Графическое решение систем неравенств

Здесь мы рассмотрим графические решения нескольких систем неравенств. Умение решать такие задачи очень помогает впоследствии, при освоении задач с параметрами.

Задача 1. Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:

$\begin{Bmatrix}{ x+3y-3\geqslant 0}\\{ 2x+3y-12\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2}\end{matrix}$

Перепишем иначе:

$\begin{Bmatrix}{ y\geqslant 1-\frac{x}{3}}\\{ y\leqslant 4-\frac{2x}{3}}\\{ x\geqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2}\end{matrix}$

Рисунок 1

Нас интересует только правая полуплоскость ( $x\geqslant 0$ ), область, лежащая выше оси $x$ ( $y \geqslant 0$ ), но ниже прямой $y=2$ ( $y \leqslant 2$ ) – проведена серым цветом.

Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область ниже зеленой прямой $y=4-\frac{2x}{3}$ , но выше синей $y=1-\frac{x}{3}$ .

Определим площадь полученной фигуры (залита бежевым) по формуле Пика:

$S=4+\frac{9}{2}-1=7,5$

Ответ: 7,5

Задача 2. Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:

$\begin{Bmatrix}{ x-y+1\leqslant 0}\\{ 5x-3y+15\geqslant 0}\\{ x\leqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2,5}\end{matrix}$

Перепишем иначе:

$\begin{Bmatrix}{ y\geqslant x+1}\\{ y\leqslant \frac{5x}{3}+5}\\{ x\leqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2,5}\end{matrix}$

Рисунок 2

Нас интересует только левая полуплоскость ( $x\leqslant 0$ ), область, лежащая выше оси $x$ ( $y \geqslant 0$ ), но ниже прямой $y=2,5$ ( $y \leqslant 2,5$ ) – проведена серым цветом.

Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область выше рыжей прямой $y=x+1$ , но ниже синей $y=\frac{5x}{3}+5$ .

Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: две трапеции. У левой трапеции основания 0,5 и 2, высота 2,5, площадь ее равна

$S=\frac{0,5+2}{2}\cdot2,5=3,125$

У правой основания 2,5 и 1,5 (она на боку лежит), а высота равна 1. Ее площадь

$S=\frac{2,5+1,5}{2}\cdot1=2$

Общая площадь фигуры равна 5, 125.

Ответ: 5, 125.

Задача 3. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. Найти площадь замкнутой части получившейся фигуры:

$\begin{Bmatrix}{ (y-x-2)(x+y-3)\geqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$

Вместо исходной системы можем записать совокупность из двух:

$\begin{Bmatrix}{ y-x-2\geqslant 0}\\{ x+y-3)\geqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}{ y-x-2\leqslant 0}\\{ x+y-3\leqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$

Первая система имеет решения, но область решений не замкнута.

Рисунок 3

Вторая дает нам искомую замкнутую область:

Рисунок 4

$\begin{Bmatrix}{ y\leqslant x+2}\\{ y\leqslant 3-x}\\{ y\geqslant \frac{x}{2}}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}$

Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: два треугольника и трапецию. У трапеции основания 1,5 и 2, высота 1, площадь ее равна

$S=\frac{1,5+2}{2}\cdot 1=1,75$

У верхнего малого треугольника основание 1, а высота равна 0,5. Его площадь

$S=\frac{1}{2}\cdot0,5=0,25$

У правого треугольника основание 1,5, высота – 1, его площадь

$S=\frac{1,5}{2}\cdot 1=0,75$

Общая площадь фигуры равна 2, 75.

Ответ: 2,75.

Задача 4. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении $r$ площадь получившейся фигуры $S=18\pi$ ?

$\begin{Bmatrix}{r^2\leqslant x^2+y^2\leqslant 9r^2}\\{ y-3x \leqslant 0}\\{ 3y+x\geqslant 0}\end{matrix}$

Первое двойное неравенство задает две окружности и область между ними. Две прямые вырезают сектор, показанный на рисунке фиолетовым цветом. Для рисунка был выбран радиус $r=1$ , на самом деле он может быть любым – собственно, его и нужно определить.

Рисунок 5

Так как прямые перпендикулярны (это понятно по их коэффициентам наклона, их произведение – (-1)), то необходимо определить четверть площади кольца.

$S=\frac{9\pi r^2-r^2}{4}$

По условию, эта площадь равна $S=18\pi$ :

$\frac{9\pi r^2-r^2}{4}=18\pi$

$2\pi r^2=18\pi$

$r^2=9$

$r=3$

Ответ: $r=3$ .

Задача 5. Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении $r$ площадь получившейся фигуры $S=8(4-\pi)$ ?

$\begin{Bmatrix}{(x-r)^2+(y-r)^2\geqslant r^2}\\{x-y\geqslant 0}\\{ y\geqslant 0}\\{ x\leqslant r}\end{matrix}$

Снова имеем окружность, центр ее лежит на прямой $y=x$ , поэтому она вписана в первый координатный угол (квадрант). Причем по условию, нас интересует внешняя часть этой окружности.

Рисунок 6

Из этой внешней части мы возьмем в решения область над осью $x$ ( $y\geqslant 0$ ), а по оси $x$ нас интересует полоса от 0 до центра окружности.

Нас интересует маленький, закрашенный зеленым, уголок. Его площадь можно найти как разность площади треугольника $ABC$ и сектора круга. Этот сектор – $\frac{1}{8}$ часть круга. Поэтому