиля ежесекундно меняется на \Delta{m} \upsilon=300 Н/с.

Тогда \Delta p=\Delta{m} \upsilon=F \Delta t, откуда F=\frac{{\Delta m} \upsilon}{\Delta t}=300 Ньютонов.

Ответ: 300 Н

 

Задача 6. На абсолютно гладкой поверхности лежит обруч массой M и радиусом R. На обруче находится жук, масса которого m. Какие траектории будут описывать жук и центр обруча при движении жука по обручу?


 

Так как поверхность совсем гладкая, то закон сохранения импульса соблюдается (дальше все величины с индексом О относятся к обручу, а с индексом g –  к жуку):

    \[m\upsilon_g=(M+m)\upsilon_O\]

    \[\upsilon_O=\frac{m\upsilon_g}{M+m}\]

Скорость жука относительно земли равна \upsilon_g-\upsilon_O

Радиус окружности, по которой движется жук, можно найти, зная его скорость относительно земли и угловую скорость:

    \[R_g=\frac{\upsilon_g-\upsilon_O}{\omega}=\frac{\upsilon_g-\upsilon_O}{2\pi\nu}=\frac{(\upsilon_g-\upsilon_O)T}{2\pi}\]

Определим скорость жука относительно земли:

    \[\upsilon_g-\upsilon_O=\upsilon_g-\frac{m\upsilon_g}{M+m}=\upsilon_g\left(1-\frac{m}{M+m}\right)\]

    \[\upsilon_g-\upsilon_O=\upsilon_g \frac{M}{M+m}\]

Тогда

    \[R_g=\frac{(\upsilon_g-\upsilon_O)T}{2\pi}=\frac{\upsilon_g \frac{M}{M+m}T}{2\pi}\]

Период T – это такое время, за которое жук пробегает полный круг. Длина окружности, по которой перемещается жук, равна 2\pi R, его скорость \upsilon_g, поэтому

    \[T=\frac{2\pi R }{\upsilon_g }\]

Подставим в формулу для радиуса окружности, описываемой жуком:

    \[R_g=\frac{\upsilon_g \frac{M}{M+m}T}{2\pi}=\frac{RM}{M+m}\]

Теперь найдем радиус окружности, описываемый обручем:

    \[\upsilon_O=\frac{m\upsilon_g}{M+m}\]

    \[R_O=\frac{\upsilon_g T}{ 2\pi }=\frac{\upsilon_O 2\pi R}{ 2\pi \upsilon_g }=\frac{R \upsilon_O }{ \upsilon_g }=\frac{mR}{M+m}\]

Ответ: радиус окружности жука: \frac{RM}{M+m}  радиус, описываемый обручем: \frac{mR}{M+m}

 



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *