Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Задания 3, Задания 4, Закон сохранения импульса

Импульс системы тел 1


Импульсом тела называется произведение его массы на скорость. Также импульс называют количеством движения. Импульс является векторной величиной. Направление его совпадает с направлением скорости.

   

Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует:

   

Здесь – изменение импульса за время . Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы. Сила здесь может быть и равнодействующей всех сил, действующих на тело.

Закон сохранения импульса – следствие второго и третьего законов Ньютона. Система, на которую не действуют никакие внешние силы или равнодействующая внешних сил равна нулю, называется замкнутой.

В замкнутой системе суммарный импульс системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел в системе между собой.

Система тел может быть не замкнута вдоль одной из осей, а вдоль другой – замкнута. Тогда закон сохранения импульса будет работать в такой системе вдоль этой оси. Например, если рассматривать столкновение лодок на озере и не принимать в расчет трение, то такая система может считаться замкнутой вдоль горизонтальной оси, и вдоль этой оси работает закон сохранения импульса. Вдоль вертикальной оси действует сила тяжести, и система не замкнута.

Также при решении задач, связанных с импульсом, очень важны такие понятия, как абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. При абсолютно упругом ударе  тело отскакивает от другого тела, сохраняя модуль импульса, и «угол падения равен углу отражения». При абсолютно неупругом ударе тела слипаются, образуя новое тело, масса которого равна сумме их масс. То, что  удар был неупругим  можно понять, например, если тело отскочило под углом, не равным углу падения, если о неупругом ударе специально не сказано в задаче.

Рассмотрим сначала простые задачи, где движение тел происходит вдоль одной прямой.

 

Задача 1. Тело массой кг движется равномерно по окружности, со скоростью м/с. Определить изменение импульса тела после того, как оно пройдет четверть окружности, половину окружности.


Изменение импульса

После того, как тело пройдет четверть окружности, вектор его скорости повернется на 90 градусов, как показано на рисунке  – . Изменение скорости можно определить как , поэтому разворачиваем вектор скорости , чтобы получить вектор , и складываем его с по правилу параллелограмма. Зеленым показан вектор изменения скорости . По теореме Пифагора можно найти его длину – он будет равен м/с, тогда изменение импульса тела в этом случае кг*м/с.

Вектора импульсов тел системы

Вектора импульсов и их сложение

Когда тело пройдет половину окружности, вектор его скорости развернется в противоположную сторону – . Точно так же изменение скорости можно определить как , поэтому разворачиваем вектор скорости , чтобы получить вектор , и складываем его с по правилу многоугольника. Зеленым показан вектор изменения скорости . Видно, что м/с.

Изменение импульса тела в этом случае кг*м/с.

Ответ: кг*м/с, кг*м/с.

 

Задача 2. Снаряд массой кг  вылетает из ствола орудия со скоростью м/с. Зная, что время движения снаряда внутри ствола равно с, определить среднюю силу давления пороховых газов.


 

На вылете из ствола пушки снаряд обладает импульсом, равным кг*м/с. Так как на систему не действуют никакие внешние силы, то импульс системы сохраняется, а до выстрела он был нулевым. После выстрела суммарный импульс системы также нулевой, а это значит, что импульс снаряда равен по модулю и противоположен по направлению изменению импульса пороховых газов в стволе. Таким образом, газы будут давить с силой кН

Ответ: 1000 кН

 

Задача 3. На тело в течение времени с действовала сила Н. Найти массу тела, если изменение скорости тела в результате действия силы равно м/с.


 

Изменение импульса равно произведению изменения скорости на массу тела. Импульс силы равен , масса тела тогда   кг.

Ответ: 100 кг

 

Задача 4. Скорость реактивного самолета равна км/ч. На пути самолета оказалась птица массой кг.  Определить среднюю силу удара птицы о стекло кабины летчика, если длительность удара с. Каково среднее давление на стекло при ударе, если площадь соприкосновения птицы со стеклом см?


 

Среднюю силу удара можно определить так:

Скорость самолета выразим в единицах СИ – метрах в секунду. км/ч м/с

   

Или 500 кН. Можно теперь определить среднее давление на стекло при ударе, только прежде представить площадь в м:

см м

   

Паскалей или 50 атмосфер.

Ответ: Па или 50 атмосфер.

 

Задача 5. Падающий вертикально шарик массой кг ударился о пол и подпрыгнул на высоту 0,4 м. Найти среднюю силу, действующую со стороны пола на шарик, если длительность удара с, к моменту удара о пол скорость шарика м/с.


 

Шарик двигается равноускоренно, поэтому, когда он соприкоснется с полом, его вес будет больше силы тяжести. А его вес – это, собственно, и есть сила его давления на пол.

При равноускоренном движении вес можно вычислить:

   

Определим ускорение шарика. Здесь – мера изменения скорости шарика,

Так как шарик взлетел на высоту 0,4 метра, то определим его скорость при отрыве от пола по формуле:

   

Скорость шарика в наивысшей точке равна 0, поэтому:

   

   

   

Тогда изменение скорости

   

   

Ответ: 158 Н

 

Задача 6. Шарик летит навстречу стенке со скоростью . Стенка движется навстречу шарику со скоростью . Какой станет скорость шарика после упругого удара о стенку?


 

Сначала рассмотрим полет шарика относительно стенки. Тогда (если мы представим себе, что смотрим от стенки, и вместе с ней двигаемся со скоростью , не замечая этого) нам будет казаться, что шарик летит на нас со скоростью . Тогда после отскока шарик изменит свою скорость на такую же по модулю, но противоположную по направлению: – это мы его от стенки наблюдаем. А вот теперь мы покинули движущуюся стенку и смотрим с  неподвижной земли – и тогда шарик летит уже со скоростью – минус показывает противоположное, относительно первоначального, направление полета.

 

Задача 7. Мальчик массой 22 кг, бегущий со скоростью 2,5 м/c, вскакивает сзади на платформу массой 12 кг. Чему равна скорость платформы с мальчиком?


 

Импульс системы тел будет сохраняться вдоль горизонтальной оси. Поэтому суммарный импульс тележки (0) и мальчика () будет равен суммарному импульсу тележки с мальчиком на ней после прыжка:

   

   

Ответ: 1, 62 м/с

 

Задача 8. Два неупругих шара с массами 4 и 6 кг движутся со скоростями 8 м/с и 3 м/с соответственно, направленными вдоль одной прямой. С какой скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого удара, если первый догоняет второй? Если они двигаются навстречу?


 

Запишем закон сохранения в первом случае:

   

Все слагаемые с плюсами, так как тела движутся в одну сторону.

   

   

   

Теперь тела двигаются навстречу друг другу:

   

   

   

   

Ответ: 5 м/с, 1,4 м/с

 

Задача 9. Тележка с песком катится со скоростью 1 м/с по горизонтальному пути без трения. Навстречу тележке летит шар массой 2 кг с горизонтальной скоростью 7 м/с.  Шар после попадания в песок застревает в нем.  В какую сторону и с какой скоростью покатится тележка после столкновения с шаром? Масса тележки 10 кг.


 

Записываем уравнение сохранения импульса системы тел вдоль горизонтальной оси: примем – масса камня, – скорость камня, – масса тележки, – скорость тележки.

   

За положительное направление примем направление полета камня, тогда скорость тележки будет со знаком «минус»

   

   

   

Получили скорость тележки с камнем со знаком «плюс» – это значит, что она после «поимки» камня поедет в противоположную сторону.

Ответ: 2 м/c

 

Задача 10. Средневековая пушка массой 200 кг установлена у края плоской крыши  высокой башни. Пушка выпускает ядро массой 5 кг горизонтально, оно приземляется на расстоянии 300 м от стены башни. Пушка, двигаясь без трения, откатывается назад и падает на землю.  На каком расстоянии от основания башни она упадет?


 

Предположим, что высота стены башни . Ядро пушка выпустила горизонтально, и его полет подобен телу, брошенному горизонтально: по горизонтали ядро перемещается с постоянной скоростью, а по вертикали падает, то есть движется равноускоренно.

Тогда ядро будет падать с этой высоты в течение времени, которое можно установить из формулы:

   

Все это время ядро летит горизонтально с постоянной скоростью, и пролетает 300 метров. Тогда его скорость по горизонтали равна:

   

Импульс ядра равен импульсу пушки, поэтому пушка откатится назад со скоростью:

   

Здесь – масса ядра, – его скорость, – масса пушки, – ее скорость.

   

Найдем горизонтальную скорость пушки:

   

   

Пушка падает ровно столько же времени, как и ядро, так как все тела на Земле падают вниз с одним и тем же ускорением, поэтому пушка пролетит за время расстояние от стены до места падения, равное: м

Ответ: 7,5 м

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *