Графическое решение систем неравенств

Здесь мы рассмотрим графические решения нескольких систем неравенств. Умение решать такие задачи очень помогает впоследствии, при освоении задач с параметрами.

Задача 1.  Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:

Перепишем иначе:

Рисунок 1

Нас интересует только правая полуплоскость (), область, лежащая выше оси (), но ниже прямой () – проведена серым цветом.

Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область ниже зеленой прямой , но выше синей .

Определим площадь полученной фигуры (залита бежевым) по формуле Пика:

Ответ: 7,5

Задача 2.  Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:

Перепишем иначе:

Рисунок 2

Нас интересует только левая полуплоскость (), область, лежащая выше оси (), но ниже прямой () – проведена серым цветом.

Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область выше рыжей прямой , но ниже синей .

Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: две трапеции. У левой трапеции основания 0,5 и 2, высота 2,5, площадь ее равна

У правой основания 2,5 и 1,5 (она на боку лежит), а высота  равна 1. Ее площадь

Общая площадь фигуры равна 5, 125.

Ответ: 5, 125.

Задача 3.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. Найти площадь замкнутой части получившейся фигуры:

Вместо исходной системы можем записать совокупность из двух:

и

Первая система имеет решения, но область решений не замкнута.

Рисунок 3

Вторая дает нам искомую замкнутую область:

Рисунок 4

Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: два треугольника и  трапецию. У  трапеции основания 1,5 и 2, высота 1, площадь ее равна

У верхнего малого треугольника основание 1, а высота  равна 0,5. Его площадь

У правого треугольника основание 1,5, высота – 1, его площадь

Общая площадь фигуры равна 2, 75.

Ответ: 2,75.

Задача 4.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении площадь получившейся фигуры ?

Первое двойное неравенство задает две окружности и область между ними. Две прямые вырезают сектор, показанный на рисунке фиолетовым цветом. Для рисунка был выбран радиус , на самом деле он может быть любым – собственно, его и нужно определить.

Рисунок 5

Так как прямые перпендикулярны (это понятно по их коэффициентам наклона, их произведение – (-1)), то необходимо определить четверть площади кольца.

По условию, эта площадь равна :

Ответ: .

Задача 5.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении площадь получившейся фигуры ?

Снова имеем окружность, центр ее лежит на прямой , поэтому она вписана в первый координатный угол (квадрант). Причем по условию, нас интересует внешняя часть этой окружности.

Рисунок 6

Из этой внешней части мы возьмем в решения область над осью (), а по оси нас интересует полоса от 0 до центра окружности.

Нас интересует маленький, закрашенный зеленым, уголок. Его площадь можно найти как разность площади треугольника и сектора круга. Этот сектор  – часть круга. Поэтому

По условию, эта площадь равна .

Определим :

Ответ: .