Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: ОГЭ 5 (ГИА В3), Функции

Графики функций – ГИА В3

Здравствуйте, уважаемый посетитель! В этой статье будут разобраны задания В3 из ГИА, те, что связаны с графиками функций. Мы научимся определять все коэффициенты параболы по графику, находить точки пересечения прямой с осями координат и ее коэффициент наклона, а также ближе познакомимся с гиперболой.

Давайте начнем разбор этих заданий со знакомства с прямой и ее уравнением.

Прямая задается уравнением: y=kx+b. В этом уравнении коэффициент k отвечает за наклон прямой, а коэффициент b – за смещение по оси y вверх или вниз.

Уравнение прямой и его коэффициенты

И тот, и другой коэффициенты могут быть как положительными, так и отрицательными. В случае с коэффициентом b все понятно: [stextbox id=”alert” bwidth=”1″ bcolor=”5e56a9″ bgcolor=”0cb2f2″]если он положительный, то прямая пересекает ось y выше оси х, а если отрицательный – то ниже[/stextbox]. На рисунке этот коэффициент равен 2 для красной прямой (b=2), для зеленой – b=-3, для розовой – b=-1

Прямые с различными значениями коэффициентов

А как быть с k? Давайте разберемся. Как узнать по графику, положительный ли коэффициент k или он меньше 0? Посмотрим на графики на рисунке выше: они наклонены в разные стороны. Вот за наклон-то как раз и отвечает коэффициент k, и по наклону прямой мы “вычислим” его знак.

Признак такой: если прямая образует острый угол с положительным направлением оси х, то коэффициент k – положительный. Если прямая образует тупой угол с положительным направлением оси х, то коэффициент k – отрицательный

Посмотрим на наш рисунок:

Коэффициенты уравнения прямой и их значение

У красной и розовой прямых – положительный коэффициент наклона, у зеленой – отрицательный.

Чтобы определить оба коэффициента (а не только их знаки), нужно взять 2 точки на прямой (любые) и подставить их координаты в уравнение прямой. Тогда мы получим систему уравнений, которая позволит определить оба коэффициента. В отдельных случаях можно обойтись и одним уравнением: если прямая проходит через начало координат, или если можно определить коэффициент b по рисунку. Примеры:

Определим коэффициент k для прямой, изображенной на рисунке:

Определение коэффициента наклона прямой

Так как прямая проходит через начало координат, то b=0. Тогда, чтобы определить k, потребуется всего одно уравнение. Возьмем любую точку, принадлежащую прямой, например, точку (1;3) – точки удобно брать с целыми координатами. Подставляем координаты точки в уравнение прямой вместо x и y:

Еще пример:

Определение обоих коэффициентов уравнения прямой

Определим уравнение прямой, для этого найдем коэффициенты b и k ее уравнения. Возьмем две точки на прямой, хорошо, если координаты точек целые. У нас это точки (5;0) и (-3;-2). В общее уравнение прямой подставим координаты этих точек:

Вычтем второе уравнение из первого, это позволит определить коэффициент k:

Чтобы найти b, подставим найденный коэффициент наклона в любое из двух уравнений:

Тогда уравнение этой прямой будет таким:

Иногда коэффициент наклона помогает определить знание следующего факта: если прямая лежит под углом 45 или 135 градусов к оси х (то есть проходит по диагоналям клеточек – как красные прямые на рисунке) – то модуль ее коэффициента наклона равен 1. Если прямая “прижимается” к оси y – желтая область на рисунке – то модуль ее коэффициента наклона больше 1. Если же она “жмется” к оси х (зеленая область) – модуль ее коэффициента k меньше 1. Данный факт помогает при решении таких задач, где необходимо сопоставить графики нескольких прямых и данные уравнения. Тем не менее, чтобы не ошибиться, лучше все же определить коэффициент аналитически: подставив координаты выбранной точки в уравнение.

Коэффициенты прямой, которые превосходят 1 по модулю, и меньше 1 по модулю

Пример такого задания:

Один из графиков на рисунке – график функции y=3x. Каким цветом он изображен?

Определение коэффициента наклона по графику

Рассуждаем так: коэффициент наклона положительный – угол наклона прямой к оси х будет острым – ни зеленый, ни желтый графики не подходят. Модуль коэффициента наклона больше 1 (равен 3) – прямая будет располагаться ближе к оси у, чем к оси х: значит, это график голубого цвета. После этих рассуждений надо обязательно (!) проверить их правильность: просто теперь нам придется проверять не все графики, а только один: голубому графику принадлежит точка (1;3). Подставим ее в уравнение:

Получилось тождество, значит, мы правы. Посмотрите видео-исследование прямой:

Переходим теперь к параболе. Парабола задается квадратичной функцией:ax^2+bx+c=0. Коэффициент а определяет форму параболы, а также направление ее ветвей: если он положителен – то ветви параболы смотрят вверх, если отрицателен – вниз. От коэффициента b зависит расположение вершины параболы, то есть, в конечном счете, сдвиг по оси х вправо-влево. Наконец, коэффициент с показывает, какова ордината точки, в которой парабола пересечет ось y.

Рассмотрим несколько графиков, чтобы отработать определение последнего коэффициента – с, как наиболее простого.

Общий вид парабол с разными коэффициентами

Итак, с – точка пересечения параболой оси y. Для первой параболы на рисунке это 8, для второй – 3, для третьей – 6, для четвертой – (-5). А вот точка пересечения  пятого графика с осью y только угадывается. Можно сказать с определенностью, что коэффициент с для нее меньше ноля. Однако его точное значение зависит также и от формы параболы, которая определяется величиной коэффициента a. Если этот коэффициент задан и  равен (-1), то можно догадаться, что с для нее равен (-19). Однако. чтобы точно определить все коэффициенты, необходимо взять несколько точек, принадлежащих этому графику функции, и, подставив их координаты в уравнение квадратичной функции, решить систему уравнений, которая и позволит точно найти a,b и с.

Разберем такое задание: график какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

Подбор формулы, задающей график функции

Посмотрим на график. Ветви параболы направлены вверх, значит, коэффициент a – положительный. Тогда нам не подойдут ни первая, ни последняя функция. Две оставшиеся отличаются одним лишь знаком коэффициента b, поэтому найдем абсциссу вершины параболы. Для второй:

Для третьей:

Тогда, значит, подходит вторая функция, так как видно, что вершина лежит в области отрицательных значений х.

Следующая задача такая: найдите значение а по графику функции ax^2+bx+c=0, изображенному на рисунке.

Парабола, у которой коэффициент а=1

Есть два пути для решения данной задачи. Первый – рациональный. Находим точки, принадлежащие графику, подставляем их координаты в уравнение, получаем систему (как минимум, понадобится три точки, чтобы определить три коэффициента, и система будет из трех уравнений), решаем систему.

Есть и второй путь – эмпирический. Этот метод “тыка” иногда упрощает задачу очень существенно, тем более что “тык” будет у нас вполне обоснованным, а не случайным.

Давайте рассуждать:ветви направлены вверх? – коэффициент а – положительный. Где находится вершина параболы? Правильно, в точке (2;0). Значит, ее ось симметрии –

Парабола, у которой коэффициент а=1

 прямая х=2. Тогда все ее точки должны располагаться  симметрично по обе стороны от этой прямой.

Возьмем две точки на оси х, отстоящие на единицу от оси симметрии параболы – точки х=1, х=3. Какие им соответствуют ординаты? y=1 в обоих случаях. Теперь возьмем точки, отстоящие на 2 единицы от оси симметрии – х=0 и х=4. Какие ординаты будут им соответствовать? y=4!  Иными словами, ординаты точек этого графика получаются, если просто возводить в квадрат разность абсцисс точки и  вершины параболы: 1^2=1,2^2=4 и т.д. Тогда коэффициент a этой параболы равен 1!

Наши рассуждения можно пояснить рисунком:

Теперь рассмотрим задачи более сложные, связанные как раз с необходимостью составлять систему уравнений.

Иногда вершина предлагаемого графика располагается не в пересечении клеточек, то есть координаты вершины – дробные числа. Кроме того, форма параболы отличается от “классической”, которую мы получаем, если а=1. Тогда “метод научного тыка” не годится, “на глазок” коэффициенты уже не определить. Вот здесь необходимо найти принадлежащие графику точки, лучше, если они будут находиться на пересечении клеток, то есть их координаты будут целыми. Сколько же потребуется таких точек? Если возможно определить коэффициент с по графику, то две, а если нельзя – три.

Рассмотрим задачу: необходимо найти все коэффициенты уравнения, задающего график:

Найти все коэффициенты по графику функции

Подставляем в уравнение:координаты выбранных точек, например, таких: (2;2), (5;2), (4;-3). Получается:

Последние два уравнения вычтем:

Данное выражение подставим в первое и второе уравнения:

Вычтем два получившихся уравнения:

Зная а, можем найти и остальные коэффициенты:

Следующая задача: найти коэффициенты уравнения, задающего график функции, изображенный на рисунке:

Найти все коэффициенты по графику функции

Здесь будет немного попроще, так как определить коэффициент с можно по рисунку: с=-5. Это значит, что потребуется только две точки, и система будет состоять только из двух уравнений. Возьмем для ее составления точки (1;-3) и (2;-3):

Вычтем получившиеся уравнения (второе – из первого) и определим коэффициенты а и b:

Найти все коэффициенты по графику функции

Наконец, еще одно такое же задание. Снова необходимо определить все коэффициенты функции, график которой представлен на рисунке:

Зададимся точками. Их будет три, уравнений тоже три, так как нам необходимо найти три коэффициента – a, b и c.

Точки будут: (-2; -3),(-5; -3) и  (-3; -5) . Тогда уравнения:

Из первого уравнения вычитаем второе:

Полученное подставим в первое и третье:

Полученные уравнения вычтем вновь, и найдем искомое:

Посмотрите видео-исследование параболы:

Наконец, нужно познакомиться с гиперболой. График ее задается функцией: y=k/x. Он интересен тем, что располагается всегда в двух квадрантах: в первом и третьем, либо во втором и четвертом. От знака коэффициента k зависит вид функции: если знак положителен, то ветви гиперболы расположатся в первом и третьем квадрантах, если отрицателен – во втором и четвертом. Кроме того, от этого коэффициента зависит и форма гиперболы. Если k=1, то гипербола непременно пройдет через точки (1;1), (-1;-1). Если k<1, то гипербола будет “прижиматься” к осям координат, а если k>1″ title=”k>1″/><img src=, то наоборот, точки графика будут лежать дальше от начала координат. Это иллюстрирует рисунок (одна клеточка – единичный отрезок):

Коэффициент гиперболы

Здесь зеленая область – область, где лежат точки гипербол с положительным коэффициентом k, меньшим 1. Желтая область – область точек гипербол с положительным коэффициентом k, большим 1. Черным цветом изображена “классическая” гипербола, k=1.

Для отрицательных k (одна клеточка – единичный отрезок):

Коэффициент гиперболы

Разберем задачу: нужно определить, график какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке.

Коэффициент гиперболы

Рассмотрим график. Все его точки лежат во второй и четвертой четвертях, это означает, что положительным х соответствуют отрицательные y, а отрицательным – положительные, то есть коэффициент у функции, задающей этот график, должен быть отрицательным. Тогда ни первая, ни третья функции не подходят. Значит, надо выбирать из второй и четвертой, причем у второй delim{|}{k}{|}<1, а у четвертой delim{|}{k}{|}<1. Значит, график второй функции должен быть расположен ближе к осям координат, чем точка (1;-1) – голубая область на предыдущем рисунке. У нас график расположен не так, если бы мы перенесли его на предыдущий рисунок, он бы попал в серую область, значит, предположительно, изображен график четвертой функции, однако, в этом надо быть уверенным наверняка. Поэтому возьмем точку на графике и подставим ее координаты в уравнение, например, точку (3;-1):

Получилось тождество, значит, уравнение выбрано верно.

Еще задача:

На одном из графиков изображен график функции y=-1/3x. Какой это рисунок?

Определение графика по заданной функции

Во-первых, не все изображенные графики – гиперболы. Сразу отбросим “лишние” – это розовый график функции  y=sqrt{x} – номер 2, и фиолетовый – номер 1, который расположен “не в тех” квадрантах. Остаются два графика – 3 и 4 – которые очень похожи друг на друга. Поскольку коэффициент перед х в заданной функции отрицательный, нам нужен 4 график – тот, что изображен черным цветом.

Последняя задача: найдите коэффициент k по графику функции  y=k/x, изображенному на рисунке:

Определение коэффициента функции по графику

Здесь достаточно взять только одну точку, принадлежащую графику, и подставить ее координаты в уравнение:

Посмотрите  короткое видео с исследованием гиперболы:

Надеюсь, эта статья поможет вам в подготовке к экзамену! Всего вам хорошего, вопросы можно задать в комментариях, я постараюсь ответить.

Один комментарий

  • Gennady
    |

    Спасибо за статью! Очень помогла. Все расписано подробно и доступным языком!

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *