[latexpage]
Здесь мы рассмотрим графические решения нескольких систем неравенств. Умение решать такие задачи очень помогает впоследствии, при освоении задач с параметрами.
Задача 1. Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:
$$\begin{Bmatrix}{ x+3y-3\geqslant 0}\\{ 2x+3y-12\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2}\end{matrix}$$
Перепишем иначе:
$$\begin{Bmatrix}{ y\geqslant 1-\frac{x}{3}}\\{ y\leqslant 4-\frac{2x}{3}}\\{ x\geqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2}\end{matrix}$$

Рисунок 1
Нас интересует только правая полуплоскость ($x\geqslant 0$), область, лежащая выше оси $x$ ($y \geqslant 0$), но ниже прямой $y=2$ ($y \leqslant 2$) – проведена серым цветом.
Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область ниже зеленой прямой $y=4-\frac{2x}{3}$, но выше синей $ y=1-\frac{x}{3}$.
Определим площадь полученной фигуры (залита бежевым) по формуле Пика:
$$S=4+\frac{9}{2}-1=7,5$$
Ответ: 7,5
Задача 2. Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:
$$\begin{Bmatrix}{ x-y+1\leqslant 0}\\{ 5x-3y+15\geqslant 0}\\{ x\leqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2,5}\end{matrix}$$
Перепишем иначе:
$$\begin{Bmatrix}{ y\geqslant x+1}\\{ y\leqslant \frac{5x}{3}+5}\\{ x\leqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2,5}\end{matrix}$$

Рисунок 2
Нас интересует только левая полуплоскость ($x\leqslant 0$), область, лежащая выше оси $x$ ($y \geqslant 0$), но ниже прямой $y=2,5$ ($y \leqslant 2,5$) – проведена серым цветом.
Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область выше рыжей прямой $y=x+1$, но ниже синей $ y=\frac{5x}{3}+5$.
Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: две трапеции. У левой трапеции основания 0,5 и 2, высота 2,5, площадь ее равна
$$S=\frac{0,5+2}{2}\cdot2,5=3,125$$
У правой основания 2,5 и 1,5 (она на боку лежит), а высота равна 1. Ее площадь
$$S=\frac{2,5+1,5}{2}\cdot1=2$$
Общая площадь фигуры равна 5, 125.
Ответ: 5, 125.
Задача 3. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. Найти площадь замкнутой части получившейся фигуры:
$$\begin{Bmatrix}{ (y-x-2)(x+y-3)\geqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$$
Вместо исходной системы можем записать совокупность из двух:
$$\begin{Bmatrix}{ y-x-2\geqslant 0}\\{ x+y-3)\geqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$$
и
$$\begin{Bmatrix}{ y-x-2\leqslant 0}\\{ x+y-3\leqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$$
Первая система имеет решения, но область решений не замкнута.

Рисунок 3
Вторая дает нам искомую замкнутую область:

Рисунок 4
$$\begin{Bmatrix}{ y\leqslant x+2}\\{ y\leqslant 3-x}\\{ y\geqslant \frac{x}{2}}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$$
Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: два треугольника и трапецию. У трапеции основания 1,5 и 2, высота 1, площадь ее равна
$$S=\frac{1,5+2}{2}\cdot 1=1,75$$
У верхнего малого треугольника основание 1, а высота равна 0,5. Его площадь
$$S=\frac{1}{2}\cdot0,5=0,25$$
У правого треугольника основание 1,5, высота – 1, его площадь
$$S=\frac{1,5}{2}\cdot 1=0,75$$
Общая площадь фигуры равна 2, 75.
Ответ: 2,75.
Задача 4. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении $r$ площадь получившейся фигуры $S=18\pi$?
$$\begin{Bmatrix}{r^2\leqslant x^2+y^2\leqslant 9r^2}\\{ y-3x \leqslant 0}\\{ 3y+x\geqslant 0}\end{matrix}$$
Первое двойное неравенство задает две окружности и область между ними. Две прямые вырезают сектор, показанный на рисунке фиолетовым цветом. Для рисунка был выбран радиус $r=1$, на самом деле он может быть любым – собственно, его и нужно определить.

Рисунок 5
Так как прямые перпендикулярны (это понятно по их коэффициентам наклона, их произведение – (-1)), то необходимо определить четверть площади кольца.
$$S=\frac{9\pi r^2-r^2}{4}$$
По условию, эта площадь равна $S=18\pi$:
$$\frac{9\pi r^2-r^2}{4}=18\pi$$
$$2\pi r^2=18\pi$$
$$ r^2=9$$
$$ r=3$$
Ответ: $r=3$.
Задача 5. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении $r$ площадь получившейся фигуры $S=8(4-\pi)$?
$$\begin{Bmatrix}{(x-r)^2+(y-r)^2\geqslant r^2}\\{x-y\geqslant 0}\\{ y\geqslant 0}\\{ x\leqslant r}\end{matrix}$$
Снова имеем окружность, центр ее лежит на прямой $y=x$, поэтому она вписана в первый координатный угол (квадрант). Причем по условию, нас интересует внешняя часть этой окружности.

Рисунок 6
Из этой внешней части мы возьмем в решения область над осью $x$ ($y\geqslant 0$), а по оси $x$ нас интересует полоса от 0 до центра окружности.
Нас интересует маленький, закрашенный зеленым, уголок. Его площадь можно найти как разность площади треугольника $ABC$ и сектора круга. Этот сектор – $\frac{1}{8}$ часть круга. Поэтому
$$S=\frac{AB\cdot OB}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2=\frac{r^2}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2$$
По условию, эта площадь равна $S=8(4-\pi)$.
Определим $r$:
$$\frac{r^2}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2=8(4-\pi)$$
$$r^2=64$$
$$r=8$$
Ответ: $r=8$.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...