Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Сила трения

И снова трение: продолжаем готовиться к олимпиадам. 9 класс

[latexpage]

Чем дальше в лес, тем толще партизаны… А задачи сложнее. Но и интереснее!

Задача 1. На наклонной плоскости с углом $\alpha$ покоится брусок массой $m$. Чему равна сила трения действующая на него? Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен $\mu (\mu>\operatorname{tg}{\alpha})$.

  1. $m\cdot g\cdot \sin\alpha$
  2. $m\cdot g\cdot \cos\alpha$
  3. $\mu \cdot m\cdot g\cdot \sin\alpha$
  4. $\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos\alpha$

Решение.

Поскольку брусок покоится, из второго закона Ньютона для него

$$\vec N+m\vec g+\vec F_{mp.n.}=\vec 0$$

К задаче 1

Направим оси прямоугольной системы координат следующим образом: ось О$x$ направим вдоль наклонной плоскости, а ось О$y$ — перпендикулярно ей. Перепишем второй закон Ньютона в проекциях на оси О$x$ и получим, что

$$F_{mp.n.}=m\cdot g\cdot \sin\alpha$$

Замечание: ответ $F_{mp.n.}=\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos\alpha$ неверный, поскольку тело не скользит и не сказано, что сила трения покоя максимальна.

Ответ: 1.

 

Задача 2. Ученик, выполняя лабораторную работу по физике, тянет брусок вдоль горизонтальной поверхности с помощью динамометра. При этом брусок движется равномерно прямолинейно, а показания динамометра составляют $F_0=0,4$ Н. Масса бруска $M=350$ г, масса динамометра $m=50$ г. Массой пружины можно пренебречь. В процессе всех опытов она располагается горизонтально. Ускорение свободного падения принять равным $g=10$ м/c$^{2}$.

К задаче 2

  1. Чему станут равны показания динамометра если брусок будет двигаться с ускорением $a=2$ м/c$^{2}$?
  2. Чему при этом равна сила, с которой ученик действует на динамометр?

Ответы выразить в Н, округлив до десятых.

Решение.

Заметим, что показания динамометра равняются величине силы, с которой он действует на брусок. Поскольку в первом случае брусок движется равномерно, из второго закона Ньютона получается, что $F_0=F_{mp}$, где $F_{mp}$ — сила трения скольжения, действующая на брусок.

Пусть теперь брусок движется с ускорением $a$, а показания динамометра при этом составляют $F_1$. Поскольку сила трения, действующая на брусок, не меняется, из второго закона Ньютона

$$M\cdot a= F_1-F_{mp}= F_1-F_0$$

Таким образом, новые показания динамометра равны

$$F_1=F_0+M\cdot a=1,1.$$

Найдём силу $F$, с которой мальчик действует на динамометр. Разобьём её на две составляющие: $F_x$, благодаря которой мальчик тянет систему «динамометр+брусок» вдоль стола, и $F_y$, уравновешивающая силу тяжести $mg$, действующую на динамометр, поскольку мальчик держит его на весу. Из второго закона Ньютона получается, что

$$F_x-F_0=(m+M)\cdot a$$

Таким образом, сила воздействия мальчика на динамометр равна

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\sqrt{((m+M)\cdot a+F_0)^2+mg^2}=1,3.$$

Ответ: на вопрос 1: 1,1 Н;  на вопрос 2: 1,3 Н.

Задача 3. Мотоциклист едет по горизонтальной поверхности со скоростью $\upsilon=90$ км/ч. Найти минимально возможный радиус дуги, который может описывать мотоциклист, не снижая скорости, если коэффициент трения колёс об асфальт равен $\mu=0,5$. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

На мотоциклиста действуют сила тяжести $m\cdot \vec g$, сила реакции опоры $\vec N$ и сила трения, сообщающая ему необходимое для поворота центростремительное ускорение.

К задаче 3

Из второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную ось следует

$$N=mg.$$

Мотоциклист обладает центростремительным ускорением $a=\frac{\upsilon^2}{R}$, направленным горизонтально к центру дуги. Поэтому, из второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную ось

$$F_{mp}=m\cdot \frac{\upsilon^2}{R}$$

При минимально возможном радиусе кривизны траектории мотоциклиста сила трения покоя между колёсами и асфальтом достигает максимально возможного значения

$$F_{mp}= F_{mp.max}=\mu\cdot N=\mu\cdot m\cdot g.$$

Получаем $\mu\cdot g=\frac{\upsilon^2}{R}$, откуда искомый радиус равен

$$R=\frac{\upsilon^2}{\mu\cdot g}=125.$$

Ответ: 125 м.

Задача 4. К концам троса, перекинутого через блок, привязаны бруски с массами $m$ и $M=4m$, находящиеся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha=30^{\circ}$. При каком минимальном значении коэффициента трения $k$ между брусками они будут покоиться?

К задаче 4

Ответ округлить до сотых.

Решение.

  1. Пусть нижний брусок с массой $M$ движется вниз вдоль наклонной плоскости с ускорением $\vec a$. Введём систему координат: ось $X$ направим вдоль наклонной плоскости, ось $Y$ перпендикулярно ей. Рассмотрим силы, действующие на нижний брусок. Это сила тяжести $M\cdot \vec g$, нормальная сила реакции $\vec N$, сила натяжения нити $\vec T$, сила давления со стороны верхнего бруска $\vec f$ и сила трения, действующая со стороны верхнего бруска $\vec F_{mp.1}$.Из второго закона Ньютона для нижнего бруска в проекциях на оси $X$ и $Y$ получим, что

$$\begin{Bmatrix}{M\cdot a=M\cdot g\cdot \sin\alpha-F_{mp.1}-T,}\\{N=M\cdot g\cdot \sin\alpha.~~~~~~~~~~~~~}\end{matrix}$$

  1. В силу того, что трос нерастяжим, верхний брусок движется с тем же ускорением $a$ вверх по наклонной плоскости под действием силы тяжести $m\vec g$, силы реакции $\vec N_1$, силы натяжения нити $\vec T$ и силы трения со стороны нижнего бруска $\vec F_{mp.2}$. Из второго закона Ньютона для верхнего бруска в проекциях на оси $X$ и $Y$ получим

$$\begin{Bmatrix}{m\cdot a=T-m\cdot g\cdot \sin\alpha- F_{mp.2},}\\{N_1=m\cdot g\cdot \cos\alpha.~~~~~~~~~~~~~}\end{matrix}$$

  1. Исходя из третьего закона Ньютона для взаимодействия двух брусков определим

$$\begin{Bmatrix}{F_{mp.1}=F_{mp.2}=F,}\\{N_1=f.~~~~~~~~}\end{matrix}$$

  1. Поскольку система из двух брусков покоится, то их ускорения равны нулю, и из системы написанных уравнений получим

$$\begin{Bmatrix}{T= M\cdot g\cdot \sin\alpha-k\cdot m\cdot g\cdot \cos\alpha,\qquad\eqno (1)}\\{T=m\cdot g\cdot \sin\alpha+k\cdot m\cdot g\cdot \cos\alpha.\qquad~ \eqno (2)}\end{matrix}$$

Решая систему уравнений (1) и (2), видим, что коэффициент трения равен

$$k=\frac{M-m}{2m}\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{3}{2}\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87.$$

Ответ: 0,87.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *