Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Емкости

И снова емкости – 3

Снова решаем задачи на конденсаторы. На этот раз – из параграфа 35 сборника Никуловой и Москалева. Хорошие задачи, рекомендую сборник.

 

Задача 10. Три плоских конденсатора C_1=C_0, C_2=2C_0 и C_3=3C_0, каждый из которых первоначально был заряжен от батареи с E=22 В, и резистор с сопротивлением R включены в схему:

К задаче 10

Какая разность потенциалов установится на конденсаторе C_3 после замыкания ключа К?

Решение. Обозначим первоначальные заряды конденсаторов q_1, q_2 и q_3. Они соответственно равны

    \[q_1=C_0 E\]

    \[q_2=2C_0 E\]

    \[q_3=3C_0 E\]

Заряды, установившиеся после того, как мы замкнем ключ и после того, как перераспределение зарядов окончено, обозначим как Q_1, Q_2 и Q_3.

Заметим, что конденсаторы C_1 и C_2 соединены плюсовыми обкладками. Поэтому заряд, «сидевший» на этих обкладках до замыкания ключа и после него, один и тот же. Ему некуда деваться, поскольку эта система пластин изолирована. То есть можно записать:

    \[q_1+q_2=Q_1+Q_2\]

Аналогично, после замыкания ключа соединенными оказываются отрицательно заряженные пластины конденсаторов C_1 и C_3. Поэтому «сидящий» на них заряд тоже сохраняется. Запишем:

    \[q_1+q_3=Q_1+Q_3\]

После замыкания ключа в равновесном режиме ток не течет, значит, на конденсаторах C_2-C_3 и C_1 одно и то же напряжение:

    \[U_1=U_2+U_3\]

Перепишем это:

    \[\frac{Q_1}{C}=\frac{Q_2}{2C}+\frac{Q_3}{3C}\]

Или

    \[Q_1=\frac{Q_2}{2}+\frac{Q_3}{3}\]

    \[3Q_2+2Q_3=6Q_1\]

Имеем систему:

    \[\begin{Bmatrix}{ q_1+q_2=Q_1+Q_2}\\{ q_1+q_3=Q_1+Q_3}\\{ 3Q_2+2Q_3=6Q_1}\end{matrix}\]

    \[3(q_1+q_2-Q_1)+2(q_1+q_3-Q_1)=6Q_1\]

    \[11Q_1=5q_1+3q_2+2q_3=5C_0 E+3\cdot 2C_0 E+2\cdot 3C_0 E\]

    \[11Q_1=17C_0E\]

    \[Q_1=\frac{17C_0E}{11}=34C_0\]

    \[U_1=34\]

Теперь найдем остальные заряды и напряжения:

    \[Q_2= q_1+q_2-Q_1=3C_0E-34C_0=66C_0-34C_0=32C_0\]

    \[U_2=\frac{Q_2}{2C_0}=16\]

    \[Q_3= q_1+q_3-Q_1=4C_0E-34C_0=88C_0-34C_0=54C_0\]

    \[U_3=\frac{Q_3}{3C_0}=18\]

Ответ: 18 В.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *