Графическое решение систем неравенств

[latexpage]

Здесь мы рассмотрим графические решения нескольких систем неравенств. Умение решать такие задачи очень помогает впоследствии, при освоении задач с параметрами.

Задача 1.  Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:

$$\begin{Bmatrix}{ x+3y-3\geqslant 0}\\{ 2x+3y-12\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2}\end{matrix}$$

Перепишем иначе:

$$\begin{Bmatrix}{ y\geqslant 1-\frac{x}{3}}\\{ y\leqslant 4-\frac{2x}{3}}\\{ x\geqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2}\end{matrix}$$

Рисунок 1

Нас интересует только правая полуплоскость ($x\geqslant 0$), область, лежащая выше оси $x$ ($y \geqslant 0$), но ниже прямой $y=2$ ($y \leqslant 2$) – проведена серым цветом.

Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область ниже зеленой прямой $y=4-\frac{2x}{3}$, но выше синей $ y=1-\frac{x}{3}$.

Определим площадь полученной фигуры (залита бежевым) по формуле Пика:

$$S=4+\frac{9}{2}-1=7,5$$

Ответ: 7,5

Задача 2.  Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:

$$\begin{Bmatrix}{ x-y+1\leqslant 0}\\{ 5x-3y+15\geqslant 0}\\{ x\leqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2,5}\end{matrix}$$

Перепишем иначе:

$$\begin{Bmatrix}{ y\geqslant x+1}\\{ y\leqslant \frac{5x}{3}+5}\\{ x\leqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2,5}\end{matrix}$$

Рисунок 2

Нас интересует только левая полуплоскость ($x\leqslant 0$), область, лежащая выше оси $x$ ($y \geqslant 0$), но ниже прямой $y=2,5$ ($y \leqslant 2,5$) – проведена серым цветом.

Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область выше рыжей прямой $y=x+1$, но ниже синей $ y=\frac{5x}{3}+5$.

Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: две трапеции. У левой трапеции основания 0,5 и 2, высота 2,5, площадь ее равна

$$S=\frac{0,5+2}{2}\cdot2,5=3,125$$

У правой основания 2,5 и 1,5 (она на боку лежит), а высота  равна 1. Ее площадь

$$S=\frac{2,5+1,5}{2}\cdot1=2$$

Общая площадь фигуры равна 5, 125.

Ответ: 5, 125.

Задача 3.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. Найти площадь замкнутой части получившейся фигуры:

$$\begin{Bmatrix}{ (y-x-2)(x+y-3)\geqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$$

Вместо исходной системы можем записать совокупность из двух:

$$\begin{Bmatrix}{ y-x-2\geqslant 0}\\{ x+y-3)\geqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$$

и

$$\begin{Bmatrix}{ y-x-2\leqslant 0}\\{ x+y-3\leqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$$

Первая система имеет решения, но область решений не замкнута.

Рисунок 3

Вторая дает нам искомую замкнутую область:

Рисунок 4

$$\begin{Bmatrix}{ y\leqslant x+2}\\{ y\leqslant 3-x}\\{ y\geqslant \frac{x}{2}}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$$

Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: два треугольника и  трапецию. У  трапеции основания 1,5 и 2, высота 1, площадь ее равна

$$S=\frac{1,5+2}{2}\cdot 1=1,75$$

У верхнего малого треугольника основание 1, а высота  равна 0,5. Его площадь

$$S=\frac{1}{2}\cdot0,5=0,25$$

У правого треугольника основание 1,5, высота – 1, его площадь

$$S=\frac{1,5}{2}\cdot 1=0,75$$

Общая площадь фигуры равна 2, 75.

Ответ: 2,75.

Задача 4.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении $r$ площадь получившейся фигуры $S=18\pi$?

$$\begin{Bmatrix}{r^2\leqslant x^2+y^2\leqslant 9r^2}\\{ y-3x \leqslant 0}\\{ 3y+x\geqslant 0}\end{matrix}$$

Первое двойное неравенство задает две окружности и область между ними. Две прямые вырезают сектор, показанный на рисунке фиолетовым цветом. Для рисунка был выбран радиус $r=1$, на самом деле он может быть любым – собственно, его и нужно определить.

Рисунок 5

Так как прямые перпендикулярны (это понятно по их коэффициентам наклона, их произведение – (-1)), то необходимо определить четверть площади кольца.

$$S=\frac{9\pi r^2-r^2}{4}$$

По условию, эта площадь равна $S=18\pi$:

$$\frac{9\pi r^2-r^2}{4}=18\pi$$

$$2\pi r^2=18\pi$$

$$ r^2=9$$

$$ r=3$$

Ответ: $r=3$.

Задача 5.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении $r$ площадь получившейся фигуры $S=8(4-\pi)$?

$$\begin{Bmatrix}{(x-r)^2+(y-r)^2\geqslant r^2}\\{x-y\geqslant 0}\\{ y\geqslant 0}\\{ x\leqslant r}\end{matrix}$$

Снова имеем окружность, центр ее лежит на прямой $y=x$, поэтому она вписана в первый координатный угол (квадрант). Причем по условию, нас интересует внешняя часть этой окружности.

Рисунок 6

Из этой внешней части мы возьмем в решения область над осью $x$ ($y\geqslant 0$), а по оси $x$ нас интересует полоса от 0 до центра окружности.

Нас интересует маленький, закрашенный зеленым, уголок. Его площадь можно найти как разность площади треугольника $ABC$ и сектора круга. Этот сектор  – $\frac{1}{8}$ часть круга. Поэтому

$$S=\frac{AB\cdot OB}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2=\frac{r^2}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2$$

По условию, эта площадь равна $S=8(4-\pi)$.

Определим $r$:

$$\frac{r^2}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2=8(4-\pi)$$

$$r^2=64$$

$$r=8$$

Ответ: $r=8$.