Готовимся решать задачу 19, начальные задачи – 3

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Статья содержит несложные подготовительные задачи.

Задача 1. Скупой рыцарь хранит золотые монеты в шести сундуках. Однажды,  пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну в эти два сундука. Еще он заметил, что если открыть любые 3, 4 или 5 сундуков, то тоже можно переложить лежащие в них монеты таким образом, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга так и не узнал, можно ли разложить все монеты поровну по всем шести сундукам? а) Можно ли, не заглядывая в заветные сундуки, ответить на этот вопрос?

б) А если сундуков восемь, а скупой рыцарь мог разложить поровну монеты, лежащие в любых 2, 3, 4, 5, 6, или 7 сундуках?

По первому условию понятно,  что сумма монет в любых двух сундуках четна. Значит, она обязательно четна в 6 сундуках. И сумма монет в любых трех сундуках делится на 3. А значит, и в шести сундуках тоже. То есть по шести сундукам монеты можно разложить.

На второй вопрос точно ответить не получится. Неизвестно, равное ли количество монет в сундуках. Если точно понятно, что монет в 8 сундуках четное количество – то нельзя сказать, что это четное количество делится на 8. Найдем НОК чисел 2, 3, 4, 5, 6, и 7 – это число 420. Если в одном сундуке 421 монета, а в остальных по одной, то общее число монет в 2-ух сундуках будет четным, в трех – делиться на 3, в 4-ех – на 4 и т.п, но 428 не делится на 8.

Если же монет – равное количество, то их удастся разложить (то есть они уже разложены) по 8 сундукам.

Ответ: а) да; б) нельзя точно сказать.

Задача 2. В турнире по шашкам принимают участие мальчики и девочки. За победу начисляется одно очко, за ничью – 0,5, за поражение – 0. По правилам турнира каждый игрок играет с каждым.

а) Каково наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, если в турнире участвуют 2 девочки и 4 мальчика?

б) Какова сумма очков, набранная всеми участниками, если всего участников 8?

в) Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если их в 9 раз меньше, чем мальчиков, и они набрали в 4 раза меньше очков, чем мальчики?

а) Пусть каждая девочка сыграла с 4-мя мальчиками и выиграла. Всего побед 8 – 8 очков. Потом девочки играют друг с другом – и либо играют вничью – тогда каждая имеет по пол-очка, в сумме 1 очко, либо одна выигрывает – и тогда опять же получает очко. Всего 9 очков.

б) Если участников 8 – то партий будет сыграно $\frac{8\cdot7}{2}$ – 28 штук. И очков будет столько же.

в) Пусть девочек $x$, мальчиков $9x$, всего участников тогда $10x$, партий сыграно $\frac{10x(10x-1)}{2}$, и столько же набрано очков всеми участниками. Тогда пятую часть из них набрали девочки, а 0,8 из них – мальчики. Число очков у девочек, следовательно, равно $x(10x-1)$. С другой стороны, наибольшее число очков, набранных девочками, равно

$$x\cdot 9x+\frac{x(x-1)}{2}$$

Тогда

$$ x(10x-1)\leqslant x\cdot 9x+\frac{x(x-1)}{2}$$

$$10x^2-x\leqslant 9x^2+0,5x^2-0,5x$$

$$0,5x^2-0,5x\leqslant 0$$

$$0,5x^2-0,5x\leqslant 0$$

То есть количество девочек лежит в пределах от0 до 1, следовательно, если это натуральное число, девочка была одна.

Ответ: а) 9; б) 28; в) 1.

Задача 3. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел  1, -2, -4, 5, -7, 8, 10, -12.  Карточки переворачивают. На их оборотных сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -4, 5, -7, 8, 10, -12.  После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные 8 сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

a) Произведение равно 0, если какой-нибудь множитель равен нулю. Но никакая сумма не может получиться равной 0 – так как нет равных по модулю и противоположных по знаку чисел, которые могли бы дать нулевую сумму.

б) Аналогично предыдущему пункту, чтобы получить 1, нужно, чтобы все множители были равны 1. Но к числу 12 такое число (дающее с ним в сумме 1) подобрать нельзя. Поэтому 1 тоже не получится.

в) Если на одной стороне карточки 10, а на другой – (-12), то сумма будет (-2). Таких сумм будет 2 – ведь на обороте тоже есть число (-12). Если удачно разместить остальные числа на карточках так, чтобы суммы были 1 или (-1), то наименьшее произведение может быть равно 4.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.