Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Графическое решение неравенства с параметром и модулем

Здесь будет применен прием домножения на сопряженное выражение, и применен графический способ решения данного неравенства.

Задача. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство выполняется на отрезке x \in [-1;0]:

    \[\mid x+a^2 \mid \leqslant \mid a+x^2  \mid\]

Перепишем:

    \[\mid x+a^2 \mid - \mid a+x^2  \mid\leqslant 0\]

Применим прием «борьбы» с разностью двух положительных выражений: домножим на сопряженное выражение. Тогда неравенство будет записано:

    \[(x+a^2 - a-x^2)( x+a^2 +a+x^2)\leqslant 0\]

    \[(x- a-(x^2- a^2))( x+a^2 +a+x^2)\leqslant 0\]

Общий множитель в первой скобке выносим, а во второй – увидим и выделим полные квадраты:

    \[(x- a)(1-x- a)( a^2 +a+\frac{1}{4}+x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{2}{4})\leqslant 0\]

    \[(x- a)(1-x- a) \left( \left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right)\leqslant 0\]

Если теперь ввести систему координат OXA, то в ней можно построить три объекта:

    \[\begin{Bmatrix}{a= x}\\{ a=1-x}\\{\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}\end{matrix}\]

То есть две пересекающиеся прямые и окружность. Строим:

Рисунок 1. Построение линий

Теперь возьмем произвольную точку, например, с координатами B(\frac{1}{2}; 1)  и подставим ее координаты в неравенство. Видим, что все множители положительны и неравенство не выполняется. Оно не будет выполняться во всей области, но как только мы пересечем какую-либо  ее границу, то попадем в область, где неравенство выполняется. Поэтому закрасим такие области в шахматном порядке:

Рисунок 2. Обозначение областей, где неравенство выполняется.

Теперь коричневыми вертикалями отграничим область x \in [-1;0], и посмотрим, при каких a неравенство выполняется.

Рисунок 3. Ярким зеленым цветом и желтой полоской обозначаем решение неравенства на заданном отрезке

Очевидно, что это a=-1 и промежуток от «верхушки» окружности до a=1. А координату «верхушки» окружности найдем как разность радиуса и координаты центра:

\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.

Ответ: a \in \{-1\} \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2};1].

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *