И снова емкости – 2

[latexpage]

Снова решаем задачи на конденсаторы. На этот раз – из параграфа 35 сборника Никуловой и Москалева. Хорошие задачи, рекомендую сборник.

Задача 6. Источник напряжения (с бесконечно малым внутренним сопротивлением), два конденсатора с емкостями $C_1=1$ мкФ, $C_2=4$ мкФ и резисторы $R$ и $r=\frac{R}{2}$ соединены по схеме:

К задаче 6

Найдите ЭДС источника, если заряд конденсатора $C_1$ в схеме, показанной на рисунке, равен $Q=100$ мкКл.

Решение. Общая емкость конденсаторов равна

$$C_0=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{1\cdot4}{5}=0,8$$

микрофарад.

Так как конденсаторы включены последовательно, на них равные заряды, по 100 мкКл. Тогда напряжение на них обоих

$$U_C=\frac{q}{C}=\frac{100}{0,8}=125$$

Такое же напряжение и на резисторе $R$, ведь он включен параллельно конденсаторам. Поэтому

$$U_C=U_R=IR=125$$

Так как $r=\frac{R}{2}$,  то

$$Ir=\frac{IR}{2}=62,5$$

Следовательно,

$$E=I(R+r)=125+62,5=187,5$$

Ответ: 187,5 В.

Задача 7. Сопротивления $R_1=25$ Ом, $R_2=5$ Ом, источники тока $E_1=12$ В, $r_1=1$ Ом, $E_2=6$ В, $r_2=0,4$ Ом соединены по схеме (рис.)

К задаче 7

Найдите отношение зарядов конденсаторов $C_1$ и $C_2$, отношение емкостей которых $\frac{C_1}{C_2}=5$.

Решение. Так как обе половинки схемы – верхняя и нижняя – имеют только один общий узел, то схема распадается на две независимые схемы.

Тогда для первой схемы

$$I_1=\frac{E_1}{R_1+r_1}=\frac{12}{26}$$

$$U_{C_1}=U_{R_1}=IR_1=\frac{12\cdot25}{26}$$

$$q_1=C_1U_{C_1}=\frac{12\cdot25}{26}\cdot 5C_2$$

Для второй схемы:

$$I_2=\frac{E_2}{R_2+r_2}=\frac{6}{5,4}$$

$$U_{C_2}=U_{R_2}=IR_2=\frac{6\cdot5}{5,4}$$

$$q_2=C_2U_{C_2}=\frac{6\cdot5}{5,4}\cdot C_2$$

Найдем теперь отношение:

$$\frac{q_1}{q_2}=\frac{12\cdot25}{26}\cdot 5C_2\cdot \frac{5,4}{6\cdot5\cdot C_2}=\frac{50\cdot5,4}{26}=10,38$$

Ответ: 10,38

Задача 8. Найдите заряд конденсатора $C_1$ в схеме, показанной на рисунке, если $C_1=1$ мкФ, $C_2=4$ мкФ, $R_1=2$ Ома, $R_2=4$ Ома, $E_1=10$ В, $E_2=40$ В.

К задаче 8

Решение. Емкости соединены так же, как и в задаче 6, и имеют те же номиналы, значит, $C_0=0,8$ мкФ. Две ЭДС, включенные встречно, можно заменить одной, которая будет иметь $E_{ekv}=30$ В и будет включена так же, как $E_2$ – большая из двух ЭДС. Ток в цепи равен (замкнется по внешнему контуру)

$$I=\frac{ E_{ekv}}{R_1+R_2}=\frac{30}{6}=5$$

Этот ток создаст падения напряжений

$$U_{R_1}=IR_1=10$$

$$U_{R_2}=IR_2=20$$

И на емкостях будет напряжение

$$U_C=E_1+ U_{R_1}=E_2- U_{R_2}=20$$

Следовательно, заряд равен

$$q=C_0\cdot U_C=0,8\cdot 20=16$$

Ответ: 16 мкКл.

Задача 9. Найдите емкость батареи, если емкость каждого конденсатора 1 мкФ.

К задаче 9

Перерисуем картинку. Представим, что конденсаторы включены в ребра правильной треугольной призмы:

Преобразованная схема задачи 9

Тогда понятно, что третий конденсатор включен между точками с одинаковым потенциалом и он не заряжен. Его можно выкинуть их схемы. Таким образом, имеем соединенные последовательно $C_1$ и $C_6$, а также $C_2$ и $C_5$. Их эквивалентные емкости будут равны $\frac{C}{2}$, а полная емкость тогда

$$C+\frac{C}{2}+\frac{C}{2}=2C$$

Ответ: $2C$, или 2 мкФ.