Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Неравенства (15 (С3)), Сложная алгебра (задание 21)

Графическое решение систем неравенств

Здесь мы рассмотрим графические решения нескольких систем неравенств. Умение решать такие задачи очень помогает впоследствии, при освоении задач с параметрами.

Задача 1.  Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:

    \[\begin{Bmatrix}{ x+3y-3\geqslant 0}\\{ 2x+3y-12\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2}\end{matrix}\]

Перепишем иначе:

    \[\begin{Bmatrix}{ y\geqslant 1-\frac{x}{3}}\\{ y\leqslant 4-\frac{2x}{3}}\\{ x\geqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2}\end{matrix}\]

Рисунок 1

Нас интересует только правая полуплоскость (x\geqslant 0), область, лежащая выше оси x (y \geqslant 0), но ниже прямой y=2 (y \leqslant 2) – проведена серым цветом.

Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область ниже зеленой прямой y=4-\frac{2x}{3}, но выше синей y=1-\frac{x}{3}.

Определим площадь полученной фигуры (залита бежевым) по формуле Пика:

    \[S=4+\frac{9}{2}-1=7,5\]

Ответ: 7,5

Задача 2.  Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:

    \[\begin{Bmatrix}{ x-y+1\leqslant 0}\\{ 5x-3y+15\geqslant 0}\\{ x\leqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2,5}\end{matrix}\]

Перепишем иначе:

    \[\begin{Bmatrix}{ y\geqslant x+1}\\{ y\leqslant \frac{5x}{3}+5}\\{ x\leqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2,5}\end{matrix}\]

Рисунок 2

Нас интересует только левая полуплоскость (x\leqslant 0), область, лежащая выше оси x (y \geqslant 0), но ниже прямой y=2,5 (y \leqslant 2,5) – проведена серым цветом.

Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область выше рыжей прямой y=x+1, но ниже синей y=\frac{5x}{3}+5.

Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: две трапеции. У левой трапеции основания 0,5 и 2, высота 2,5, площадь ее равна

    \[S=\frac{0,5+2}{2}\cdot2,5=3,125\]

У правой основания 2,5 и 1,5 (она на боку лежит), а высота  равна 1. Ее площадь

    \[S=\frac{2,5+1,5}{2}\cdot1=2\]

Общая площадь фигуры равна 5, 125.

Ответ: 5, 125.

Задача 3.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. Найти площадь замкнутой части получившейся фигуры:

    \[\begin{Bmatrix}{ (y-x-2)(x+y-3)\geqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}\]

Вместо исходной системы можем записать совокупность из двух:

    \[\begin{Bmatrix}{ y-x-2\geqslant 0}\\{ x+y-3)\geqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}\]

и

    \[\begin{Bmatrix}{ y-x-2\leqslant 0}\\{ x+y-3\leqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}\]

Первая система имеет решения, но область решений не замкнута.

Рисунок 3

Вторая дает нам искомую замкнутую область:

Рисунок 4

    \[\begin{Bmatrix}{ y\leqslant x+2}\\{ y\leqslant 3-x}\\{ y\geqslant \frac{x}{2}}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}\]

Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: два треугольника и  трапецию. У  трапеции основания 1,5 и 2, высота 1, площадь ее равна

    \[S=\frac{1,5+2}{2}\cdot 1=1,75\]

У верхнего малого треугольника основание 1, а высота  равна 0,5. Его площадь

    \[S=\frac{1}{2}\cdot0,5=0,25\]

У правого треугольника основание 1,5, высота – 1, его площадь

    \[S=\frac{1,5}{2}\cdot 1=0,75\]

Общая площадь фигуры равна 2, 75.

Ответ: 2,75.

Задача 4.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении r площадь получившейся фигуры S=18\pi?

    \[\begin{Bmatrix}{r^2\leqslant x^2+y^2\leqslant 9r^2}\\{ y-3x \leqslant 0}\\{ 3y+x\geqslant 0}\end{matrix}\]

Первое двойное неравенство задает две окружности и область между ними. Две прямые вырезают сектор, показанный на рисунке фиолетовым цветом. Для рисунка был выбран радиус r=1, на самом деле он может быть любым – собственно, его и нужно определить.

Рисунок 5

Так как прямые перпендикулярны (это понятно по их коэффициентам наклона, их произведение – (-1)), то необходимо определить четверть площади кольца.

    \[S=\frac{9\pi r^2-r^2}{4}\]

По условию, эта площадь равна S=18\pi:

    \[\frac{9\pi r^2-r^2}{4}=18\pi\]

    \[2\pi r^2=18\pi\]

    \[r^2=9\]

    \[r=3\]

Ответ: r=3.

Задача 5.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении r площадь получившейся фигуры S=8(4-\pi)?

    \[\begin{Bmatrix}{(x-r)^2+(y-r)^2\geqslant r^2}\\{x-y\geqslant 0}\\{ y\geqslant 0}\\{ x\leqslant r}\end{matrix}\]

Снова имеем окружность, центр ее лежит на прямой y=x, поэтому она вписана в первый координатный угол (квадрант). Причем по условию, нас интересует внешняя часть этой окружности.

Рисунок 6

Из этой внешней части мы возьмем в решения область над осью x (y\geqslant 0), а по оси x нас интересует полоса от 0 до центра окружности.

Нас интересует маленький, закрашенный зеленым, уголок. Его площадь можно найти как разность площади треугольника ABC и сектора круга. Этот сектор  – \frac{1}{8} часть круга. Поэтому

    \[S=\frac{AB\cdot OB}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2=\frac{r^2}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2\]

По условию, эта площадь равна S=8(4-\pi).

Определим r:

    \[\frac{r^2}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2=8(4-\pi)\]

    \[r^2=64\]

    \[r=8\]

Ответ: r=8.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *