Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Готовимся решать задачу 19, начальные задачи

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – подготовительная статья к данной серии.

Задача 1. Найти сумму всех четных натуральных чисел, не превосходящих 300, которые при делении на 13 дают остаток 5.

Первое такое число – 18. Последующие будут на 26 больше. Определим наибольшее такое число, меньшее, однако, 300. Воспользуемся формулой

    \[18+26(n-1)\leqslant 300\]

Откуда

    \[n\leqslant 11,8\]

    \[a_{11}=18+26\cdot10=278\]

Сумма всех таких чисел

    \[S=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{18+278}{2}\cdot 11=1628\]

Ответ: 1628.

 

Задача 2. Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвертый член геометрической?

Если прогрессия геометрическая, то знаменатель \frac{a_2}{a_1}. Если арифметическая, то разность a_2-a_1.

Члены арифметической прогрессии:

    \[a_1, a_2, a_2+(a_2-a_1), a_2+2(a_2-a_1), \ldots\]

Члены геометрической прогрессии:

    \[a_1, a_2, a_2\cdot \frac{a_2}{a_1}, a_2\cdot \frac{a_2^2}{a_1^2}\ldots\]

Тогда по условию задачи третий член геометрической равен десятому члену арифметической прогрессии:

    \[a_2\cdot \frac{a_2}{a_1}=a_2+8(a_2-a_1)\]

    \[a_2^2-9a_2a_1+8a_1^2=0\]

    \[a_2=\frac{9a_1\pm\sqrt{49a_1^2}}{2}\]

    \[a_2=a_1\]

    \[a_2=8a_1\]

Так как по условию числа разные, то a_2=8a_1. Четвертым членом геометрической будет 512a_1. А разностью арифметической прогрессии равен d=7a_1.

Таким образом,

    \[512 a_1=a_1+511 a_1=a_1+73\cdot 7a_1=a_1+73d\]

Ответ: 74 член арифметической.

 

Задача 3. Возрастающая последовательность, состоящая не менее, чем из трех членов, образует арифметическую прогрессию из натуральных чисел.  Первый член последовательности равен 1, а последний 2046. Какое наименьшее количество членов может быть в этой последовательности?

Между 1 и 2046 разность равна 2045. Это число не делится на 3, не делится на 4, но делится на 5. Поэтому последовательность состоит из 6 членов.

Ответ: 6.

Задача 4. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 3, а сумма их квадратов – 21.  Какое наибольшее значение может принимать сумма их кубов?

Число 21 можно представить как 21=16+1+4. Так как сумма равна 3, то какие-то из членов отрицательны. Подумав, получаем 1; -2; 4.  Сумма кубов этих чисел равна 57.

Ответ: 57.

 

Задача 5. Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, n\geqslant 3. Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.  В ответ запишите наибольшее возможное значение n.

Чтобы членов прогрессии было как можно больше, ее разность должна быть как можно меньше, самое маленькое натуральное – 1.

    \[S=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=123\]

    \[2a_1n+d(n-1)n=246=2\cdot3\cdot41\]

Если a_1=1, то

    \[n(n+1)=246\]

Так как n и n+1 – два последовательных числа, то n\neq 41. Поэтому, очевидно, n=3 или n=6. При n=3 прогрессия может быть 40, 41, 42. При n=6 прогрессия может состоять из членов 18, 19, 20, 21, 22, 23.

Задача 6. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1897.

а) может ли последовательность состоять из двух членов?

б) может ли последовательность состоять из трех членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

а) Так как 1897 не делится на 8, то из двух членов последовательность состоять не может.

б) Если последовательность состоит из трех членов, то она может выглядеть следующим образом:x, 7x, x, или 7x, x, 7x, или x, 7x, 49x, или 49x, 7x, x. Сумма в первом случае 9x (1897 не делится на 9), сумма во втором случае 15x (1897 не делится на 15), сумма в третьем случае 57x (1897 не делится на 57). Последовательность не может состоять из трех членов.

в) Наибольшее количество членов будет при чередовании 1 и 7. Число 1896 делится на 8 – то есть последовательность начинается с 1 и заканчивается на 1. Всего в ней 238 единиц и 237 семерок.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 475.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *