Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила трения

И снова трение: продолжаем готовиться к олимпиадам. 9 класс

Чем дальше в лес, тем толще партизаны… А задачи сложнее. Но и интереснее!

Задача 1. На наклонной плоскости с углом \alpha покоится брусок массой m. Чему равна сила трения действующая на него? Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен \mu (\mu>\operatorname{tg}{\alpha}).

  1. m\cdot g\cdot \sin\alpha
  2. m\cdot g\cdot \cos\alpha
  3. \mu \cdot m\cdot g\cdot \sin\alpha
  4. \mu \cdot m\cdot g\cdot \cos\alpha

Решение.

Поскольку брусок покоится, из второго закона Ньютона для него

    \[\vec N+m\vec g+\vec F_{mp.n.}=\vec 0\]

К задаче 1

Направим оси прямоугольной системы координат следующим образом: ось Оx направим вдоль наклонной плоскости, а ось Оy — перпендикулярно ей. Перепишем второй закон Ньютона в проекциях на оси Оx и получим, что

    \[F_{mp.n.}=m\cdot g\cdot \sin\alpha\]

Замечание: ответ F_{mp.n.}=\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos\alpha неверный, поскольку тело не скользит и не сказано, что сила трения покоя максимальна.

Ответ: 1.

 

Задача 2. Ученик, выполняя лабораторную работу по физике, тянет брусок вдоль горизонтальной поверхности с помощью динамометра. При этом брусок движется равномерно прямолинейно, а показания динамометра составляют F_0=0,4 Н. Масса бруска M=350 г, масса динамометра m=50 г. Массой пружины можно пренебречь. В процессе всех опытов она располагается горизонтально. Ускорение свободного падения принять равным g=10 м/c^{2}.

К задаче 2

  1. Чему станут равны показания динамометра если брусок будет двигаться с ускорением a=2 м/c^{2}?
  2. Чему при этом равна сила, с которой ученик действует на динамометр?

Ответы выразить в Н, округлив до десятых.

Решение.

Заметим, что показания динамометра равняются величине силы, с которой он действует на брусок. Поскольку в первом случае брусок движется равномерно, из второго закона Ньютона получается, что F_0=F_{mp}, где F_{mp} — сила трения скольжения, действующая на брусок.

Пусть теперь брусок движется с ускорением a, а показания динамометра при этом составляют F_1. Поскольку сила трения, действующая на брусок, не меняется, из второго закона Ньютона

    \[M\cdot a= F_1-F_{mp}= F_1-F_0\]

Таким образом, новые показания динамометра равны

    \[F_1=F_0+M\cdot a=1,1.\]

Найдём силу F, с которой мальчик действует на динамометр. Разобьём её на две составляющие: F_x, благодаря которой мальчик тянет систему «динамометр+брусок» вдоль стола, и F_y, уравновешивающая силу тяжести mg, действующую на динамометр, поскольку мальчик держит его на весу. Из второго закона Ньютона получается, что

    \[F_x-F_0=(m+M)\cdot a\]

Таким образом, сила воздействия мальчика на динамометр равна

    \[F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{((m+M)\cdot a+F_0)^2+mg^2}=1,3.\]

Ответ: на вопрос 1: 1,1 Н;  на вопрос 2: 1,3 Н.

Задача 3. Мотоциклист едет по горизонтальной поверхности со скоростью \upsilon=90 км/ч. Найти минимально возможный радиус дуги, который может описывать мотоциклист, не снижая скорости, если коэффициент трения колёс об асфальт равен \mu=0,5. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

На мотоциклиста действуют сила тяжести m\cdot \vec g, сила реакции опоры \vec N и сила трения, сообщающая ему необходимое для поворота центростремительное ускорение.

К задаче 3

Из второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную ось следует

    \[N=mg.\]

Мотоциклист обладает центростремительным ускорением a=\frac{\upsilon^2}{R}, направленным горизонтально к центру дуги. Поэтому, из второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную ось

    \[F_{mp}=m\cdot \frac{\upsilon^2}{R}\]

При минимально возможном радиусе кривизны траектории мотоциклиста сила трения покоя между колёсами и асфальтом достигает максимально возможного значения

    \[F_{mp}= F_{mp.max}=\mu\cdot N=\mu\cdot m\cdot g.\]

Получаем \mu\cdot g=\frac{\upsilon^2}{R}, откуда искомый радиус равен

    \[R=\frac{\upsilon^2}{\mu\cdot g}=125.\]

Ответ: 125 м.

Задача 4. К концам троса, перекинутого через блок, привязаны бруски с массами m и M=4m, находящиеся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона \alpha=30^{\circ}. При каком минимальном значении коэффициента трения k между брусками они будут покоиться?

К задаче 4

Ответ округлить до сотых.

Решение.

  1. Пусть нижний брусок с массой M движется вниз вдоль наклонной плоскости с ускорением \vec a. Введём систему координат: ось X направим вдоль наклонной плоскости, ось Y перпендикулярно ей. Рассмотрим силы, действующие на нижний брусок. Это сила тяжести M\cdot \vec g, нормальная сила реакции \vec N, сила натяжения нити \vec T, сила давления со стороны верхнего бруска \vec f и сила трения, действующая со стороны верхнего бруска \vec F_{mp.1}.Из второго закона Ньютона для нижнего бруска в проекциях на оси X и Y получим, что

    \[\begin{Bmatrix}{M\cdot a=M\cdot g\cdot \sin\alpha-F_{mp.1}-T,}\\{N=M\cdot g\cdot \sin\alpha.~~~~~~~~~~~~~}\end{matrix}\]

  1. В силу того, что трос нерастяжим, верхний брусок движется с тем же ускорением a вверх по наклонной плоскости под действием силы тяжести m\vec g, силы реакции \vec N_1, силы натяжения нити \vec T и силы трения со стороны нижнего бруска \vec F_{mp.2}. Из второго закона Ньютона для верхнего бруска в проекциях на оси X и Y получим

    \[\begin{Bmatrix}{m\cdot a=T-m\cdot g\cdot \sin\alpha- F_{mp.2},}\\{N_1=m\cdot g\cdot \cos\alpha.~~~~~~~~~~~~~}\end{matrix}\]

  1. Исходя из третьего закона Ньютона для взаимодействия двух брусков определим

    \[\begin{Bmatrix}{F_{mp.1}=F_{mp.2}=F,}\\{N_1=f.~~~~~~~~}\end{matrix}\]

  1. Поскольку система из двух брусков покоится, то их ускорения равны нулю, и из системы написанных уравнений получим

    \[\begin{Bmatrix}{T= M\cdot g\cdot \sin\alpha-k\cdot m\cdot g\cdot \cos\alpha,\qquad\eqno (1)}\\{T=m\cdot g\cdot \sin\alpha+k\cdot m\cdot g\cdot \cos\alpha.\qquad~ \eqno (2)}\end{matrix}\]

Решая систему уравнений (1) и (2), видим, что коэффициент трения равен

    \[k=\frac{M-m}{2m}\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{3}{2}\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87.\]

Ответ: 0,87.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *