Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Задания 3, Задания 4, Закон сохранения импульса

Импульс системы тел 2



В этой статье будут рассмотрены задачи на импульс тела и закон сохранения импульса. Более простые задачи вы найдете здесь (а также и все необходимые в работе формулы и сведения), а в этой записи тела будут двигаться под углами к некоторому направлению, гранаты будут рваться на куски, рыбаки – перекладывать вещи с лодки на лодку, а пушки – стрелять с железнодорожных платформ.

Задача 1. Молекула летит со скоростью м/с и упруго ударяется о поршень, движущийся навстречу ей. Скорость молекулы составляет угол с нормалью поршня. Определить величину и направление скорости молекулы после удара. Скорость поршня м/с.


Молекула летит к поршню

Определим скорость движения молекулы относительно поршня. (Уже после отскока. Так как удар абсолютно упругий, то скорость отскока равна скорости молекулы до соприкосновения с поршнем.) Для этого скорость молекулы разложим на две составляющие: – направлена параллельно поверхности поршня  и – направлена перпендикулярно поверхности. Первая остается неизменной независимо от движения поршня. Вторую сложим со скоростью поршня – и получим скорость сближения молекулы и поршня относительно поршня:

   

Теперь, чтобы перейти в систему отсчета «земля», необходимо к скорости молекулы в системе отсчета «поршень» прибавить скорость самой системы отсчета, то есть скорость поршня относительно земли :

   

Таким образом, получили две составляющие скорости молекулы в системе отсчета «земля», которые можем сложить (векторно), чтобы определить скорость молекулы в этой системе отсчета. Чтобы получить длину вектора, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:

   

Раскрываем скобки:

   

Подставим числа:

   

Осталось определить направление скорости. Это можно сделать, если определить угол между составляющими скорости, а их будет связывать функция тангенса данного угла:

   

   

Ответ: м/с, .

 

 

Задача 2. Два одинаковых шарика массой кг каждый движутся поступательно и прямолинейно в горизонтальной плоскости со скоростями м/с: а) вдоль одной прямой навстречу друг другу; б) вдоль одной прямой один за другим; в) так, что угол между скоростями шаров равен . Чему равен импульс системы шаров в каждом случае?


 

Эта задача проще предыдущей. Так как нас спрашивают про импульс системы шаров, то необходимо просто найти импульс каждого из шаров, а затем произвести векторное сложение импульсов с учетом их направления.

Импульс каждого из шаров равен (численно):

   

Теперь, зная численное значение импульса, определим импульс системы тел в каждом случае:

Импульс системы из двух шаров

а) Примем направление оси – вправо вдоль прямой, по которой двигаются шары. Тогда импульс первого шара – положителен, а импульс  второго – отрицателен, так как он движется в отрицательную сторону вдоль координатной прямой. Тогда сумма импульсов будет равна , так как численно они равны: .
б) Если шары двигаются сонаправленно, то импульс всей системы будет складываться из импульсов обоих шаров: .

Импульс системы из двух шаров

в) Самый сложный случай – движение шаров под углом. В этом случае, чтобы найти импульс системы, а значит, сложить импульсы, придется один из импульсов разложить на составляющие:

Импульс системы из двух шаров

   

Так как между скоростями угол , то угол между горизонталью и направлением скорости второго шара – , а между ней и вертикалью – , что и показано на чертеже.

Импульс всей системы тогда:

   

Подставим числа:

   

Можно было сразу догадаться, что вектора импульсов , , и образуют правильный треугольник, поэтому третья сторона – импульс системы – равна двум другим:

 



Задача 3.  Частица массой г, движущаяся со скоростью , испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой г, а скорость . Чему равен импульс образовавшейся частицы? Чему равен модуль импульса?


 

Определим импульсы частиц до столкновения:

   

   

Суммарный импульс получившейся частицы (так как столкновение неупругое, то частицы слипнутся):

   

Модуль импульса:

   

Ответ: Н/с.

 

Задача 4. Граната, летевшая горизонтально со скоростью м/с, разорвалась на две части массами кг и кг. Скорость большего куска осталась горизонтальной и возросла до м/с. Определить скорость и направление полета меньшего осколка.


 

Выполняется закон сохранения импульса, следовательно, сумма импульсов получившихся кусков должна быть равна исходному импульсу гранаты.

Исходный импульс гранаты:

   

Импульс куска, скорость которого горизонтальна:

   

Таким образом, нужно найти вектор, который при сложении с вектором даст вектор . Очевидно, что направление такого вектора противоположно и , и .

   

   

Ответ: Н/с,  направление противоположно полету гранаты  – об этом говорит минус.

 

 

Задача 5. На противоположных концах стоящей на рельсах железнодорожной платформы закреплены две пушки. Ствол первой из них установлен под углом , а второй – к горизонту. Из первой пушки производят выстрел снарядом массой кг. Затем таким же снарядом стреляют из второй пушки. Оба снаряда имеют одинаковые начальные скорости м/с относительно платформы. Определить скорость платформы после двух выстрелов. Масса платформы с пушками и снарядами кг, оба выстрела производятся в противоположные стороны вдоль рельсов. Трение отсутствует.


 

Платформа и пушки

Так как трения нет, то при обоих выстрелах соблюдается закон сохранения импульса по оси , которую давайте направим вправо.

Первый выстрел. До него платформа неподвижна, импульс платформы равен 0, импульс снаряда также нулевой. После выстрела снаряд приобретает скорость по оси , равную и направленную вправо. Составим закон сохранения импульса и определим скорость платформы:

   

   

Отметим, что скорость платформы направлена влево.

Второй выстрел. Теперь уже платформа не неподвижна, а имеет скорость. Снаряд, который будет выпущен, обладает скоростью относительно платформы. Какой скоростью он будет обладать относительно земли? Очевидно, . Тогда закон сохранения импульса относительно земли для второго выстрела в проекциях на ось :

   

   

   

Подставим скорость платформы после первого выстрела:

   

Подставим численные данные:

   

Можно предложить более простое решение. После первого выстрела платформа двигается влево со скоростью

   

Определим скорость платформы после второго выстрела (относительно себя).

   

   

Эта скорость платформы направлена вправо, и рассчитана относительно платформы. То есть скорость платформы относительно земли будет равна

   

Ответ: 1,56 м/c

 

Задача 6. Две одинаковые лодки движутся со скоростями м/с и м/с под углами и к некоторому направлению. Когда лодки оказываются на очень близком расстоянии друг от друга, пассажир второй лодки перекладывает на первую груз так, что скорость его лодки не меняется. Считая массу каждой лодки вместе с пассажиром в раз больше массы груза, найти скорость первой лодки. Сопротивление воды не учитывать.


 

Лодки и перекладываемый груз

Выполняется закон сохранения импульса системы тел. Суммарный импульс лодок до того, как груз переложили, равен суммарному импульсу после этого.  Обозначим массу груза , тогда масса лодки без груза , а с грузом – .

   

   

Скорость каждой из лодок удобно разложить на составляющие, направленные параллельно выбранному направлению и перпендикулярно к нему, как это сделано на рисунке:

Вектора скоростей лодок

Тогда записанное в векторном виде уравнение распадется на два, каждое из которых будет записано в проекциях:

На горизонтальную ось:

   

На вертикальную ось (которую здесь, кстати, разумнее было бы вниз направить):

   

Упростим первое:

   

Оставим справа только неизвестную скорость:

   

Подставим числа:

   

   

Минус говорит о том, что у лодки 1 эта  составляющая скорости направлена против оси .

Упростим второе:

   

Оставим справа только неизвестную скорость:

   

Подставим числа:

   

   

Так как положительное направление оси выбрано вверх, то ничего удивительного, что скорость получилась со знаком “минус”.

Тогда скорость первой лодки будет нами получена из теоремы Пифагора:

   

Ответ: 9,35 м/с



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *